《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第三章 复变函数的积分 3.3 柯西积分公式

第三节柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题

一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 第三节柯西积分公式

一、问题的提出 设B为一单连通域，乙为B中一点. 如果f)在B内解析，那末f(②）在不解析. -Zo 所以{。f3)d起一般不为零， 7一Z0 C为B内围绕z的闭曲线.根据闭路变形原理知， 该积分值不随闭曲线C的变化而改变，求这个值

, . 设 B为一单连通域 z0 为B中一点 d , ( ) 0 C − z z z f z 所以 一般不为零 . ( ) ( ) , 0 0 如果 在 内解析 那末 在 z 不解析 z z f z f z B − 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. . C 为 B内围绕 z0 的闭曲线 2 一、问题的提出

积分曲线C取作以z为中心，半径为很小的6 的正向圆周z-2o=6, 由f(z)的连续性， 在C上函数f(z)的值将随着δ的缩小而逐渐 接近于它在圆心z。处的值， 复儿曰d将接近于，t6缩小 z-20 2-20 美=啡t2

, , 0 0   z − z = C z 的正向圆周 积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 由 f (z)的连续性, , ( ) 接近于它在圆心 0 处的值 在 上函数 的值将随着 的缩小而逐渐 z C f z  d . ( ) ( ) d ( ) 0 0 0  将接近于   缩小 C − C − z z z f z z z z f z C − z z z f z d ( ) 0 0 d 2 ( ). 1 ( ) 0 0 0 z if z z z f z C =  − =  3

二、柯西积分公式 定理3.7设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区 域D内解析，在D=DUC上连续，z为D内任意一 点，则 f,)=f 2πicz-20 证 因为f(z)在连续， 则Vε>0,36(8)>0

二、柯西积分公式 定理3.7 z0  D C 证 ( ) , 因为 f z 在 z0 连续 则   0,  ( )  0, 4 , D , D D C , D ( ) C 0 点 则 域 内解析 在 上连续 为 内任意一 设函数 在简单闭曲线 所围成的区 z f z =   − = C z z z f z i f z d . ( ) 2π 1 ( ) 0 0

当z-z<6时，f(z)-f(z)<8. 设以z为中心，半径为R(R<6)的正向圆周K: ?-0=R全在C的内部， 则1但- =+1八 乙-Z0 -2a+-a

z0  D C K , 当 z − z0   时 ( ) ( ) . 0 f z − f z   , , ( ) : 0 0 全在 的内部 设以 为中心 半径为 的正向圆周 z z R C z R R K − =   R C − z z z f z d ( ) 0 则  − = K z z z f z d ( ) 0   − − + − = K K z z z f z f z z z z f z d ( ) ( ) d ( ) 0 0 0 0  − − =  + K z z z f z f z if z d ( ) ( ) 2 ( ) 0 0 0 5

T1- J-ds -zo <Rd西=2e 上不等式表明，只要R足够小，左端积分的模就 可以任意小， 根据闭路变形原理知，左端积分的值与R无关， 所以只有在对所有的R积分值为零时才有可能. )=fedk [证毕] 柯西积分公式 2πiJCz-z0

 − −  K s z z f z f z d ( ) ( ) 0 0 d 2π  .   = K s R 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就 可以任意小, 根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关, 所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能. [证毕]   − = C z z z f z i f z d ( ) 2 1 ( ) 0 0 柯西积分公式  − − K z z z f z f z d ( ) ( ) 0 0 6

关于柯西积分公式的说明： (①)函数在C内任一点的值用它在边界上的值表示 (可帮助我们讨论解析函数的重要性质) (2)推论1（平均值公式）设f(z)在z-zo<R内解析，在 2-o=R上连续，则有 )Re 其中C是圆周z=z。+R·eo

(可帮助我们讨论解析函数的重要性质) 7 , 0 i 其中C 是圆周z = z + Re     f z f z d i  = + 2 0 0 0 ( Re ) 2 1 ( ) (1)函数在C内任一点的值用它在边界上的值表示 上连续 则有 推论 平均值公式 设 在 内解析 在 , (2) 1( ) ( ) , 0 0 z z R f z z z R − = −  关于柯西积分公式的说明：

(3)公式给出了解析函数的一个积分表达式 f2)= (4)用来计算某些复变函数沿闭曲线积分。 a-2e (5)当z,在积曲线C的外部时，由柯西积分定理 动1g=0

0 ( ) 2 1 0 = − C dz z z f z i 8 (3)公式给出了解析函数的一个积分表达式     d z f i f z C − = ( ) 2 1 ( ) (4)用来计算某些复变函数沿闭曲线积分。 2 ( ) ( ) 0 0 d if z z f C     = −  (5)当z0 在积曲线C的外部时,由柯西积分定理

三、典型例题 例1求下列积分 0起a41+2 解( 因为f(z)=sinz在复平面内解析， z=0位于z<4内

三、典型例题 例1 解   = =       − +  + 4 4 d . 3 2 1 1 d ; (2) sin 2 1 (1) z z z z z z z z i 求下列积分 =  4 d sin 2 1 (1) z z z z i 因为 f (z) = sin z 在复平面内解析, z = 0位于 z  4内, 9

由柯西积分公式 simdz=2 1·2 ri.sin-w=0屿 o+12 -f+fg2g-2w1+2wi2 =6πi. 10

 =       − + + 4 d . 3 2 1 1 (2) z z z z   = = − + + = 4 4 d 3 2 d 1 1 z z z z z z = 2i 1+ 2i  2 = 6i.  =  4 d sin 2 1 z z z z i = 0; 由柯西积分公式 0 2 sin 2 1 =     = z i z i 10