《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 解析函数的级数表示 4.4 解析函数的洛朗展开

第四节洛朗级数 一、问题的引入 二、洛朗级数的概念 三、函数的洛朗展开式 四、典型例题 五、小结与思考

第四节洛朗级数 二、洛朗级数的概念 一、问题的引入 三、函数的洛朗展开式 五、小结与思考 四、典型例题

一、问题的引入 在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数？ 例如，fa)= 1 在z=0及z=1都不解析， z(1-z) 但在圆环域0<z<1及0<z-1<1内都是解析的. 在圆环域0<z<1内： (a)- 1 1,1 =z0-02+1-2 而 1=1+z+z2++z”+,z<1 1-

在圆环域 0  z  1内: 例如， 0 1 (1 ) 1 ( ) = = − = z z z z f z 在 及 都不解析, 但在圆环域 0  z  1 及 0  z − 1  1 内都是解析的. (1 ) 1 ( ) z z f z − = 而 1 , 1 1 1 2 = + + + + +  − z z z z z  n  在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数? , 1 1 1 z − z = + 2 一、问题的引入

所以f(z)= z(1-z) =z1+1+z+z2+.+z”+., 即f(z)在0<z<1内可以展开成级数， 在圆环域0<z-1<1内，也可以展开成级数： a02g[-】 =1+0-+0-++1-+ =(1-z)+1+(1-z)+(1-z)2+(1-z)”-1+

所以 (1 ) 1 ( ) z z f z − = 1 , = z −1 + + z + z 2 ++z n + 即 f (z)在 0  z  1 内可以展开成级数. 在圆环域0  z −1  1内， 也可以展开成级数： (1 ) 1 ( ) z z f z − =       − − − = 1 (1 ) 1 1 1 z z  + − + − ++ − + − = n z z z z 1 (1 ) (1 ) (1 ) 1 1 2 (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) . = − z −1 + + − z + − z 2 + − z n−1 +

00 2.双边幂级数∑cn(z-zo)” 觅ce-4r cn(z-zo) Cn(z-z)” n=」 1=-00 2=0 负幂项部分 正幂项部分 收敛 主要部分 解析部分 同时收敛

n n n 2. c (z z )  − 0  =−  双边幂级数 负幂项部分 正幂项部分 主要部分 解析部分 同时收敛 收敛  − = = =−  n n n n c (z z ) 0 n n n n n n c (z z ) c (z z ) 0 0 0 1  − + −  = −  = − 4

∑cn-) 令5=(z-0) 00 n=1 =1 00 收敛半径R Cn(z-z)” 1≥0 收敛半径R1 5R2:两收敛域有公共部分R<-<R

n n n c (z z ) 0 0  −  = n n n c z z −  =  − ( − ) 0 1 1 0 ( ) − 令 = z − z n n n c   = − 1 收敛半径R   R时,收敛 0 2 1 R R z − z  = 收敛域 收敛半径R1 0 R1 z − z  收敛域 (1) : 若 R1  R2 两收敛域无公共部分, (2) : R1  R2 两收敛域有公共部分 . 2 0 R1 R  z − z  5

结论：双边幂级数 ∑cn(?-zo)”的收敛区域为 n=-00 圆环域R1<z-o<R2: 常见的特殊圆环域： R .0 0<z-z0<R2R1<z-z0<00<z-z0<0

结论: 双边幂级数 n的收敛区域为 n n c (z z )  − 0  =−  . 1 0 R2 圆环域R  z − z  R1 R2 . 0 z 常见的特殊圆环域: R2 . 0 z 0 0 R2  z − z  R1 . 0 z R1  z − z0   0  z − z0   . 0 z 6

定理4.11双边幂级数f(z)=∑cn(2-o)的收敛圆环 H:r<2-2o<R,(0≤r<R≤+o) 则(1)上述级数在H内绝对收敛并内闭一致收敛于 f(z)=f(z)+f,(z) (2)f(z)在H内解析 (3)fa)=∑c.(&-z)” -00 在H内可逐项求导，逐项求积分

定理4.11双边幂级数  的收敛圆环 + − = − n n f (z) c (z z )0 : ,(0 ) H r  z − z0  R  r  R  + 则(1)上述级数在H内绝对收敛并内闭一致收敛于 ( ) ( ) ( ) 1 2 f z = f z + f z (2) f (z)在H内解析  +  − = − n n (3) f (z) c (z z ) 0 在H内可逐项求导,逐项求积分,. 7

二、洛朗级数 定理4.7洛朗定理 设f(z)在圆环域R<2-o<R,内处处解析， 那末f(z)在此圆环域内可展开成 ●● fz)=∑c(z-z), 脚。如gg为阴医改 (n=0,±1，.) C为圆环域内绕的任一正向简单闭曲线

二、洛朗级数 定理4.7洛朗定理 设 f (z)在圆环域R1  z − z0  R2 内处处解析， ( ) ( ) , 0 n n n f z = c z − z  =−   + − = C n n z f i c    d ( ) ( ) 2π 1 1 0 其中 (n = 0, 1, ) C为圆环域内绕 0 的任一正向简单闭曲线. z 为洛朗系数. 那末 f (z)在此圆环域内可展开成 8

证明：在圆环域内作圆T5-=r和T25-o=R, 其中，R,<r<R<R,z是圆环域<5-zo<R内任意 一点，根据多连域的柯西积分公式有 e恩g 对于第一个积分，由于在工，上，点z在T的内部，所以 乙-z0 <1, 5-z0 又因为f(5)在T2上连续，因此存在一个正常数M, 使得f(5)<M,于是当5-o<R时可以得到

一点,根据多连域的柯西积分公式有 其中, 是圆环域 内任意 证明：在圆环域内作圆 ： 和 ： r R R z r z R z r z R     −   − =  − = 2 0 1 0 2 0 , ,    1 R         d z f i d z f i f z   − − − = 2 1 ( ) 2 ( ) 1 2 1 ( ) 对于第一个积分,由于在2 上，点z在2 的内部,所以 1, 0 0  − − z z z  使得 于是当 时可以得到 又因为 在 上连续，因此存在一个正常数 f M z R f M  −   0 2 ( ) , ( ) ,    9

十00 英e头=l2 考虑第二个积分，由于在工上，点z在工的外部，所以 1 于是 1=- 1 1 5-7 -1-5- (?-z)” 7-Z0 10

n n d c z z z f i ( ) ( ) 2 1 0 0 0 2 = −  −  +       , 0,1,2, ( ) ( ) 2 1 2 1 0 = − =  + d n z f i cn n     其中 考虑第二个积分,由于在1 上，点z在1 的外部,所以 1, 0 0  − − z z  z 于是   = − − − = − − − − − = − − 1 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ) 1 1 1 1 n n n z z z z z z z z z    10