《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 复数与复变函数 1.3 平面点集

第三节平面点集的一般概念 一、开集和闭集 1.邻域：平面上以z。为圆心，6（任意的正数）为半 径的开圆表示为： |z-zKδ 6 称为z的邻域，记为N,(zo) 由不等式0<z-,<确定的点集为z的去心邻域

径的开圆表示为： 1.邻域：平面上以z0 为圆心,(任意的正数)为半 .z0  ( ). 0 N z 称为z0 的邻域，记为  | z − z0 |  由不等式0  z − z0 确定的点集为z0 的去心邻域. 第三节平面点集的一般概念 一、开集和闭集

2.基本概念 设G是一个平面点集： (I)内点和开集 z为G中任意一点，若N(z),使得N,(zo)cG,称 2为G的内点， 若G内的每个点都是它的内点则称G为开集 (2)余集和闭集 平面上不属于G的点的全体称为G的余集，记为 GC,开集的余集称为闭集合

2.基本概念 设G是一个平面点集 : (1)内点和开集 为G的内点, 为G中任意一点, 称 0 0 0 0 ( ), ( ) , z z 若N z 使 得N z  G 若G内的每个点都是它的内点,则称G为开集. (2)余集和闭集 , . , 开集的余集称为闭集合 平面上不属于 的点的全体称为 的余集 记为 C G G G

(3)边界点与边界 z为复平面上任意一点若在z任意邻域内即有 G的点又有G的点则称z为G的一个边界点 G的边界点全体称为G的边界，记为G. 说明：边界点可以属于G,也可以不属于G (4)孤立点 z∈G,若N,(zo),使得N(zo)∩G引{zo}=Φ 称z为G的孤立点， 说明：孤立点一定是边界点，但边界点不一定是 孤立点

, . 0 0 0 的点又有 的点 则称 为 的一个边界点 若在 任意邻域内即有 G G z G z z C 为复平面上任意一点, 称z0 为G的孤立点， ( ), ( ) \{ } . z0 G ,若N z0 使得N z0 G z0 =  (4)孤立点 (3)边界点与边界 . , 孤立点 说明：孤立点一定是边界点 但边界点不一定是 说明：边界点可以属于G，也可以不属于G. G的边界点全体称为G的边界,记为G

(⑤)有界集和无界集 若存在一个以z=0为中心的圆盘包含G,则称G 为有界集，否则称为无界集。 例9集合G=:E<R是一开集。 例10集合G={:z≥R是闭集

例10集合G = z: z  R是闭集. (5)有界集和无界集 例9集合G = z: z  R是一开集。 为有界集，否则称为无界集。 若存在一个以z = 0为中心的圆盘包含G,则称G

二、区域 1.平面点集D如果满足下面两个条件 (I)D是一个开集； (2)D是连通的，即D中任何两点都可以用完全属 于D的一条折线连接起来， 则称D为一个区域即D为一个连通的开集 区域D与它的边界一起构成闭区域，记为D 例题12讨论下列点集表示的图形是否是区域？ (1){z:z+z>0};(2)Mz:z+2-i≥1；

(1){z : z + z  0}; (2){z :| z + 2 − i | 1}; 二、区域 1.平面点集D如果满足下面两个条件 (1)D是一个开集； . (2) , 于 的一条折线连接起来 是连通的 即 中任何两点都可以用完全属 D D D 则称D为一个区域,即D为一个连通的开集. 区域D与它的边界一起构成闭区域,记为D 例题12讨论下列点集表示的图形是否是区域?

3z:0<agz<3. 说明： (1)区域与闭区域是两个不同的概念，区域是开集 闭区域是闭集，闭区域不是区域 (2)例外：全平面既是区域又是闭区域

}. 3 (3){ : 0 arg  z  z  说明： , . (1) , , 闭区域是闭集 闭区域不是区域 区域与闭区域是两个不同的概念 区域是开集 (2)例外:全平面既是区域又是闭区域

三、平面曲线 平面曲线可用一对连续函数表示为 x=x(t),y=y(t) (a≤t≤b) 平面曲线的实参数的复值函数表示 z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b) x=t, 例如抛物线y=x2的参数方程是 y=t2. 因此z=x(t)+y(t)=t+it就表示了平面上的一条 抛物线

平面曲线的实参数的复值函数表示   = = = . , 2 2 y t x t 例如抛物线y x 的参数方程是 z(t) = x(t) + iy(t) (a  t  b) 抛物线. 因此z = x(t) + iy(t) = t + it 2 就表示了平面上的一条 平面曲线可用一对连续函数表示为 x = x(t), y = y(t) (a  t  b) 三、平面曲线

x2+y2=a表示以原点为中心，a为半径的圆，其参数 方程为 (x=acost,0≤t≤2π. ly=asin t, 则圆的复形式方程可表示为 z=a(cost+isin t),0≤t≤2π 平面上连接z和z2两点的直线方程为 2=21+(22-21)t

z = a(cost + isin t)，0  t  2 平面上连接z1 和z2 两点的直线方程为 方程为 x 2 + y 2 = a 2 表示以原点为中心,a为半径的圆,其参数 0 2 . sin , cos ,       = = t y a t x a t 则圆的复形式方程可表示为 z z (z z )t = 1 + 2 − 1

2.基本概念 给定曲线C:z=z(t)=x(t)+y(t(a≤t≤b), (1)若x(t),y(t)∈C[a,b],则称C为连续曲线. (2)如果在区间a≤t≤b上x'(t)和y(t)都是连续的， 并且对于的每一个t值有 ['(t)]2+[y'(t)]2≠0 测称曲线是光滑的， 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为 分段光滑曲线

给定曲线C：z = z(t) = x(t)+iy(t)(a  t  b). (1).若x(t), y(t)C[a,b],则称C为连续曲线. 并且对于的每一个 值有 如果在区间 上 和 都是连续的, t (2) ( ) ( ) ' ' a  t  b x t y t [ ( )] [ ( )] 0 ' 2 ' 2 x t + y t  2.基本概念 则称曲线是光滑的, 分段光滑曲线. 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为

(3)重点： 设C:z=z(t)(a≤t≤b)为一条连续曲线，z(a)与z(b) 分别为曲线C的起点和终点 对于满足的a<t1<b,a≤t2≤b的t1,t2,当t1≠t2时， 有z(t)=z(t2),点z(t)称为曲线C的重点. (4)没有重点的连续曲线称为简单曲线或者若尔当 曲线 (5)如果简单曲线的起点和终点重合，即z()=z(b), 则曲线C为简单闭曲线

(3)重点: 曲线 (4)没有重点的连续曲线称为简单曲线或者若尔当 则曲线C为简单闭曲线. (5)如果简单曲线的起点和终点重合,即z(a) = z(b)， 有 ，点 称为曲线C的重点. 对于满足的 的 当 时, ( ) ( ) ( ) , , 1 2 1 1 2 1 2 1 2 z t z t z t a t b a t b t t t t =     ,  分别为曲线 的起点和终点. 设 为一条连续曲线, 与 C C : z = z(t)(a  t  b) z(a) z(b)