《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第6章 样本及抽样分布 第二次 抽样分布

概率伦与敖理统外 第三节 抽样分布 一、基本概念 二、常见分布 三、小结

第三节 抽样分布 一、基本概念 二、常见分布 三、小结

概奉论与散理统计「 一、基本概念 1.统计量的定义 设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本， g(X1,X2,Xm)是X1,X2,.,Xn的函数，若g中 不含未知参数，则称g(X1,X2,Xm)是一个统 计量. 设x1,x2,.,xn是相应于样本X1,X2,.,Xm 的样本值，则称g(x1,x2,.,xn)是g(X1,X2,.,Xn) 的观察值

一 、基本概念 1. 统计量的定义 . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 计量 不含未知参数 则称 是一个统 是 的函数 若 中 设 是来自总体 的一个样本 n n n n g X X X g X X X X X X g X X X X     . , ( , , , ) ( , , , ) , , , , , , 1 2 1 2 1 2 1 2 的观察值 的样本值 则称 是 设 是相应于样本 n n n n g x x x g X X X x x x X X X    

概率论与款理统外 实例1设X1,X2,X3是来自总体N(4,o2)的一个 样本，其中μ为已知，σ2为未知，判断下列各式哪 些是统计量，哪些不是？ T1=X1, T2=Xi+Xzex, -时x+x+ 是 T4=max(X1,X2,X3),T=X1+X2-24: =。++X 不是

, ? , , , , , ( , ) 2 2 1 2 3 些是统计量 哪些不是 样本 其中 为已知 为未知 判断下列各式哪 设 是来自总体 的一个   X X X N   , T1  X1 , 3 2 1 2 X T  X  X e ( ), 3 1 T3  X1  X2  X3 max( , , ), T4  X1 X2 X3 2 , T5  X1  X2   ( ). 1 2 3 2 2 2 T6 2 X1  X  X   是 不是 实例1

概奉论与散理统计「 2.几个常用统计量的定义 设X1,X2,.,Xn是来自总体的一个样本， x1,2,.,xn是这一样本的观察值. ()样本平均值 x=12x n i=1 其观察值 x=2x (2)样本方差 5-2x-01空x好-

2. 几个常用统计量的定义 , , , . , , , , 1 2 1 2 是这一样本的观察值 设 是来自总体的一个样本 n n x x x X X X   (1)样本平均值 ; 1 1   n i Xi n X (2)样本方差     n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2          n i Xi nX n . 1 1   n i i x n 其观察值 x

概率伦与数理统外 其观察值 -2-空-m (3)样本标准差 S=VS2= 2- 其观察值 =2

其观察值     n i i x x n s 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2          n i i x nx n (3)样本标准差   ; 1 1 1 2 2      n i Xi X n S S 其观察值 ( ) . 1 1 1 2     n i i x x n s

概奉论与散理统计「 ④样本k阶（原点）矩A,=2X,k=1,2； n i=1 其观察值a-之，k=1,2, n i=1 (⑤)样本k阶中心矩 B-2(X-X,k=23, n i=1 其观察值=之(x-x),k=2,3

(4) 样本 k 阶(原点)矩 , 1, 2, ; 1 1      X k n A n i k k i 其观察值 , 1, 2, . 1 1      x k n n i k  k i (5)样本 k 阶中心矩 ( ) , 2, 3, ; 1 1       X X k n B n i k k i 其观察值 ( ) , 2, 3, . 1 1       x x k n b n i k k i

概率伦与敖理统外 由以上定义得下述结论： 若总体X的k阶矩E(X)记成4，存在， 则当n→o时，AkP→4k,k=1,2,. 证明因为X1,X2,Xn独立且与X同分布， 所以X,X,.,X独立且与X同分布， 故有 E(X)=E(X2)=.=E(X)=4k: 再根据第五章辛钦定理知 辛钦定理

, , 1, 2, . ( ) , n   A  k   X k E X k P k k k   则当 时 若总体 的 阶矩 记成 存在 证明 , , , , 因为 X1 X2  Xn 独立且与 X 同分布 , , , , 所以 X1 k X2 k  Xn k 独立且与 X k同分布 ( ) ( ) ( ) . 1 2 k k n k k 故有 E X  E X  E X   再根据第五章辛钦定理知 辛钦定理 由以上定义得下述结论:

概奉论与散理统计「 2xP→4，k=12, 由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 g(41,A2,A4)→g(41,42,.,44为 其中g是连续函数. 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法 的理论根据

由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 ( , , , ) ( , , , ), 1 2 1 2 k P k g A A  A  g     其中g是连续函数. , 1, 2, ; 1 1      X k n k P n i k i  以上结论是下一章所要介绍的矩估计法 的理论根据

概率伦与敖理统外 3.经验分布函数 总体分布函数F(x)相应的统计量称为经验 分布函数. 经验分布函数的做法如下 设X1,X2,Xn是总体F的一个样本， 用S(x)(-0<x<+o)表示X1,X2,Xn中不大 于x的随机变量的个数， 定义经验分布函数F,(x)为 Fn(x)=S(x,（-0<x<+oo)

3. 经验分布函数 . ( ) 分布函数 总体分布函数 F x 相应的统计量称为经验 经验分布函数的做法如下: , , , , 设 X1 X2  Xn是总体 F的一个样本 , ( )( ) , , , 1 2 于 的随机变量的个数 用 表示 中不大 x S x   x   X X  Xn 定义经验分布函数 Fn (x)为 ( ), ( ) 1 ( )  S x   x   n F x n

概奉论与散理统计「 对于一个样本值，F,(x)的观察值容易求得. (F(x)的观察值仍以Fn(x)表示.) 实例2设总体F具有一个样本值1,2,3， 0,x<1, 则经验分布函数 3' 1≤x<2, F(x)= F(x)的观察值为 3 2≤x<3, 1, x≥3

对于一个样本值, F (x)的观察值容易求得 . n (F (x)的观察值仍以 F (x) 表示.) n n 实例2 设总体 F 具有一个样本值 1, 2, 3, ( ) 3 的观察值为 则经验分布函数 F x             1, 3. , 2 3, 3 2 , 1 2, 3 1 0, 1, ( ) 3 x x x x F x