《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第2章 随机变量及其分布 第三节 随机变量的分布函数

第三节 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 第三节 随机变量的分布函数

引例一枚均匀硬币连续抛掷3次，X表示正面 出现的次数，求X的分布律及P{X≤1，PX≤2}

引例 一枚均匀硬币连续抛掷3次, X表示正面 出现的次数，求X的分布律及 P{ 1}, P{X 2} X  

、分布函数的概念 1.概念的引入 对于随机变量X,我们不仅要知道X取哪些值， 要知道X取这些值的概率；而且更重要的是想知 道X在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如求随机变量X落在区间(x,飞2]内的概率. Px1<X≤x,PK≤x-PIX≤丑 F(x2) F(x)分布 函数 P{x1<X≤2}=F(x2)-F(x1):

对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. { } P x1  X  x2 { } { } = P X  x2 − P X  x1 ( ) F x2 ( ) F x1 { } P x1  X  x2 分布 函数 ( ) ( ). = F x2 − F x1  ? 一、分布函数的概念 例如 ( , ] . 求随机变量 X 落在区间 x1 x2 内的概率 1.概念的引入

2.分布函数的定义 定义设X是一个随机变量x是任意实数，函数 F(x)=P{X≤x} 称为X的分布函数 说明 ()分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况 (2)分布函数F(x)是x的一个普通实函数

2.分布函数的定义 说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况. . ( ) { } , , 称 为 的分布函数 定 义 设 是一个随机变量 是任意实数函 数 X F x P X x X x =  (2)分布函数 F(x) 是 x 的一个普通实函数

二、分布函数的性质 (1)0≤F(x)≤1，x∈(-oo,o)；定义域，值域 (2)F(x1)≤F(x2),(x1<x2) 单调不减函数 (3)F(-oo)=limF(x)=0, X→-00 极限 F(+oo)=lim F(x)=1; X→+0 (4)Iim,F(x)=F(x),（-oo<x<o).右连续

(1) 0  F(x)  1, x  (−,); (2) ( ) ( ), ( ); F x1  F x2 x1  x2 二、分布函数的性质 (3) (−) = lim ( ) = 0, →−  F F x x ( ) lim ( ) 1; x F F x →+ + = = (4) lim ( ) ( ), ( ). 0 0 0 = −     + → F x F x x x x 右连续 定义域，值域 单调不减函数 极限

单选题2分 可设置 下列函数中可以作为某个随机变量的分布函数 的是() F(x)= sin x 1 x2 F(x)= e 2 2p 1 F(x)={1 +r2,t<0 1,x≥1 0, x<0 F(x)=0.3,0≤x<1 1, x≥1 提交

下列函数中可以作为某个随机变量的分布函数 的是（ ） A B C D 提交 F x x ( ) sin = F x x ( ) sin = 2 2 1 ( ) 2 x F x e p - = 2 2 1 ( ) 2 x F x e p - = 2 2 1 ( ) 2 x F x e p - = 2 1 , 0 ( ) 1 1, 1 x F x x x    =  +    2 1 , 0 ( ) 1 1, 1 x F x x x    =  +    0, 0 ( ) 0.3, 0 1 1, 1 x F x x x    =       单选题 2分

重要公式 (1)P{X≤a}=F(a). (2)Paa=1-F(a)

重要公式 (3) { } 1 ( ). P X a F a  = − (1) { } ( ). P X a F a  = (2) { } ( ) ( ). P a X b F b F a   = −

单选题2分 ⊙设置 设X的分布函数是，F(x)= 1-e,0则 0, x≤0 P{X≤2}=（)，PX>1=（) 1-e2,e e 2 ,I-e 1- D 提交

设X的分布函数是， 则 A B C D 提交 P X{ 2} ,P{X 1}  =  = ( ) ( ) 2 1 1 , e e − − − 2 1 e e ,1 − − − 2 1 1 ,1 e e − − − − 2 1 e e, − − 单选题 2分

三、例题讲解 例1将一枚硬币连掷三次，X表示“三次中正面 出现的次数”，求X的分布律及分布函数，并求下 列概率值P1<X<3},P{X≥5.5}，P{1<X≤3}. 解 设H-正面，T-反面，则 S-HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 0 1 23 因此分布律为 1 3 3 8 8 8 8

S = HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT, 因此分布律为 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X 解 则 三、例题讲解 {1 3}, { 5.5}, {1 3}. , , , P  X  P X  P  X  X X 列概率值 出现的次数”求 的分布律及分布函数 并求下 例1 将一枚硬币连掷三次 表示“三次中正面 设H − 正面, T −反面

求分布函数 01 3 31 8 8 当x<0时， F(x)=P{X≤x}=0; 当0≤x<1时， =PXs=PX=明=A,=8 x:≤0 当1≤x<2时， F(x)=P{X≤x}=P{X=0}+P{X=1} ∑n=+31 = x,≤ 88-2

; 2 1 8 3 8 1 = + = 当 x  0时, 当0  x  1时, 求分布函数 F(x) = P{X  x} F(x) = P{X  x}= P{X = 0} ; 8 1 0 =  = xi  pi F(x) = P{X  x}   = xi 1 pi = P{X = 0}+ P{X = 1} = 0; 当1  x  2时, 8 1 8 3 8 3 8 1 0 1 2 3 p X