《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第1章 概率论的基本概念 第三节频率与概率

概華伦与款程统外 第三节 频率与概率 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质

一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 第三节 频率与概率

概车纶与款理统外 一、频率的定义与性质 1.定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数n,称为事件A发 生的频数比值”4称为事件A发生的频率，并记 n 成f(A). (A)= n

( ). . , , , , f A A n n A n A n n n A A 成 生的频数 比值 称为事件 发生的频率 并记 次试验中 事件 发生的次数 称为事件 发 在相同的条件下 进行了 次试验 在这 1. 定义 一、频率的定义与性质 ( ) A n n f A n =

概華伦与款程统外 2.性质 设A是随机试验E的任一事件，则 (1)0≤f(A≤1； (2)f(S)=1,f(0)=0; (3)若A1,A2,A是两两互不相容的事件，则 f(AUA2U.UAk)=f(A)+f(A)++f (A)

2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 (1) 0  f (A)  1; n (2) f (S) = 1, f () = 0; ( ) ( ) ( ) ( ). (3) , , , , 1 2 1 2 1 2 k n n n k k f A A A f A f A f A A A A   = + ++ 若  是两两互不相容的事件 则

概车伦与散理统外「 实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做 7遍，观察正面出现的次数及频率. 试验 n=5 n=50 n=500 序号 na nH nH f 1 2 0.4 22 0.44 251 0.502 2 0.498 3 随n的增大，频率f呈现出稳定性 U.44 50 0.512 5 .50 247 0.494 5 在处波动较 1 .48 251 0.502 6 2 0.4 18 0.36 2波动最小 7 4 0.8 27 0.54 258 l0.516

试验 序号 n = 5 nH f 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 nH f n = 50 22 25 21 25 24 18 27 nH n = 500 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 在 处波动较大 2 1 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 在 处波动较小 2 1

概率伦与款理统针「 从上述数据可得 (①)频率有随机波动性，即对于同样的，所得的 f不一定相同； (2)抛硬币次数n较小时，频率f的随机波动幅 度较大，但随n的增大，频率f呈现出稳定性.即 当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动，且 逐渐稳定于0.5

从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;

概華伦与敲理统针「 实验者 n nu f 德摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019 0.5016 K·皮尔逊 24000 12012 0.5005 f(H) n的增大1 2

实验者 德 摩根 蒲 丰 n nH f K 皮尔逊 K 皮尔逊  2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 f ( H ) n的增大 . 21

概華论与款醒硫外 重要结论 频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增 大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小，它就是事件的 概率

重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．

概车纶与款理统外 二、概率的定义与性质 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使 概率论有了迅速的发展

1933年 ，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构 ，给出了概率的严格定义 ，使 概率论有了迅速的发展. 二、概率的定义与性质

概華论与款醒硫外 1.概率的定义 设E是随机试验，S是它的样本空间对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P(A),称为事 件A的概率，如果集合函数P(·)满足下列条件： (1)非负性：对于每一个事件A,有P()≥0； (2)规范性：对于必然事件S,有P(S)=1; (3)可列可加性：设A1,A2,.是两两互不相容的 事件，即对于i≠j,AA=②，i,j=1,2,则有 P(AUA,U.)=P(A)+P(A)+. 概率的可列可加性

, ( ) : , ( ) , , . 件 的概率 如果集合函数 满足下列条件 的每一事件 赋予一个实数 记为 称为事 设 是随机试验 是它的样本空间 对于 A P  A P A E S E (1)非负性: 对于每一个事件A, 有 P(A)  0; (2)规范性: 对于必然事件 S,有 P(S) = 1; 事件 即对于 则有 设 是两两互不相容的 , , , , 1, 2, , (3) : , , 1 2   i  j A A =  i j = A A i j 可列可加性 P(A1  A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) + 概率的可列可加性 1. 概率的定义

概车纶与款理统外 2.性质 (1)P(☑)=0. (2)若A1,A2,.,A是两两互不相容的事件则有 PAUA,U.UAn)=P(A)+P(A)+.+P(A) 概率的有限可加性 (3)设A,B为两个事件，且AcB,则 P(A)<P(B),P(B-A)=P(B)-P(A)

(1) P() = 0. 2. 性质 概率的有限可加性 (2) 若A1 , A2 ,  , An是两两互不相容的事件,则 有 ( ) ( ) ( ) ( ). P A1  A2  An = P A1 + P A2 ++ P An ( ) ( ), ( ) ( ) ( ). (3) , , , P A P B P B A P B P A A B A B  − = − 设 为两个事件 且  则