《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第03章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量

概率论与敖理统外 第一节 二维随机变量 一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结

一、二维随机变量及其分布函数 二、二维离散型随机变量 三、二维连续型随机变量 四、两个常用的分布 五、小结 第一节 二维随机变量

概率论与数理统外】 一、二维随机变量及其分布函数 1.定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e以， 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量， 由它们构成的一个向量(X,Y),叫作二维随机向 量或二维随机变量 。X(e) 图示 Y(e)

图示  e Y(e) S  X(e) . ( , ), ( ) ( ) , , { }, 量或二维随机变量 由它们构成的一个向量 叫作二维随机向 设 和 是定义在 上的随机变量 设 是一个随机试验它的样本空间是 X Y X X e Y Y e S E S e    一、二维随机变量及其分布函数 1.定义

概率论与敖理统外 实例1炮弹的弹着点的 位置(X,)就是一个二维 随机变量 实例2考查某一地区学 前儿童的发育情况，则儿 童的身高H和体重W就 构成二维随机变量(H, 说明 二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X、Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系

实例1 炮弹的弹着点的 位置 (X,Y) 就是一个二维 随机变量. 二维随机变量 ( X, Y ) 的性质不仅与X 、Y 有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系. 实例2 考查某一地 区学 前儿童的发育情况 , 则儿 童的身高 H 和体重 W 就 构成二维随机变量(H,W). 说明

概率论与数理统外「 2.二维随机变量的分布函数 ()分布函数的定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数： F(x,y)=P{X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,)的分布函数，或称为随 机变量X和Y的联合分布函数

2.二维随机变量的分布函数 (1)分布函数的定义 . ( , ) , ( , ) {( ) ( )} { , } : ( , ) , , , 机变量 和 的联合分布函数 称为二维随机变量 的分布函数 或称为随 二元函数 设 是二维随机变量 对于任意实数 X Y X Y F x y P X x Y y P X x Y y X Y x y       

概率论与敖理统计 F(x,y)的函数值就是随机点落在如图所示区 域内的概率 y (x,y) X≤x,YSy 0 文

o x y (x, y)  X  x,Y  y . ( , ) 域内的概率 F x y 的函数值就是随机点落在如图所示区

概率论与散理统外「 (2)分布函数的性质 1°F(x,y)是变量x和y的不减函数，即对于任 意固定的y,当x2>x1时F(2y)≥F(x1,y) 对于任意固定的c,当y2>y时F(x,2)≥F(x,y1) 2°0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=imF(x,y)=0, 〉-0 对于任意固定的x,F(x,-oo)=limF(x,y)=0, F(-00,-00)=lim F(x,y)=0, y→-0

(2) 分布函数的性质 , ( , ) ( , ), 1 ( , ) , 2 1 2 1 o y x x F x y F x y F x y x y 意固定的 当  时  是变量 和 的不减函数 即对于任 , ( , ) ( , ). 2 1 2 1 对于任意固定的x 当y  y时F x y  F x y 2 0 ( , ) 1, o  F x y  对于任意固定的y, (, )  lim ( , )  0,   F y F x y x 且有 对于任意固定的x, ( ,)  lim ( , )  0,   F x F x y y (,)  lim ( , )  0,     F F x y y x

概率论与敖理统计 F(+o0,+oo)=lim F(x,y)=1. y-→+0 +00 3°F(x,y)=F(x+0,y),F(,y)=F(x,y+0), 即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续

(,)  lim ( , )  1.     F F x y y x ( , ) , . 3 ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), o 即 F x y 关 于 x 右连续 关 于 y 也右连续 F x y  F x  y F x y  F x y  o x y     y x

概率伦与教理统针」 4对于任意(x1,y1),(x2,y2),X1<x2,y1<y2 有F(x2,Jy2)-F(x21)+F(K1,1)-F(x1,y2)≥0. 证明P{x,<X≤x2,1<Y≤y2} =P{X≤x2,1<Y≤y2}P{X≤x1,1<Y≤y2} =P{X≤x2,Y≤y2}-P{X≤x2,Y≤y} -P{X≤x1,Y≤y2}+P{X≤x1,Y≤y1}≥0， 故F(x2,y2)-F(x2,y)+F(x1,y1)-F(x1,2)≥0

4 ( , ),( , ), , , 1 1 2 2 1 2 1 2 o 对于任意 x y x y x  x y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 有 F x2 y2  F x2 y1  F x1 y1  F x1 y2  证明 { , } 1 2 1 2 P x  X  x y  Y  y  0, { , } 2 1 2  P X  x y  Y  y { , } 2 2  P X  x Y  y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0. 故 F x2 y2  F x2 y1  F x1 y1  F x1 y2  { , } 1 1 2  P X  x y  Y  y { , } 2 1  P X  x Y  y { , } 1 2  P X  x Y  y { , } 1 1  P X  x Y  y

概率论与敖理统外 二、二维离散型随机变量 1.定义 若二维随机变量(X,Y)所取的可能值是有 限对或无限可列多对，则称(X,Y)为二维离散型 随机变量

若二维随机变量 ( X, Y ) 所取的可能值是有 限对或无限可列多对,则称 ( X, Y ) 为二维离散型 随机变量. 二、二维离散型随机变量 1. 定义

概率论与数理统外「 2.二维离散型随机变量的分布律 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的 值为(x,y),i,j=1,2,.,记 p{X=xi,Y=yi}=pi,i,j=1,2,., 称此为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或 随机变量X和Y的联合分布律. 其中p,≥0，∑∑P,=1. i=1j=1

2. 二维离散型随机变量的分布律 ( , ) ( , ), , 1,2, , { , } , , 1,2, , ( , ) , . i j i j ij X Y x y i j P X x Y y p i j X Y X Y      设二维离散型随机变量 所有可能取的 值为 记 称此为二维离散型随机变量 的分布律 或 随机变量 和 的联合分布律 0, 1. 1 1       i j ij ij 其 中 p p