《概率论与数理统计》课程教学资源（复习课PPT）第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律及中心极限定理

第三章多维随机变量及其分布4 关键词：二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数边缘分布律 边缘概率密 度条件分布函数条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(仪，Y)的概率密度

第三章 多维随机变量及其分布 关键词：二维随机变量 分布函数 分布律 概率密度 边缘分布函数 边缘分布律 边缘概率密 度 条件分布函数 条件分布律 条件概率密度 随机变量的独立性 Z=X+Y的概率密度 M=max(X,Y)的概率密度 N=min(X,Y)的概率密度

概華论与款醒硫外「 1.二维随机变量及联合分布函数 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空间S上的随机变量 ,由它们构成的向量（仪，Y)叫做二维随机向量或二维 随机变量。 二维随机变量(X,Y)的分布函数：F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) (I)F(x,y)关于每个变量x,y单调不减，且右连续： (2)0≤F(x,y)≤1，F(+o0,+o)=1,F(-o0,y)=F(x,-0)=F(-o0,-o0)=0 (3)边缘分布：F(x,+oo)=Fx(x),F(+∞，y)=F,(y) (4)X,Y独立时，F(x,y)=Fx(x)F(y)

1.二维随机变量及联合分布函数 设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在样本空间S上的随机变量 ，由它们构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或二维 随机变量。 二维随机变量(X,Y)的分布函数： F x y P X x Y y ( , ) ( , ) =   (1) , , F x y x y ( )关于每个变量 单调不减,且右连续; (2) 0 ( , ) 1 ( , ) 1, ( , ) ( , ) ( , ) 0   + + = − = − = − − = F x y F F y F x F ， (3) : F(x, ) F (x),F( , y) F (y) 边缘分布 + = X + = Y (4)X,Y F(x, y) F (x)F (y). 独立时， = X Y

概车纶与款理统外 2.二维离散型随机变量 X y P11 P21 p. y2 P12 P22 .卫2 条件分布： P.2 P(X=xY=Y)= Py P(Y=YX=x)= P Pi P1.P2. P。 联合分布律，边缘分布律，独立性表示P,=P.p(任意i,)

2.二维离散型随机变量   j p p p • • • 2 1                 j j ij i i p p p p p p p p p 1 2 12 22 2 11 21 1 x1 x2  xi    j y y y 2 1 p1• p2•  pi•  X Y 联合分布律，边缘分布律，独立性表示 • • = = = = = = i ij j i j ij i j p p P Y y X x p p P X x Y y { } { } 条件分布： p p p ( i, j) ij = i• • j 任意

概華论与款醒硫外 3.二维连续型随机变量 设(X,Y)的分布函数F(x,y)=∫∫f(u,)dudw,则(X,Y)连续 性质：(0f(x,y)≥0，(2)∫∫fx,)dk=1 (③)Fx,)是二元连续函数月在可导点有0F》-=x,) Oxoy (4)G为平面区域则P(XY)eG)=∬fx,y)dy, (5)边缘分布：fx(x)=∫f(x,y)d(把f(x,)非零区域看做X型区域) (o)=∫fx,y)d(把f(x,y)非零区域看做Y型区域)

3.二维连续型随机变量 设(X,Y)的分布函数F(x, y) f (u,v)dudv,则(X,Y)连续. x y   −− =   + − + − 性质:(1) f (x, y)  0;(2) f (x, y)dxdy =1;   = G (4)G为平面区域,则P{(X,Y) G} f (x, y)dxdy; ( , ); ( , ) (3) ( , ) 2 f x y x y F x y F x y =    是二元连续函数且在可导点有 ( ) ( , ) ( ( , ) ) (5) : ( ) ( , ) ( ( , ) ) 把 非零区域看做 型区域 边缘分布 把 非零区域看做 型区域 f y f x y dy f x y Y f x f x y dy f x y X Y X   + − + − = =

(6)条件分布：xO9)=fx,四 概车纶与款理统外 fx(x) (T独立性：f(x,y)=fx(x)f(y)几乎处处成立 例5X连骏概率密度为fc川白人>0广0 ,试求： 0 其他 (①)K的值：(2)求关于X和关于Y的边缘概率密度fx(x)与f(y) (3)判断X与Y是否独立，是否不相关？(4)求概率PX+Y<1

( ) ( , ) (6) ( ) f x f x y f y x X Y X 条件分布： = (7)独立性：f (x, y) f (x) f (y)几乎处处成立. = X Y (3) (4) { 1} . (1) (2) ( ) ( ); , 0 0, 0 5 ( , ) , ( , ) 3 2 +       = − − X Y P X Y K X Y f x f y K e x y X Y f x y X Y x y 判断 与 是否独立，是否不相关？ 求概率 的值； 求关于 和关于 的边缘概率密度 与 试求： 其他 例 ： 连续 概率密度为

概率伦与款理统外 4.二维随机变量函数的分布 (I)Z=X+Y的分布(X,Y)连续) fx-r(=)-jf(s.=-ds-Jf(c-y.y)dy X,Y独立时 = jf.(f(-xdx-Jfx(-y)f(y)dv zZ函分布X,门强 f,(e)=j,jf.(( X,Y独立时

4.二维随机变量函数的分布 ( ) ( ) ( ) ( ) ; ( ) ( , ) ( , ) (1) (( , ) ) ,     + − + − + − + − + = − = − = − = − = + f x f z x dx f z y f y dy f z f x z x dx f z y y dy Z X Y X Y X Y X Y X Y X Y 独立时 的分布 连续     + − + − + − + − = = = = = = ( ) ( ) . 1 ( , ) 1 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ; (2) (( , ) ) , , dx x z f x f x dx x z f x x f z f z x f x x z dx x f x f x z dx Z XY X Y X Y Z X Y X Y X Y X Y X Y X Y 独立时 独立时 与 的分布 连续

概车纶与款理统外 ·M=mc(X,Y),N=in(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别 为Fx(x)和F,(y),现在来求M,N的分布函数F(2)和F(e。 M的分布函数为 Fma(a)P(M≤2)=P(X≤2，Y≤z≥PX≤z)P(Y≤2) 即Fa(a)=Fx(e)F,(a) 因为P(N>z)=P(X>z,Y>z) 所以W的分布函数为： Fnn(a)=P(N=1-P(N>a可 1-P(X>z,Y>2)1-P(X>z)P(Y>2) 即Fm(e)=1-(I-Fx(e)1-F(e》

• , ( ) ( ), , ( ( ) ) X Y max min X Y F x F y M N F z F z 设 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别 为 和 现在来求 的分布函数 和 。 ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) max M F z P M z P X z Y z P X z P Y z =  =   =   的分布函数为： ( ) ( ) ( ) 即 F z F z F z max X Y = 因为P N z P X z Y z ( ) ( , )  =   ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( , ) 1 ( ) ( ) F z P N z P N z min P X z Y z P X z P Y z =  = −  = −   = −   ( ) 1 (1 ( ))(1 ( )) 即 F z F z F z min X Y = − − − 所以N的分布函数为： M max X Y N min X Y = = ( , , , ) ( )的分布

概華论与款醒硫外 ·推广到个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,.,X是n个相互独立的随机变量，它们的分布函 数分别为：Fx(x)i=1,2,n, 则：M=mxX及N=mmX,的分布函数F(e)和Fn(e)为 F()=Fx ()Fx ().Ex() Fmm(z)=1-[1-Fx(z][1-Fx,(z小.[1-Fx,(z] 特别，当X1,X2,.,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x时， Fma(z)=(F(z)” Fmm(2)=1-1-F(z]

• 推广到n个相互独立的随机变量的情况 设X1,X2,.,Xn是n个相互独立的随机变量，它们的分布函 数分别为： 则： ( ) 1,2, , X i i F x i n = ( ) ( ) 1 1 i i max min i n i n M max X N min X F z F z     = = 及 的分布函数 和 为: 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 [1 ( )][1 ( )] [1 ( )] n n max X X X min X X X F z F z F z F z F z F z F z F z = = − − − − ( ) ( ( )) ( ) 1 [1 ( )] n max n min F z F z F z F z = = − − 1 2 , , , ( ) 特别，当 相互独立且具有相同分布函数 时， X X X F x n

概车伦与散理统外「 第四章随机变量的数字特征 关键词： 数学期望 方差 协方差 相关系数

关键词： 数学期望 方差 协方差 相关系数 第四章 随机变量的数字特征

1,期望（位置特征数）与方差（测试偏离中心程度，协方 概率论与款理统针「 差与相关系数X,Y线性相关程度) )离散型：E(X)=∑xP,D(X)=E(X2)-E2(X)=∑x-E(X)p, (2)连续型：E(X)=∫xfx)d,D(X)=E(X2)-E2(X)=∫x-E(Xf(x)d, (3)cov(X,Y)=E(X-E(X)(Y-E(Y))=E(XY)-E(X)E(Y); coMX,)=D(X),相关系数：Pr-DXD cov(X,Y)

1.期望(位置特征数)与方差(测试偏离中心程度),协方 差与相关系数(X,Y线性相关程度) (1) : ( ) , ( ) ( ) ( ) [ ( )] ; 1 2 2 2 1   + = + = = = − = − i i i i 离散型 E X xi pi D X E X E X x E X p (2) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ; 2 2 2   + − + − 连续型：E X = x f x dx D X = E X − E X = x − E X f x dx ( ) ( ) cov( , ) cov( , ) ( ), (3) cov( , ) ( ( ))( ( )) ( ) ( ) ( ); D X D Y X Y X X D X X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y = X Y = = − − = − 相关系数：