《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第01章 随机事件及其概率 1.3 频率与概率

概率论与敖理统外 第三节； 频率与概率 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结

一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 第三节 频率与概率

概率论与散理统外 一、频率的定义与性质 1.定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数n4称为事件A发 生的频数比值”1称为事件A发生的频率，并记 成fn(A)

( ). . , , , , f A A n n A n A n n n A A 成 生的频数比 值 称为事件 发生的频率 并 记 次试验中 事 件 发生的次数 称为事件 发 在相同的条件下 进行了 次试验 在 这 1. 定义 一、频率的定义与性质

概率论与敖理统外 2.性质 设A是随机试验E的任一事件，则 (I)0≤f(A)≤1； (2)f(S)=1,f(0)=0; (3)若A1,A2,.,A是两两互不相容的事件， f(AUA U.UA)=f (A)+f(4)++(A)

2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 (1) 0  f (A)  1; n (2) f (S)  1, f ()  0; 1 2 1 2 1 2 (3) , , , , ( ) ( ) ( ) ( ). k n k n n n k A A A f A A A f A f A f A     若 是 两两 互不相容的事件

概率轮与数理统计「 实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做 7遍，观察正面出现的次数及频率， 试验 n=5 n=50 n=500 序号 na nH nH ∫ 2 0.4 22 0.44 251 0.502 2 1hh池hò士4n 0.498 3 随n的增大，频率f呈现出稳定性 U.4 Z30 0.512 0.50 247 0.494 5 在处波动较少 0.48 251 0.502 6 2 0.4 18 0.36 2波动最小 7 4 0.8 27 0.54 258 0.516

实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 试验 序号 n  5 nH f 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 nH f n  50 22 25 21 25 24 18 27 nH n  500 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 在 处波动较大 2 1 在 处波动较小 2 1 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性

概率论与敖理统计「 从上述数据可得 ()频率有随机波动性，即对于同样的，所得的 f不一定相同； (2)抛硬币次数n较小时，频率f的随机波动幅 度较大，但随n的增大，频率f呈现出稳定性.即 当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动，且 逐渐稳定于0.5

从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;

概率论与数理统外「 实验者 n nu f 德摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K皮尔逊 12000 6019 0.5016 K.皮尔逊 24000 12012 0.5005 f(H) n的增大1 2

实验者 德.摩根 蒲丰 K.皮尔逊 K.皮尔逊 n nH f 2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 f ( H ) n的增大 . 21

概率论与敖理统外 重要结论 频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增 大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的 概率

重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大,当 n 逐渐增 大时 , 频率趋于稳定值, 这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的 概率

概率论与散理统外「 二、概率的定义与性质 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构，给出了概率的严格定义，使概 率论有了迅速的发展. 柯尔莫哥洛夫资料

1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概 率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义 ,使概 率论有了迅速的发展. 二、概率的定义与性质 柯尔莫哥洛夫资料

概率论与敖理统计 1.概率的定义 设E是随机试验，S是它的样本空间对于E 的每一事件A赋于一个实数，记为P(A),称为事 件A的概率，如果集合函数P()满足下列条件： (1)非负性：对于每一个事件A,有P(A)≥0； (2)规范性：对于必然事件S,有P(S)=1; (3)可列可加性：设A1,A2,.是两两互不相容的 事件，即对于i≠j,AA=0,i,j=1,2,.,则有 P(A UAU.)=P(A)+P(A)+. 概率的可列可加性

, . , ( ) , , ( ) : E S E A P A A P  设 是随机试验 是它的样本空间 对于 的每一事件 赋于一个实数 记为 称为事 件 的概率 如果集合函数 满足下列条件 (1)非负性: 对于每一个事件 A, 有 P(A)  0; (2) : , ( ) 1; 规范性 对于必然事件 S P S 有  1 2 (3) : , , , , , , 1, 2, , i j A A i j A A i j     可列可加性 设 是两两互不相容的 事件 即对于 则有 1 2 1 2 P A A P A P A ( ) ( ) ( )    概率的可列可加性 1. 概率的定义

概率论与散理统外 2.性质 (1)P(☑)=0. 证明An=0(n=1,2,). 则UAn=②，且AA,=0,i≠j: n= 由概率的可列可加性得 P②-P424 P(☑)≥0

(1) P()  0. 证明 ( 1,2, ). A n n    1 , , . n i j n A A A i j   则      且 由概率的可列可加性得 1 ( ) n n P P A           1 ( ) n n P A          1 ( ) n P P()  0  ()  0.    P 2. 性质