《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第05章 大数定律及中心极限定理 5.1 大数定律

概率论与敖理统外 第一节 大数定律 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结

第一节 大数定律 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结

概率论与数理统外「 概述 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科 学，但随机现象统计规律只要在相同条件下进行大量 的实验才能得到，为研究这种大量的随机现象，就必 须采取极限方法。 大数定理是反映随机变量的算术平均值逐渐稳定 于随机变量数学期望的算术平均值的一组定律，它们 奠定了以频率稳定值作为事件概率的理论基础。 中心极值地理是描述大量随机变量和服从或近似 服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概 率论中的重要地位

概述 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的科 学，但随机现象统计规律只要在相同条件下进行大量 的实验才能得到，为研究这种大量的随机现象，就必 须采取极限方法。 大数定理是反映随机变量的算术平均值逐渐稳定 于随机变量数学期望的算术平均值的一组定律，它们 奠定了以频率稳定值作为事件概率的理论基础。 中心极值地理是描述大量随机变量和服从或近似 服从正态分布的一类定理，它们奠定了正态分布在概 率论中的重要地位

一、问题的引入 概率论与敖理统外 1、保险：具有概率低、花费大的特点。 2、婚礼保险（份子钱）： 设村里有100个人，每人每年结婚的概率为1%， 有人结婚要花费10万元。 假设该年内有一个人结婚，需要每个人包红包： 10万元/100人=1000元/人 该年有2个人结婚，3个人结婚，.，甚至除了我 其他人都结婚，这些理论上都有可能。 解决的方法：和其它村联合起来，那么结婚的越趋 于1%，越平缓

一、问题的引入 1、保险：具有概率低、花费大的特点。 2、婚礼保险(份子钱)： 设村里有100个人，每人每年结婚的概率为1%， 有人结婚要花费10万元。 假设该年内有一个人结婚，需要每个人包红包： 10万元/100人=1000元/人 该年有2个人结婚， 3个人结婚，.，甚至除了我 其他人都结婚，这些理论上都有可能。 解决的方法：和其它村联合起来，那么结婚的越趋 于1%，越平缓

概率论与散理统外 3、相互保： 设有500万人参保，若有人生病了救助30万元。每 半个月确认一次，不妨设有100人病了，每人需要 交纳 30万元×100人/500万人=6元/人 还要收取10%的管理费：6元*10%=0.6元。 共计6.6元。 会不会出现有400万人同时生病的情况呢？ 不会，这归功于大数定理

3、相互保： 设有500万人参保，若有人生病了救助30万元。每 半个月确认一次，不妨设有100人病了，每人需要 交纳 30万元×100人/500万人=6元/人 还要收取10%的管理费：6元*10%=0.6元。 共计6.6元。 会不会出现有400万人同时生病的情况呢？ 不会，这归功于大数定理

概率论与敖理统外 二、基本定理 定理一（契比雪夫定理的特殊情况) 契比雪夫 设随机变量X1,X2,Xn,.相互独立， 且具有相同的数学期望和方差：E(X)=山， D(Xk)=o2(k=1,2,),作前n个随机变量 的算术平均序列下=之X,则对于任意正 n k=1 数ε有 mP月x-4小k=m

二、基本定理 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 1 2 2 1 , , , , , ( ) , ( ) ( 1, 2, ), 1 , n k k n k k X X X E X D X k n X X n          设随机变量 相互独立 且具有相同的数学期望和方差： 作前 个随机变量 的算术平均序列 则对于任意正 数 有 契比雪夫 1 1 lim {| | } lim 1. n k n n k P X P X n                    

概率论与散理统外 二、基本定理 定 契比雪夫 表达式的意义 {X-4飞是二个随机事件，等式表 明，当n→oo时这个事件的概率趋于升， 即对于任意正数&，当n充分大时，不 量 等式|X-4Ks成立的概率很大 正 Y k=1 数& m阳服水=P空- <8=1

定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 1 2 2 1 , , , , , ( ) , ( ) ( 1, 2, ), 1 , n k k n k k X X X E X D X k n X X n          设随机变量 相互独立 且具有相同的数学期望和方差： 作前 个随机变量 的算术平均序列 则对于任意正 数 有 契比雪夫 1 1 lim {| | } lim 1. n k n n k P X P X n                     表达式的意义 | | . , , , 1, {| | } , 等 式 成立的概率很大 即对于任意正数 当 充分大时 不 明 当 时这个事件的概率趋于 是一个随机事件 等式表            X n n X 二、基本定理

概率论与散理统外 证明 2x]2sK)-=4 客x]是2ma-日 由契比雪夫不等式可得 P容-ue小1品 在上式中令n→oo,并注意到概率不能大于1，则 pEx.-4xo-1. [证毕判

证明 ( ) 1 1 1 1           n k k n k k E X n X n E , 1   n   n ( ) 1 1 1 2 1           n k k n k k D X n X n D , 1 2 2 2 n n n      由契比雪夫不等式可得 1 , 1 2 2 1 n X n P n k k                 在上式中令n  ， 并注意到概率不能大于1, 则 1. 1 1              n k Xk n P [证毕]

概率论与数理统外 关于定理一的说明： 当n很大时，随机变量X,X2,Xn的算术平 均之X接近于数学期望 n k=1 E(X1)=E(X2)=.=E(Xk)=4 (这个接近是概率意义下的接近) 即在定理条件下，n个随机变量的算术平均，当n 无限增加时，几乎变成一个常数

关于定理一的说明: 1 2 1 1 2 , , , , 1 ( ) ( ) ( ) , n n k k k n X X X X n E X E X E X        当 很大时 随机变量 的算术平 均 接近于数学期望 （这个接近是概率意义下的接近） 即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数

概率论与敖理统计 以概率收敛 设y,Y,Yn,是一个随机变量序列，a是一个常数 若对于任意正数有imP{IYn-ak}=1,则称序列 Y,Y2,Yn,依概率收敛于a,记为

, , 1 2 1 2 , , , , lim {| | } 1, , , , n n n n P n Y Y Y a P Y a Y Y Y a Y a         设 , 是一个随机变量序列 是一个常数 若对于任意正数 有 则称序列 , 依概率收敛于 记为 以概率收敛

概率论与散理统外「 定理一的另一种叙述： 设随机变量X1,X2,.,Xn,.相互独立， 且具有相同的数学期望和方差：E(X)=山， D(X)=o2W=1,2,则序列X=之x 几k= 依概率收敛于山，即下”→山

定理一的另一种叙述: 1 2 2 1 , , , , , ( ) , 1 ( ) ( 1, 2, ), , . n k n k k k P X X X E X D X k X X n X            设随机变量 相互独立 且具有相同的数学期望和方差： 则序列 依概率收敛于 即