《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿）第07章 参数估计 7.3 估计量的评选标准

概率枪与散理统外「 第三节 估计量的评选标准 问题的提出 一、无偏性 二、有效性 三、相合性 小结

第三节 估计量的评选标准 问题的提出 一、无偏性 二、有效性 三、相合性 小结

概率论与散理统计 问题的提出 从前一节可以看到，对于同一个参数，用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同，如上节 的例3和例8.而且，很明显，原则上任何统计量都 可以作为未知参数的估计量。 问题 ()对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好？ (2)评价估计量的标准是什么？ 下面介绍几个常用标准

问题的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同, 如上节 的例3和例8. 而且, 很明显, 原则上任何统计量都 可以作为未知参数的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么? 下面介绍几个常用标准

概率论与散理统外「 一、无偏性 若X,X2,Xn为总体X的一个样本， 0∈®是包含在总体X的分布中的待估参数 (⊙是0的取值范围 若估计量0=0(X,X2,Xn)的数学期望 E(O存在，且对于任意0∈O有E(0)=0,则称 6是0的无偏估计量 无偏估计的实际意义：无系统误差

一、无偏性 1 2 , , , 若X X X X n 为总体 的一个样本，  是包含在总体X的分布中的待估参数, (是 的取值范围) ( ) , . 1 2 ˆ , , , ˆ ˆ ( ) ( ) , ˆ X X Xn E E            若估计量 的数学期望 存在 且对于任意 有 则称 是 的无偏估计量 无偏估计的实际意义: 无系统误差

概率论与散理统计 例1设总体X的k阶矩4=E(X)(k≥1)存在， 又设X1,X2,Xn是X的一个样本，试证明不论 总体服从什么分布，k阶样本矩4=之X是 n i=i k阶总体矩山，的无偏估计. 证因为X,X2,Xn与X同分布， 故有E(X)=E(X)=4,i=1,2,n. 即E4)=1∑E(X)=4: n i=1

, , . 1 2 1 ( ) ( 1) , , , 1 k k n n k k i i k X k E X k X X X X k A X n k        设总 体 的 阶矩 存在 又设 是 的 一个样本，试证 明 不 论 总 体服从什 么 分布 阶样本矩 是 阶总 体矩 的 无偏估计 证 1 2 , , , 因 为X X X X n 与 同 分布 ， ( ) ( ) k k 故有 E Xi  E X , 1,2, , . k    i n   ni k k E Xi n E A 1 ( ) 1 即 ( ) .  k 例 1

概率伦与散理统针」 故k阶样本矩A是k阶总体矩山的无偏估计. 特别地： 不论总体X服从什么分布， 只要它的数学期望存在， X总是总体X的数学期望山=E(X)的无偏 估计量

故 阶样本矩 是 阶总体矩 的无偏估计. k Ak k k 特别地: . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望  E X 的无偏 不论总体 X 服从什么分布, 只要它的数学期望存在

概率论与散理统计 例2对于均值山，方差σ2>0都存在的总体，若 4,。2均为未知，则2的估计量62=12(X,-X2 n i=i 是有偏的（即不是无偏估计）. 证62=1∑x3-X2=4,-X2, n i=1 因为E(A2)=42=o2+2, 又因为E(X3)=D(x)+[E(XP=。+ +2, 所以E(62)=E(A,-X2)=E(A)-E(X)

( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方 差 都存在的总体 若     ni Xi X n       证    ni Xi X n 1 2 1 2 2 ˆ , 2  A 2  X 2 2 因为 E(A )   , 2 2     2 2 又因为 E(X )  D(X) [E(X)] , 2 2    n ( ˆ ) ( )2 2 2 所以 E   E A  X ( ) ( ) 2  E A2  E X 例 2

概率论与数理统外 =n-1.2≠02，所以62是有偏的. n 若以” 乘62，所得到的估计量就是无偏的. n-l (这种方法称为无偏化). ”B6)=w 因为n”=5.2x-X 即S2是σ2的无偏估计，故通常取S2作σ的估计量

, 1 2 2      n n ˆ . 所以 2 是有偏的 ˆ , . 1 若 以 乘 2 所得到的估计量就是无偏 的 n  n (这种方法称为无偏化). ( ˆ ) . 1 ˆ 1 2 2 2              E n n n n E 2 2 ˆ 1 S n n   因为  ( ), 1 1 1 2     n i Xi X n , 即S 2是 2 的无偏估计 . 故通常取S 2作 2的估计量

概率论与散理统计 例3.设X,X2,X3是来自总体N(4,3)的样本，试证明 X和X+式：+片X,都是未知意数“的无偏 估计量。 这个例子表明，一个参数可以有不同的无偏估 计量

这个例子表明,一个参数可以有不同的无偏估 计量. 1 2 3 X X X , , 2 N( ,3 )  X 1 2 3 1 1 1 4 4 2 X X X    例3. 设 是来自总体 的样本，试证明 和 都是未知参数 估计量。 的无偏

概率论与数理统外「 二、有效性 比较参数0的两个无偏估计量0，和0，如果 在样本容量n相同的情况下，0，的观察值较0，更 密集在真值0的附近，则认为0，较0，理想. 由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度，所以无偏估计以方差小者为好 设6=0X,X2,Xn)与6=，X,X2,Xn) 都是0的无偏估计量，若有D(0)≤D(⊙，)， 则称0较0，有效

二、有效性 . ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ 1 2 1 2 1 2 密集在真值 的附近 则认为 较 理想 在样本容量 相同的情况下 的观察值较 更 比较参数 的两个无偏估计量 和 如果         n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好. 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) , ( . 1 2 1 2 ˆ ˆ ˆ ˆ , , , , , , ˆ ˆ ) ( ), ˆ ˆ X X X X X X n n D D             设 与 都是 的无偏估计量 若有 则称 较 有效

概率论与敖理统计】 例4（续例3）设X1,X2,X,是来自总体N(4,3)的 样本，又和}X+水+时出都是未知参数口 4 的无偏估计量。试比较它们的有效性。 由于：D8=D0X0=33=3 X+ +xD)+) +分DX,)=8x3 所以灭更有效

例4 (续例3) 样本， 的无偏估计量。试比较它们的有效性。 设 的 2 X X X 1 2 3 , , 是来自总体 N( ,3 )  X 1 2 3 都是未知参数  1 1 1 4 4 2 和 X X X   由于： 1 1 2 ( ) ( ) 3 3 3 3 D X D X     2 2 1 2 3 1 2 2 2 3 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 2 4 4 1 3 ( ) ( ) 3 2 8 D X X X D X D X D X        所以 X 更有效