《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第2章 随机变量及其分布 第五节 随机变量的函数分布

概车纶与款理统外 第五节随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布

一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 第五节 随机变量的函数的分布

概華伦与款程硫外 一、离散型随机变量的函数的分布 设f(x)是定义在随机变量X的一切可能值 x的集合上的函数，若随机变量Y随着X取值x 的值而取y=f(x)的值，则称随机变量Y为随机 变量X的函数，记作Y=(X), 问题 如何根据已知的随机变量X的 分布求得随机变量Y=f(X)的分布？

, ( ). ( ) , , ( ) X Y f X y f x Y x Y X x f x X = = 变量 的函数 记作 的值而取 的值 则称随机变量 为随机 的集合上的函数 若随机变量 随着 取值 设 是定义在随机变量 的一切可能值 问题 分布求得随机变量 ( )的分布? 如何根据已知的随机变量 的 Y f X X = 一、离散型随机变量的函数的分布

概车纶与款理统外 例1设X的分布律为 X-1012 1111 4 444 求Y=X2的分布律 解 014 Y的分布律为 111 424

解 . 求 2 的分布律 设 的分布律为 Y X X = X p − 1 0 1 2 4 1 4 1 4 1 4 1 例1 Y 的分布律为 Y p 4 1 2 1 4 1 0 1 4

概率伦与款程统外 离散型随机变量的函数的分布 如果X是离散型随机变量，其函数Y=g(X) 也是离散型随机变量若X的分布律为 X xi x2 Xk Pk P2 Pk 则Y=g(X)的分布律为 Y=g(X) 8(x1)g(x2) Pk P P2 Pk 若g(x)中有值相同的应将相应的P合并

离散型随机变量的函数的分布 也是离散型随机变量 若 的分布律为 如果 是离散型随机变量 其函数 X X Y g X . , = ( ) X pk x1 x2  xk  p1 p2  pk  则Y = g(X)的分布律为 pk Y = g(X) p1 p2  pk  g(x1 ) g(x2 )  g(xk )  若 ( )中有值相同的,应将相应的 合并. g xk pk

概车纶与散理统针「 二、连续型随机变量的函数的分布 例2 设随机变量X的概率密度为 fx(x)=〈 0<x<4, 0,其他 求随机变量Y=2X+8的概率密度： 解第一步先求Y-2X+8的分布函数F,(y), F,(y)=P{Y≤y}=P{2X+8≤y}

第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 F ( y). Y F ( y) P{Y y} Y =  = P{2X + 8  y} 解 二、连续型随机变量的函数的分布 2 8 . 0, . , 0 4, ( ) 8 求随机变量 的概率密度 其他 设随机变量 的概率密度为 = +       = Y X x x f x X X 例2

概華论与款程统外 =Ps'=r(,3 第二步由分布函数求概率密度 o=5o)-[8r号 所以例-g"28分0<经8 4 0, 其他. 8<y<16, 0, 其他

f ( y) F ( y) Y y =  8 ( ) 2 X y F − } = 2 8 { − =  y P X 8 1 ( ) , 2 2 X y f − = 第二步 由分布函数求概率密度. 8 [ ( )] 2 X y F − =        −   − = 0, . 4, 2 8 , 0 2 1 ) 2 8 ( 8 1 ( ) 其他 所以 y y f y Y        − = 0, . , 8 16, 32 8 其他 y y

概率伦与散理统针」 例3设随机变量X的概率密度为fx(x),求随机变量 Y=X2的概率密度！ 解先求随机变量Y=X2分布函数， 当y>0时 F,(Oy)=P{Y≤y以=P{X2≤y} =P{y≤X≤y}=Fx(Wy)-Fx(-Vy) 当y≤0时F,(y)=0

F ( y) P{Y y} Y =  { } 2 = P X  y = P{− y  X  y} F ( y) F ( y) = X − X − 2 ( ), . X f x X Y X = 设随机变量 的概率密度为 求随机变量 的概率密度 解 , 先求随机变量Y = X 2 分布函数 例3 当 y  0 时 当 y  0 时 FY (y) = 0

概率伦与款理统外 再由分布函数求概率密度 fy(y)=F(y) -5r-1x-0 0, y≤0 .5 y≤0

f ( y) F ( y) Y Y =  再由分布函数求概率密度. ( )( ) ( )( ) , 0 0, 0 X X f y y f y y y y    − − −  =    1 [ ( ) ( )] , 0 2 0, 0 X X f y f y y y y  − −   =    

概车纶与散理统外「 定理设随机变量X的具有概率密度fx(x), 其中-00(或恒有g'(x)<0),则称Y=g(Y)是连续型 随机变量，其概率密度为 m-n a<y<B, 其他. 其中a=min(g(-oo),g(+o),B=max(g(-oo),g(+o∞)， h(y)是g(x)的反函数

( ) ( ) . min( ( ), ( )), max( ( ), ( )), 是 的反函数 其 中 h y g x α = g − g + β = g − g +       =     = −    +  0, . [ ( )] ( ), , ( ) , ( ) 0( ( ) 0), ( ) , ( ) , ( ), 其 他 随机变量 其概率密度为 或恒有 则 称 是连续型 其 中 又设函数 处处可导 且恒有 定理 设随机变量 的具有概率密度 f h y h y α y β f y g x g x Y g Y x g x X f x X Y X

概率伦与款程统外 例4设随机变量X~N(u,σ2)，试证明X的线 性函数Y=aX+b(a≠0)也服从正态分布. 证明X的概率密度为 人6四=左a 1-2 e2o2 ,-00<X<十00. 设y=g(x)=x+b, 得x=0)=”后，知0列=0

证明 X 的概率密度为 e , . 2π 1 ( ) 2 2 2 ( ) = −   + − − x σ f x σ x μ X 设 y = g(x) = ax + b, ( ) , a y b x h y − 得 = = 0. 1 ( ) =  a 知 h y ( 0) . ~ ( , ), 2 性函数 也服从正态分布 设随机变量 试证明 的线 Y = aX + b a  例4 X N μ σ X