《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第4章 随机变量的数字特征 第二节方差

概车纶与款理统外 第二节方差 一、随机变量方差的概念及性质 二、重要概率分布的方差 三、例题讲解

一、随机变量方差的概念及性质 三、例题讲解 二、重要概率分布的方差 第二节 方 差

概率纶与款理统外「 一、随机变量方差的概念及性质 1.概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值离散程度 的量 实例有两批灯泡，其平均寿命都是E)=1000小时. 0 1000 ● 1000

1. 概念的引入 方差是一个常用来体现随机变量取值离散程度 的量. 实例 有两批灯泡,其平均寿命都是 E(X)=1000小时. • O x • • • • • • • • • O x • • • • • • • • • 1000 • 1000 一、随机变量方差的概念及性质

概率伦与散理统针」 2.方差的定义 设X是一个随机变量若E{LX-E(X)}存在， 则称E{X-E(X))为X的方差，记为D(X)或 Var(X),即. D(X)=Var(X)=EX-E(X)). 称√D(X)为标准差或均方差，记为σ(X)

( ) , ( ). ( ) Var( ) {[ ( )] }. Var( ), {[ ( ) ] } , ( ) , {[ ( )] } , 2 2 2 D X σ X D X X E X E X X E X E X X D X X E X E X 称 为标准差或均方差 记 为 即 则 称 为 的方差 记 为 或 设 是一个随机变量若 存 在 = = − − −  2. 方差的定义

概率伦与款程统外 3.方差的意义 方差体现随机变量X取值的离散程度， 如果D(0值大，表示X取值离散程度 大，E()的代表性差； 如果D()值小，则表示X的取值比较 集中，以E()作为随机变量的代表性好. 注：方差是一个无量纲的的量

方差体现随机变量 X 取值的离散程度. 注： 方差是一个无量纲的的量 3. 方差的意义 如果 D(X) 值小, 则表示X 的取值比较 集中, 以 E(X) 作为随机变量的代表性好. 如果 D(X) 值大, 表示 X 取值离散程度 大, E(X) 的代表性差;

概车纶与款理统外 4.随机变量方差的计算 (1)利用定义计算 D(X)=EX-E(X 离散型随机变量的方差 +0 D(X)=∑Ix&-E(X)'p, k= 其中P{X=x}=Pk,k=1,2,是X的分布律 连续型随机变量的方差 D(X)=x-E(X)Pf(x)dx, 其中f(x)为X的概率密度

离散型随机变量的方差 ( ) [ ( )] , 1 2 k k k D X  x E X p + = = − 连续型随机变量的方差 ( ) [ ( )] ( )d , 2 D X x E X f x x  + − = − 4. 随机变量方差的计算 (1) 利用定义计算 其中 f (x)为X的概率密度. 其中P{X x } p , k 1,2, 是 X 的分布律. = k = k =  ( ) {[ ( )] } 2 D X = E X − E X

概率伦与款程统外 (2)利用公式计算 D(X)=EX-E(X) D(X)=E(X2)-E(X)2

( ) ( ) [ ( )] . 2 2 D X = E X − E X (2) 利用公式计算 ( ) {[ ( )] } 2 D X = E X − E X

理财产品盈亏分析 概车纶与款理统外 产品A 产品B 25% ■收益8万元 30% ■收益5万元 20% 25% 20%15% ■收益3万元 15% ■盈亏持平 15% 20% 15% 10% ■亏损1万元 8% 5% ■亏损3万元 1c15% 15% 10% 亏损6万元 10% 产品C 10% 5% 25% ■收益6万元 5% 20% 20% ■收益3万元 15% ■收益1万元 收益4万元地益3万元 5万元 10% 10%■盈亏持平 收益5万元 的益4万元 盈亏持平亏持平 收益3万元 亏损2万元损2万元 亏损1万元员1万元 亏损4万元损4万元 ■亏损1万元 。亏损3万元

理财产品盈亏分析 10% 15% 25% 20% 15% 10% 5% 产品A 8% 15% 30% 20% 15% 10% 5% 产品B 收益8万元 收益5万元 收益3万元 盈亏持平 亏损1万元 亏损3万元 亏损6万元 10% 20% 25% 20% 15% 10% 产品C 收益6万元 收益3万元 收益1万元 盈亏持平 亏损1万元 亏损3万元

引入随机变量 概率伦与数醒统外 品B 产品A 收益：Y 收益：X ·收益8万元 30% ■收益5万元 25% 20%15% ■收益3万元 0.25 15% ■盈亏持平 0.20 10% ·亏损1万元 8% 5% ·亏损3万元 0.15 0.15。 ■亏损6万元 0.10 0.15 产品C 收益：Z 1u/0 ■收益6万元 0.05 25% 5% 20% ■收益3万元 20% ■收益1万元 15% ■盈亏持平 10% 10% 万元 2万元 ■亏损1万元 ■亏损3万元

10% 15% 25% 20% 15% 10% 5% 产品A 8% 15% 30% 20% 15% 10% 5% 产品B 收益8万元 收益5万元 收益3万元 盈亏持平 亏损1万元 亏损3万元 亏损6万元 10% 20% 25% 20% 15% 10% 产品C 收益6万元 收益3万元 收益1万元 盈亏持平 亏损1万元 亏损3万元 收益：𝑿 收益：Y 收益：Z 引入随机变量 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.15 0.05

概率分布 概车纶与款理统外 。理财产品A, 预期收益x的概率分布 X(单位：万元) 5 4 3 0 1 -2 4 p 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 。理财产品B,预期收益Y的概率分布 Y(单位：万元) 8 5 3 0 -1 -3 -6 p 0.08 0.12 0.30 0.20 0.15 0.10 0.05 理财产品C,预期收益Z的概率分布 Z(单位：万元) 6 3 1 0 -1 -3 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10

概率分布 • 理财产品A，预期收益X的概率分布 X（单位：万元） 5 4 3 0 -1 -2 -4 p 0.10 0.15 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05  理财产品B，预期收益Y的概率分布 Y（单位：万元） 8 5 3 0 -1 -3 -6 p 0.08 0.12 0.30 0.20 0.15 0.10 0.05  理财产品C，预期收益Z的概率分布 Z（单位：万元） 6 3 1 0 -1 -3 p 0.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10

概華论与款程统外 数学期望（均值）是什么？ ·数学意义：数学期望由随机变量的取值与 其对应的概率加权平均得到，因此称之为 均值，它反映的是随机变量取值的平均水 平。 ·经济意义：数学期望是投资者所“期望” 获得的预期收益，因此称之为数学期望 它代表了“风险投资”中投资者预期的平 均收益

数学期望(均值)是什么？ • 数学意义：数学期望由随机变量的取值与 其对应的概率加权平均得到，因此称之为 均值，它反映的是随机变量取值的平均水 平。 • 经济意义：数学期望是投资者所“期望” 获得的预期收益，因此称之为数学期望， 它代表了“风险投资”中投资者预期的平 均收益