《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第7章 参数估计 第七节 单侧置信区间

概華论与款醒硫外 第七节！ 单侧置信区间 一、问题的引入 二、基本概念 三、典型例题

第七节 单侧置信区间 二、基本概念 三、典型例题 一、问题的引入

概车纶与款理统外 一、问题的引入 在以上各节的讨论中，对于未知参数0，我们给 出两个统计量8,0，得到的双侧置信区间(，0). 但在某些实际问题中，例如，对于设备、元 件的寿命来说，平均寿命长是我们希望的，我们 关心的是平均寿命0的“下限”；与之相反，在 考虑产品的废品率p时，我们常关心参数p的 “上限”，这就引出了单侧置信区间的概念

一、问题的引入 , , ( , ). , ,       出两个统计量 得到 的双侧置信区间 在以上各节的讨论中 对于未知参数 我们给 但在某些实际问题中, 例如, 对于设备、元 件的寿命来说, 平均寿命长是我们希望的, 我们 关心的是平均寿命 的“下限”; 与之相反, 在 考虑产品的废品率 p时, 我们常关心参数 p的 “上限”, 这就引出了单侧置信区间的概念. 

概華论与款醒硫外 二、基本概念 1.单侧置信区间的定义 对于给定值(08}≥1-a, 则称随机区间(8，+∞)是0的置信水平为1-x的单 侧置信区间，&称为0的置信水平为1-a的单侧置 信下限

二、基本概念 1. 单侧置信区间的定义 { } 1 , ( , , , ), (0 1), , , , 1 2 1 2            −  =   P X X X X X X n n 满 足 确定的统计量 对于任意 对于给定值 若由样本   . , 1 ( , ) 1 信下限 侧置信区间 称 为 的置信水平为 的单侧置 则称随机区间 是 的置信水平为 的 单       − +  −

概率伦与散理统针」 又如果统计量0=0(X1,X2,.,Xn),对于任 意0∈⊙满足 P{0<0}≥1-a, 则称随机区间(-o,0)是0的置信水平为1-a的 单侧置信区间0称为0的置信水平为1-的单侧 置信上限

{ } 1 , ( , , , ), 1 2           − = P X X Xn 意 满 足 又如果统计量  对于任 . , 1 ( , ) 1 置信上限 单侧置信区间 称 为 的置信水平为 的单侧 则称随机区间 是 的置信水平为 的       − −  −

概车纶与款理统外 2.正态总体均值与方差的单侧置信区间 设正态总体X的均值是山，方差是σ2（均为未知）， X,x,X是一个样本由X-业m-l, S/√n 有ra-以-1a 即Pu>8-a-0}=1-a

2. 正态总体均值与方差的单侧置信区间 , ( ), 设正态总体 X 的均值是 方差是 2 均为未知 , , , , X1 X2  Xn 是一个样本 ~ ( 1), / − − t n S n X  由 ( 1) 1 , /    = −        − − t n S n X 有 P  ( 1) 1 ,  = −        − t n − n S 即 P X

概车伦与散理统外」 于是得μ的一个置信水平为1-α的单侧置信区间 (-.m-+ A的这信水平为1-a的江信下限4=X-a-) 又根解亿-a-小 有P8>a-=1-a

( 1), ,      − t n − +  n S X   的置信水平为1−的置信下限 = − t (n −1). n S  X  ~ ( 1), ( 1) 2 2 2 − − n n S   又根据 ( 1) 1 , ( 1) 2 2 1 2     = −        − − − n n S 有 P 于是得 的一个置信水平为1− 的单侧置信区间

概華论与款醒硫外「 甲re=1-a 于是得σ2的一个置信水平为1-α的单侧置信区间 a(n-D) o2的置信水平为1-a的单侧置信上限 o2=n-1)S2 -a(n-1)

1 于是得 2 的一个置信水平为 − 的单侧置信区间 , ( 1) ( 1) 0, 2 1 2         − − − n n S   1  2 的置信水平为 − 的单侧置信上限 . ( 1) ( 1) 2 1 2 2 − − = − n n S    1 , ( 1) ( 1) 2 1 2 2     = −       − −  − n n S 即 P

概车纶与款理统外 三、典型例题 例1设从一批灯泡中，随机地取5只作寿命试验， 测得寿命（以小时计）为1050,1100,1120,1250， 1280,设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均 值的置信水平为0.95的单侧置信下限. 解1-=0.95，n=5,x=1160,s2=9950, ta(n-1)=t.s(4)=2.1318, 4的置信水平为0.95的置信下限 4=x-S.(n-l)=1065. n

三、典型例题 设从一批灯泡中, 随机地取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时计)为 1050, 1100, 1120, 1250, 1280, 设灯泡寿命服从正态分布, 求灯泡寿命平均 值的置信水平为 0.95 的单侧置信下限. 解 1− = 0.95, n = 5, x = 1160, ( 1) (4) 2.1318, t n − = t 0.05 = 9950, 2 s =  的置信水平为0.95的置信下限 = − t (n −1) = 1065. n s x   例1

概華论与款醒统外 小结 正态总体均值的置信水平为1-a的单侧置信区间 -a-+o 单侧置信上限π 单侧置信下限4 正态总体方差σ2的置信水平为1-o的单侧置信区间 单侧置信上限σ2

. ( 1) ( 1) 0, 2 1 2         − − − n n S   小结 ( 1), ,      − t n − +  n S X  正态总体均值 的置信水平为1 − 的单侧置信区间 1 正态总体方差 2 的置信水平为 −的单侧置信区间 , ( 1),      −  + t n − n S X  单侧置信上限 单侧置信下限  2 单侧置信上限