《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 复数与复变函数 1.2 复数的表示

第二节复数的三角表示 2.1复数的模和辐角 2.2复数模的三角不等式 2.3复数的三角表示 2.4用复数的三角表示作乘除法 2.5复数的乘方与开方

第二节 复数的三角表示 2.1 复数的模和辐角 2.2 复数模的三角不等式 2.3 复数的三角表示 2.4 用复数的三角表示作乘除法 2.5 复数的乘方与开方

2.1复数的模（或绝对值）和辐角 1.如果是一个不等于零的复数，把它对应的 向量的长度叫做z的模，记做z 2=r=Vx2+2. 显然下列各式成立 Pz=x+iy x≤z, y≤z, z≤x+y,zz=z2=zl

2.1 复数的模(或绝对值)和辐角 . 2 2 z  r  x  y x y x y o z  x  iy P 显然下列各式成立 r x  z, y  z, z  x  y , . 2 2 zz  z  z 向量的长度叫做z的模 ,记做 z 1.如果z是一个不等 于零的复数，把它对应 的 2

2.复数z≠0，把它对应的向量的方向角称为z 的辐角. z的辐角记做：Argz 说明 任何一个复数z≠0有无穷多个辐角， 如果0，是其中一个辐角，那么z的全部辐角为 Argz=0,+2km(k为任意整数). 特殊地，当z=0时，z=0,辐角不确定

说明 任何一个复数 z  0有无穷多个辐角, , 如果 1 是其中一个辐角 Arg 2 π ( ). z   1  k k为任意整数 特殊地, 当 z  0时, z  0, 那么 z的全部辐角为 辐角不确定. 的辐角. 2.复数z  0，把它对应的向量的方向 角称为z z的辐角记做 : A rgz 3

3辐角主值的定义： 在z(≠0)的辐角中把满足-元0, X 元 士 x=0,y≠0， argz=了 arctan±元， x<0,y≠0， X 元， x<0,y=0. (其中-<arctan'< 2

3.辐角主值的定义: Arg , arg . ( 0) , π π 0 0 0 z z z         称为 的主值 记作 在 的辐角中把满足 的 x  0, ) 2 arctan 2 (      x y 其中 z  0 辐角的主值      arg z  x  0, y  0, x  0, y  0, x  0, y  0. arctan , x y , 2 π  arctan π , x y π , 4

12 Z=x+yi z=x十yi aretan关 arg z arctan若 arg Z X 0 0 +X +X arctan arg z y arg z arctan x z=x+yi z=x+yi

5

2.2复数模的三角不等式 因为乙1-乙2表示点1和2之间的距离，故 1-2 (1)31+z2≤z1+z25 31 (2)3+2≥-2 同样的也有 (3)-32≤3，-22≤+2

2.2 复数模的三角不等式 (1) ; 1 2 1 2 z  z  z  z (2) . 1 2 1 2 z  z  z  z , 因为 z1  z2 表示点 z1 和 z2 之间的距离 故 1z 2 z 1 2 z  z x y o 1z 2 z 6 同样的也有 1 2 1 2 1 2 (3) z  z  z  z  z  z

2.3复数的三角表示和指数表示 对于一个不等于0的复数z=x+y,它的实部与虚部 同它的模和辐角之间的关系为 x=rcose,y=rsine 复数可以表示成z=r(cos0+isin) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式e0=cos0+isin6, 复数可以表示成z=rei0 复数的指数表示式

x  rcos, y  rsin 复数可以表示成 z  r(cos  isin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 cos sin ,  e i i   复数可以表示成 i z  re 复数的指数表示式 2.3 复数的三角表示和指数表示 7 同它的模和辐角之间的关系为 对于一个不等于0的复数z  x  iy,它的实部与虚部

说明： 1由于复数的辐角有无穷多，所以复数的三角表示 式不唯一 即 i(co8+isin吧)=(cos，识+isine,) 则可推出 1=2,091=02+2kπ 2.表达式中的r,分别是z的模和辐角或者辐角主值 并且符合表达式的形式

即 (cos sin ) (cos sin ) 1 1 1 2 2 2 r i r i 则可推出 r1  r2 ,1   2  2k 8 . 2. , , 并且符合表达式的形式 表达式中的r 分别是z的模和辐角或者辐角主值 . 1. , 式不唯一 由于复数的辐角有无穷多 所以复数的三角表示 说明：

例1将下列复数化为三角表示式与指数表示式： (1)z=-V12-2i; (②z=sin爱+ioo号 解 (I)r=z=√2+4=4，因为z在第三象限， 所以9=arca(-)=atm /3 故三角表示式为 =-in-刘小

例1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式: ; 5 cos 5 (1) 12 2 ; (2) sin    z    i z  i 解 (1) r  z  12  4  4, 因为 z 在第三象限, π 12 2 arctan          所以     3 3 arctan 故三角表示式为 , 6 5 sin 6 5 4 cos                      z    i 9

指数表示式为 5 2=4e (2)z=sin +icos 5 5 显然r=z=1, 元 3元 sin=cos cos 5 10 =sin 3π 25) =sin 10 故三角表示式为 3 3元 +isin 10 10 3 指数表示式为 i z=el0' 10

指数表示式为 4 . 65 i z e   5 cos 5 (2) sin    z  i 显然 r  z  1,        2 5 cos 5 sin , 103 cos         2 5 sin 5 cos , 103 sin   故三角表示式为 , 103 sin 103 cos    z  i 指数表示式为 . 103 i z e   10