《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第四章 解析函数的级数表示 4.2 幂级数

第二节复变函数项级数 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算与性质 四、典型例题 五、小结与思考

第二节复变函数项级数 一、幂级数的概念 二、幂级数的敛散性 三、幂级数的运算与性质 四、典型例题 五、小结与思考

一、幂级数的定义 1.复变函数项级数 定义设{f,(z)}(n=1,2,)为一复变函数序列， 其中各项在区域D内有定义.表达式 会e=8+8++e+ 称为复变函数项级数，记作∑f.(a)

1.复变函数项级数 定义 设{ f (z)} (n =1,2, )为一复变函数序列, n  = + ++ +  = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 f z f z f z f z n n n 其中各项在区域 D内有定义.表达式 称为复变函数项级数, 记作 ( ). 1   n= n f z 2 一、幂级数的定义

级数前面n项的和 s,()=f()+f()++f() 称为这级数的部分和. 和函数 如果对于D内的某一点zo,极限lim s(zo)=s(2o) 存在，那末称级数∑fn(2)在收敛，s(2o)称为它 的和

( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 s z f z f z f z n = + ++ n 称为这级数的部分和. 级数前面n项的和 和函数 . , ( ) , ( ) , lim ( ) ( ) 0 0 1 0 0 0 的和 存在 那末称级数 在 收敛 称为它 如果对于 内的某一点 极限 f z z s z D z s z s z n n n n   = → = 3

如果级数在D内处处收敛，那末它的和一定是z的 一个函数s(z): a)=a+e)++1et-2a) 称为该级数在区域D上的和函数 下面我们讨论经常用到的复变函数项一幂级数 它和解析函数有密切的关系。 2.幂级数

  = = + + + + = 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n s z f z f z  f z  f z 称为该级数在区域D上的和函数. 如果级数在D内处处收敛, 那末它的和一定是z的 一个函数 s(z): 4 2.幂级数 它和解析函数有密切的关系。 下面我们讨论经常用到的复变函数项—幂级数

复变函数 当fn(z)=cn(z-a)”或者fn(z)=Cnz” 函数项级数为下面形式 0 ∑c(k-0=6,+c1(2-0+c2(z-02+. 1= +Cn(z-a)”+. 或 ∑c2=c+cz+62++c2+ n= 这种级数称为幂级数

函数项级数为下面形式  − = + − + − +  = 2 0 1 2 0 c (z a) c c (z a) c (z a) n n n + cn (z − a) n + c z c c z c z c z . n n n n  n = + + ++ +  = 2 0 1 2 1 或 这种级数称为幂级数. 5 n n n n n n 当f (z) = c (z − a) 或者f (z) = c z

二、幂级数的敛散性 1.定理4.5（阿贝尔收敛定理） 如果幂级数∑C(2-)”在点z(3,≠)收敛，则级 n=0 数对于满足z-22-20的z发散

1.定理4.5(阿贝尔收敛定理) 数对于满足 的z收敛,并且绝对收敛. 如果幂级数 在点 收敛,则级 0 1 0 1 1 0 0 0 ( ) ( ) z z z z C z z z z z n n n −  −  −   = 6 数对于满足 的 发散. 如果幂级数 在点 发散 则级 z z z z z C z z z z z n n n 0 2 0 2 2 0 0 0 ( ) ( ) −  −  −   = , 二、幂级数的敛散性

因为级数∑Cn(3,-o)”收敛，所以由定理4.3 n=l lim C(z1-zo)”=0 11->o0 因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数n均有， 1Cn(a1-2o)”M 1C(2-2PHC6-21-0 ≤M -0 31-20 21-20

  = − 1 1 0 ( ) n n n 因为级数 C z z 收敛， 所以由定理4.3 lim ( 1 − 0 ) = 0 → n n n C z z 因此存在一个正常数M,对于任意的非负正数n均有， C z z M n | n ( 1 − 0 ) | n n n n n n z z z z M z z z z C z z C z z 1 0 0 1 0 0 0 1 0 | ( ) | | ( ) | − −  − − − = − 7

当2-<，-2时， z-20 <1,因此级数 21-20 -0 1-0 收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知， 2c.a-2川 收敛，从而级数 ∑C,(2-)P绝对收敛. n=0

当 时， 1,因此级数 1 0 0 0 1 0  − − −  − z z z z z z z z ( ) 1 1 0 0   = − − n n z z z z M 收敛，同时根据正项级数的比较判别法可知，   = − 1 0 ( ) n n n C z z n n n C (z z )0 0  −  = 收敛,从而级数 绝对收敛. 8

定理的几何意义： 如果幂级数在点z,收敛，那么幂级数在以z为圆 心，以3，-为半径的圆周内部的任意点处收敛， 如果幂级数在点z,发散，那么幂级数在以z为圆 心，以z2-为半径的圆周外部任意点z处发散. 对于上述级数在圆周2-=，-2上及其外部 的收敛性，除了点z外要另行判定

心,以 为半径的圆周内部的任意点处收敛. 如果幂级数在点z1 收敛,那么幂级数在以 为圆 1 0 0 z z z − 9 心,以 为半径的圆周外部任意点z处发散. 如果幂级数在点z2 发散,那么幂级数在以z0 为圆 2 0 z − z 的收敛性，除了点z 外要另行判定. 对于上述级数在圆周 上及其外部 1 0 1 0 z − z = z − z 定理的几何意义：

对于形如∑C(z-)的幂级数，当2≠时，可能 n=l 出现如下的三种情况 ()对任意的z≠2，级数∑C(z-)”均发散 n= (2)对任意的z,级数∑Cn(2-)”均收敛。 n=1 (3)存在一个有限正数R,使级数∑Cn(z-o)”在 n= 2-0=R内收敛，而在z-o=R外部处处散

出现如下的三种情况 对于形如 的幂级数,当 0 时,可能 1 0 C (z z ) z z n n  n −   = 对任意的 级数 均发散  =  − 1 0 0 (1) , ( ) n n n z z C z z 对任意的z,级数 均收敛。  = − 1 0 (2) ( ) n n n C z z 10 内收敛,而在 外部处处散. (3)存在一个有限正数 使级数 在 z z R z z R R C z z n n n − = − =  −  = 0 0 1 0 , ( )