《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第六章 共形映射 6.4 分式线性变换的构造

唯一分式线性映射的确定 一、分式线性映射的确定 二、两个典型区域间的分式线性映射

一、分式线性映射的确定 二、两个典型区域间的分式线性映射 唯一分式线性映射的确定

一、分式线性映射的确定 分式线性映射w=?+b (ad-bc≠0) c+d 含有三个独立的常数， 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 定理6.8在z平面上任意给定三个不同的点21,22,23， 在w平面上也任意给定三个相异的点w,w2,w3,那么 就存在唯一的分式线性映射，将z.(飞=1,2,3)依次映 射成w(k=1,2,3)

一、分式线性映射的确定 含有三个独立的常数, ( −  0) + + = ad bc cz d az b 分式线性映射 w w (k =1,2,3). 射成 k 6.8 , , , 1 2 3 定理 在z平面上任意给定三个不同的点z z z , , , 在w平面上也任意给定三个相异的点w1 w2 w3 那么 就存在唯一的分式线性映射,将zk (k =1,2,3)依次映 只需给定三个条件就能决定一个分式线性映射. 2

证设W= az b (ad-bc≠0)将相异点 cz d (低=12,3)依次映射成w=+b (k=1,2,3) cr +d 所以w-w=-ad-bc (cz+d)(czg +d)' (k=1,2) w,-wk=（3-2xad-bc) (c33+)(czk+d (k=1,2) 由此得 w-%:%-%=名-：3- w-W2 W3-W2 7-Z2 73-72

所以w − wk w3 − wk 证 依次映射成 ( = 1,2,3) + + = k cz d az b w k k k z (k = 1,2,3) k ( −  0) + + = ad bc cz d az b 设 w 将相异点 由此得 3 2 3 1 2 1 : w w w w w w w w − − − − , ( 1,2) ( )( ) ( )( ) = + + − − = k cz d cz d z z ad bc k k , ( 1,2) ( )( ) ( )( ) 3 3 = + + − − = k cz d cz d z z ad bc k k : . 3 2 3 1 2 1 z z z z z z z z − − − − = 3

w-州1：W3-州=乙-名1.多-1 (*) W-W2 W3-W2 7-72 73-72 对上式整理后便可以得到形如w=:+b的分式 cz +d 线性映射 (*)称为对应点公式 对公式(*)的说明： (1)如果令”-业：”，-”=(W,w2,w,w) w-W2 W3-W2

3 2 3 1 2 1 : w w w w w w w w − − − − : . 3 2 3 1 2 1 z z z z z z z z − − − − = 线性映射. 对上式整理后便可以得到形如 的分式 cz d az b w + + = （*） (*)称为对应点公式. (1)如果令 （w w w w） w w w w w w w w : , , , 1 2 3 3 2 3 1 2 1 = − − − − 对公式（*）的说明： 4

则对应点公式又可以记作 （W1,w2,W3,W）=（31,22,23,z） 相应的，公式(*)表示分式线性映射有保交比性 (2)利用特殊点(z=0,z=∞)可使公式得到化简， 推论6.1如果z或w中有一个为o,则只需将对应点 公式中含的项换为1. 例题求将点-1，o,分别依次映射为i,1,1+或o,i,1 的分式线性映射

则对应点公式又可以记作 （w1 ,w2 ,w3 ,w）=（z1 ,z2 ,z3 ,z） 相应的,公式(*)表示分式线性映射有保交比性. 公式中含的项换为1. 推论6.1如果zk 或wk 中有一个为,则只需将对应点 5 (2)利用特殊点(z = 0,z = )可使公式得到化简. 的分式线性映射. 例题求将点−1,,i分别依次映射为i,1,1+ i或,i,1

推论6.2设w=f(z)是一个分式线性映射，并且有 w,=f(2)以及w2=f(22),则它可以表示为 w-州1=k2-31K 为复常数 W-W2 z-22 特别地，当4=0，%2=0时有w=k乙-4 z-Z2 例题6.9求将区域D={:z0映射为第 一象限的分式映射

以及 ，则它可以表示为 推论6.2设 是一个分式线性映射,并且有 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 w f z w f z w f z = = = 2 1 2 1 z z z z k w w w w − − = − − k为复常数 特别地，当w1 = 0,w2 = 时有 2 1 z z z z w k − − = 6   一象限的分式映射. 例题6.9求将区域D = z: z 1,Im z  0 映射为第

二、两个典型区域间的分式线性映射 例1求将上半平面Im(z)>0映射成单位圆w<1的 分式线性映射. (w) (z) -10 解在x轴上任取三点z1=-1,2=0,3=1使之 依次对应于w=1上的三点%1=1，w2=,w3=-1

(z) o x y 二、两个典型区域间的分式线性映射 (w) o u . v Im( ) 0 1 分式线性映射 求将上半平面 z  映射成单位圆 w  的 − 1 . 1 . .i 解 1, 0, 1 在 x轴上任取三点z1 = − z2 = z3 = 使之 1 1, , 1 依次对应于w = 上的三点w1 = w2 = i w3 = − . − 1 . 1 . 例1 7

由于1→z2→乙与州，→w2→w3绕向相同， 所求分式线性映射为”-1：-1-1z+1.1+1 w-i°-1-iz-0°1-0 化简得：w= z-i iz -1 注意：本题中如果选取其他三对不同点，也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射. 可见，把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一，有无穷多个

所求分式线性映射为 w i i w − − − − − − 1 1 1 : 1 . − 1 − = iz z i 化简得: w 注意: 本题中如果选取其他三对不同点, 也能得 出满足要求但不同于本题结果的分式线性映射. 可见, 把上半平面映射成单位圆的分式线性映射 不唯一, 有无穷多个. , 由于 z1 → z2 → z3 与w1 → w2 → w3 绕向相同, 1 0 1 1 : 0 1 − + − + = z z 8

解法2：设实轴映射成单位圆周， 上半平面某点z=映射成圆心w=0 那么z=兀必映射成w=∞ (w) (0) 则所求映射具有下列形式：w=(二子 为常数

解法2: 设实轴映射成单位圆周, 上半平面某点 z =  映射成圆心 w = 0 那么z = 必映射成 w =  则所求映射具有下列形式: ( ) k为常数. z z w k   − − = (z) o x y (w) o u v .  .  . () 9

由于z为实数时，w=1, z-元 =1, 所以w= - z-元 =k=1,即k=ei(为任意实数). w=eio 乙-2 -元 m(2)>0 上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 说明：取灵=i0=至，得w- iz-1 若取1=i,0=0,得w=名-1」 z+i

由于z为实数时, w = 1, = 1, − −   z z   − − = z z 所以 w k 即 (为任意实数). i k = e 上半平面映为单位圆的分式线性映射的一般形式 , (Im( )  0)      − − =     z z w e i 说明: , 2 π 取  = i, = − . − 1 − = iz z i 得 w 若取 = i, = 0 , . z i z i w + − 得 = = k = 1, 10