《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-2 向量和线性运算

§2.2向量及其线性运算 一、n维向量的概念 二、n维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结思考题

§2.2 向量及其线性运算 一、n维向量的概念 二、n 维向量的线性运算 三、向量空间与子空间 四、小结 思考题

一、n维向量概念 定义2.2.1 由n个数组成的有序数组(a1,2,.an)称为一个n 维向量 a=（a1,42,.n） 其中第i个数；(i=1,2,.,n)称为n维 向量的第i个分量或坐标 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量

由n个数组成的有序数组(a1 , a2 , . an )称为一个n 维向量.  = ( a1 , a2 , . an ) 其中第 i 个数 ai ( i = 1, 2, . , n ) 称为 n 维 向量  的第 i 个分量或坐标. 一、n维向量概念 定义2.2.1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量

例如，元线性方程(8)中第i(1≤i≤m)个方程 a1X1+a2X2+.+amXn=b 的系数和常数项对应着一个n+1维向量 (a1,42,.,4n,b) 而该方程的一个解x,=C1,x2=C2,.,xn=cn可用一个n 维向量(c1,C2,cn)来表示，该方程组的解构成的n维 向量叫做该方程组的解向量 定义：两个向量a=(a1,2,.4n),B=(b1,b2,.bn) 相等，记a=B→a:=b:（i=1,2,.,m)

定义：两个向量 = ( a1 , a2 , . an ),  = (b 1 , b 2 , . b n ) 相等，记  =  ai = bi ( i = 1, 2, . , n) 1 1 2 2 1 2 (8) (1 ) 1 ( , , , , ) i i in n i i i in i n i i m a x a x a x b n a a a b   + + + = + 例如， 元线性方程 中第 个方程 的系数和常数项对应着一个 维向量 1 1 2 2 1 2 , , , ( , , , ) . n n n x c x c x c n c c c n 而该方程的一个解 = = = 可用一个 维向量 来表示，该方程组的解构成的 维 向量叫做该方程组的解向量

零向量 0=(0,0,.,0) 负向量对a=(a1,2,.an),称 (一41，一2，一an)为a的负向量.记为一a. -a=(-a1,一42，-n) 行向量 &=（01,42,an） 02 列向量 Q=

零向量 0 = ( 0, 0, . , 0 ) 负向量 对  = ( a1 , a2 , . an ) ,称 ( －a1 , －a2 , ., －an ) 为 的负向量.记为－ . － = (－a1 , －a2 , ., －an ) 行向量  = ( a1 , a2 , ., an ) 列向量 1 2 n a a a        =      

二、n维向量的线性运算 1.定义2.2.2设=(41,42，4n),B=(b1,b2,bn) 都是n维向量，向量(a1+b1,a2+b2,an+bm)称为 向量a与的和，记作+B,即 a+B=(a1+b1,2+b2,n+bn) 由负向量即可定义向量的减法： a-B=a&+(-B)=(a1-b1,am-bn)

1.定义2.2.2 设 = ( a1 , a2 , ., an ),  = (b 1 , b 2 , ., b n ) 都是n维向量，向量( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn )称为 向量与的和，记作+，即  +  = ( a1 + b1 , a2 + b2 , ., an + bn ) 二、n 维向量的线性运算  － =  + (－ ) =( a1 － b1 , ., an － bn ) 由负向量即可定义向量的减法：

2.定义2.2.3设a=(41,2,an),是实数，定义 2a=(九1，元2，2an) 称为数2与向量a的乘积，记作2a,简称为数乘. 数2与向量a的乘积的性质有： (1)0a=0(2)(-1)a=-a(3)20=0 (4)如果入≠0，a≠0，那么九a≠0. 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算

 = (  a1 ,  a2 , .,  an ) 称为数与向量的乘积，记作 ，简称为数乘. 设 = ( a1 , a2 , ., an 2.定义2.2.3 )， 是实数，定义 向量的加减法及数乘运算统称为向量的线性运算. 数与向量的乘积的性质有: (1) 0 (2) ( ) (3) 0 0 (4) 0 0.        = = − =    ０ -１ 如果 ０， ，那么

3.向量的线性运算满足八条运算律 设a、B、y是n维向量，0是n维零向量， k、1是任意实数。 (1)+B=B+a (2) (a+B)+y=a+(B+Y) 3)a+0=a (4)a+(-a)=0

3.向量的线性运算满足八条运算律 (1)  +  ＝  +  (2) ( +  ) +  ＝  + (  +  ) (3)  + 0 ＝  (4)  + (－ ) ＝ 0 设  、 、 是 n 维向量，0 是 n 维零向量， k、 l 是任意实数

(⑤)k(a+B)=ka+kB (6)(k+1)a=ka+la (7)(k1)a=k(la) (8)1a=a

(5) k ( +  ) ＝ k + k (6) ( k + l )  = k + l (7) ( k l )  = k ( l ) (8) 1· = 

例1设a=(1,3,-2,2),B=(5,1,-2,0),若 已知+2=3B,求向量y. 解：由α+2-3β得 y=23B-@)=25,360-1,3-2,2列 =24,0.2） =(7,0,-2,-1) 5 3 -1 -7 例2 已知向量a41= 3 ,3a1-4a2= 17 ,求向量2a1+3a2: 2 -2 4 8

例1 设  =( 1 ， 3 ， - 2 ， 2 ) ,  = ( 5 ， 1 ， - 2 ，0 ) ， 若 已知  +2= 3 ，求向量 . 解 : 由  +2=3 得 1 (3 ) 2   = − a 1 [(15,3, 6,0) (1,3, 2,2)] 2 = − − − 1 (14,0, 4, 2) 2 = − − = − − (7,0, 2, 1) 1 1 2 1 2 5 3 1 7 2 3 4 2 3 . 3 17 2 2 4 8              − −     = − = +         −             例 已 知 向 量 ， ，求 向 量

3 解：由已知得 -7 3a1-4a2= 17 -2 8 得 57 37 12 3 -1 4 1 7 1 3 3 17 -8 4 -2 2 -2 8 2 4 8 4 1

1 2 3 7 3 4 1 7 2 8       −   − =     −       2 5 3 1 7 1 (3 ) 3 17 4 2 2 4 8          − −     = −         −             得 12 3 4 1 1 8 2 4 8 2 4 1             = =     − −                 解:由已知得