《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 傅里叶变换 7.2 脉冲函数及其傅里叶变换

第二节单位脉冲函数 1.单位脉冲函数的应用背景 在物理和工程技术中，有许多物理现象具有脉冲性质， 例如断电以后的突然来电等，在力学中，机械系统受冲 击力作用后的运动情况等 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数， 在物理学家狄拉克首先引入单位脉冲函数后，它在物 理及工程技术中被广泛应用

第二节单位脉冲函数 1.单位脉冲函数的应用背景 . , , , , 击力作用后的运动情况等 例如断电以后的突然来电等 在力学中 机械系统受冲 在物理和工程技术中 有许多物理现象具有脉冲性质 . , 理及工程技术中被广泛应用 在物理学家狄拉克首先引入单位脉冲函数后 它在物 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数

2.函数的定义 定义8.1满足下面两个条件的函数6(t) (1)当t≠0时，有6(t)=0: (2)r60dh=1 称为单位脉冲函数， 关于单位脉冲函数说明： ()单位脉冲函数不是经典意义上的函数，是一个广义 函数 (2)δ涵数在现实生活中不存在，是数学抽象的结果

定义8.1满足下面两个条件的函数(t) (1)当t  0时,有(t) = 0. (2) ( ) 1.  + −  t dt = 称为单位脉冲函数. 关于单位脉冲函数说明: . (1) , 函数 单位脉冲函数不是经典意义上的函数 是一个广义 (2)函数在现实生活中不存在,是数学抽象的结果. 2.函数的定义

3.函数的基本性质 性质8.1设f(t)是定义在实数域R上的有界函数，且在t=0 处连续，则有 sd- 一 般地，若f(t)在t=t,处连续，则有 -1)f(d=f) 性质8.26(t)为偶函数，即有6(t)=6(-t), 性质8.3设(t)为单位阶跃函数，即有

(t)f (t)dt = f (0)  +  −  3.函数的基本性质 处连续 则有 性质8.1设 是定义在实数域 上的有界函数 且在 , f (t) R , t = 0 一般地，若f (t)在t = t 0 处连续,则有 ( ) ( ) ( ) 0 0 t − t f t dt = f t  +  −  性质8.2(t)为偶函数,即有(t) =(−t). 性质8.3设u(t)为单位阶跃函数,即有

1,t>0 u(0=0,t<0 则有6(0dt=u(0) d(①=6(t) dt 性质8.4线性性质 对任意的实数a,b,复数a,B成立 lap(t)5(t-a)+Bv(t)5(t-b)ldi -afp5(t-@d+pv()o(t-byl 性质8.5对积分变量进行线性变换

     = 0, 0 1, 0 ( ) t t u t ( ). ( ) ( ) ( ), t dt du t t dt u t t  = =  − 则有 性质8.4线性性质 对任意的实数a,b,复数,成立 [a (t) (t − a)+ (t) (t − b)]dt  +  −      a t t a dt t t b dt   +  − +  − = ( ) ( − ) +  ( ) ( − ) 性质8.5对积分变量进行线性变换

当c≠O时，应用线性代换t=cs+d得到等式 oc4-oh=4of-u-oa 性质8.6函数存在任意阶导数，并且分布积分法则成 立，特别的当p'(t)存在并且在a处连续时有 广p(5t-m)t=-Cg()6'(t-0)h 由此性质可以推出δ(t)具有如下的性质. 6m(t-a)=0,t≠a 广p08t-a)dt=(-1°fp(t5t-a)d=(-Irp(a

当c  0时,应用线性代换t = cs + d得到等式 t a dt c d c t c s cs d a ds ( ) ( ) 1 ( ) ( + − ) = − −   + − + −     立,特别的当 存在并且在 处连续时有 性质8.6 函数存在任意阶导数,并且分布积分法则成 (t) a '   t t a dt t t a dt    −  − ( ) ( − ) = − ( ) ( − ) ' '     由此性质可以推出 (t)具有如下的性质. (n)  t a t a n ( − ) = 0,  ( )  ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) t t a dt t t a dt a n n n n n   − = −   − = −     −  −

在图形上，人们常常采用一个从原点出发的长度为1 的有向线段来表示函数，其中有向线段的长度代表 函数的积分值，称为冲击强度， 4.函数的傅里叶变换 由函数定义，得出涵数的傅里叶变换为 F(o)=F(8t0)=m60edt=e,=1 再由傅里叶逆变换公式有 F=2e-a@=50 edo=2rdt)

函数的积分值,称为冲击强度. 的有向线段来表示 函数,其中有向线段的长度代表 在图形上,人们常常采用一个从原点出发的长度为   1 ( ) = ( ( )) = ( ) = =0 = 1 − +  − −  t j t j t F F t t e dt e      4.函数的傅里叶变换 再由傅里叶逆变换公式有( ) 2 1 [1] 1 F e d t j t     = =  +  − − 由函数定义,得出函数的傅里叶变换为 e d 2 (t) j t     =  + −

关于公式的说明： ()6(t)的傅里叶变换是一种广义傅氏变换，是根据(t) 函数的定义和运算性质直接给出的，而不是普通意义下 的积分. (2)利用上述概念，我们可以计算一些常用的函数的傅 里叶变换，比如常数，单位阶跃函数以及三角函数，尽管 它们不满足绝对可积条件」 下面通过几个具体例子来说明：

. , (t) 的积分 函数的定义和运算性质直接给出的 而不是普通意义下 (1) (t)的傅里叶变换是一种广义傅氏变换,是根据 它们不满足绝对可积条件. 里叶变换,比如常数,单位阶跃函数以及三角函数,尽管 (2)利用上述概念,我们可以计算一些常用的函数的傅 关于公式的说明: 下面通过几个具体例子来说明:

例题8.7分别求函数f(t)=1与f(t)=e的傅里叶 变换 解： F()=F(f()=d-edr-270) F(0)=F(()=eed=eo-dr =2π60-w) 伤例题8.8证明阶跃函数u0)的傅氏变换为】+πa) J⊙ 解： F(o)=+zo,f0=F[F(o则 10

变换. 例题8.7分别求函数f 1 (t) =1与f 2 (t) = e j0 t 的傅里叶 ( ) ( ( )) 2 ( ) 1  1       = = = =   + − + − − F F f t e dt e d j t j   + − − + − −  = = =       F F f t e e dt e d j t j t j( ) 2 2 0 0 ( ) ( ( )) 2 ( ) =   0 − 解: ( ). 1 8.8 ( )     + j 例题 证明阶跃函数u t 的傅氏变换为 解: ( ), ( ) [ ( )],则 1 ( ) 1       f t F F j F − = + =

)do -}aoe4o+2x70a加 10.t<0 例题8.9求f(t)=coso,t与f(t)=sino,的傅氏变换， 解：F@)=FLfl=cos,td lela e ledeehee

       e d j f t j t  +  − = + ( )] 1 [ 2 1 ( )         e d j e d j t j t   +  − +  − = + 1 2 1 ( ) 2 1      = + =  + 0. 0 1 sin 1, 0 2 1 0 t t d t     例题8.9求f 1 (t) = cos0 t与f 2 (t) = sin 0 t的傅氏变换. F F f t e tdt j t 0 () [ ( )] cos   +  − − 解: = = e e e dt j t j t j t  +  − − − = +    [ ] 2 1 0 0 e e dt j t j t  +  − − − − + = + ( ) ( ) 0 0 [ 2 1    

=6(0-0)+6(0+0川 注意：在广义傅氏变换下周期函数可以求傅里叶变换 对于周期函数有下面的定理 定理级3设/是以T为周期的实值雨数具- 满足狄氏条件，则/)和F(o)=∑2mF0no,)5(0-na,) n=-o 是一组薄氏变换对，其中o一2.Fa®，是0州离散 频谱

[ ( ) ( )] 0  0 =    − + + 注意:在广义傅氏变换下周期函数可以求傅里叶变换. 对于周期函数有下面的定理. 频谱. 是一组傅氏变换对,其中 是 的离散 满足狄氏条件,则 和 定理8.3设 是以T为周期的实值函数,且在 上 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 F n f t T f t F F n n T T f t          , ( ) ] 2 , 2 [ - 0 n - = =  − + = 