《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第五章 留数及其应用 5.3 留数在积分计算中的应用

第二节留数在积分计算中的应用 一形如gR(sm0,cos)d的积分 二形如R(xx的积分 三形如R(x)edx的积分

一 形如   的积分  sin ,cos d  2 0 . R( ) 二 形如 R dx的积分 + − . (x) 三 形如 R e iax d x的积分 + − . (x) 第二节留数在积分计算中的应用

积分计算方法：围道积分方法 把求实变函数定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分，然后应用留数定理，使得沿着围线 的积分计算，归结为留数计算，也称为围道积分方法 两个重要工作： 1)被积函数的转化 2)积分区域的转化

积分计算方法 :围道积分方法 把求实变函数定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分,然后应用留数定理,使得沿着围线 的积分计算,归结为留数计算,也称为围道积分方法. 两个重要工作: 1) 被积函数的转化 2) 积分区域的转化

一、形如Rcos,sim0)d的积分 令z=ei0-dz=ie0d0一d0= dz 8=e0-e1-1 2iz 当0历经变程[0,2m时， z沿单位圆周z=1的正方向绕行一周

i 令 z = e   d d i z = ie , d d iz z  = ( ) 2 1 sin    i i e e i − = − , 2 1 2 iz z − = ( ) 2 1 cos    i i e e − = + , 2 1 2 z z + = 当  历经变程 [0,2π] 时, z 沿单位圆周 z = 1 的正方向绕行一周. 3 一、形如   的积分  R(cos ,sin )d 2 0

R(cos0,sinθ)d0 f4-2n芝taa = k= z的有理函数，且在单 包围在单位圆周 位圆周上分母不为零， 内的诸孤立奇点。 满足留数定理的条件

(cos,sin )d 2π 0 R 2 2 1 1 1 1 , 2 2 z z z R dz z iz iz =   + − =      f z z z ( )d 1  = = z的有理函数 , 且在单 位圆周上分母不为零 , 满足留数定理的条件 . 包围在单位圆周 内的诸孤立奇点. 2π Res ( ), . 1 = = n k k i f z z 4

例1：计算1= r2π 1-2pcs0p0(p) cos20 解由于0<p<1 1-2pc0s0+p2=(1-p)2+2p(1-c0s0) 在0≤0≤2m内不为零，故积分有意义. 由于om29=e0+e0=ie2+ 1 1-2p.3+ 2 +p2

例 1： d (0 1). 1 2 cos 2π cos2 0 2   − + =  p p p I    计算 解 由于0  p  1, 1 2 cos (1 ) 2 (1 cos ) 2 2 − p  + p = − p + p −  在0    2π内不为零， 故积分有意义. ( ) 2 1 cos 2 2  2   i i e e − 由于 = + ( ), 2 1 2 −2 = z + z iz z p z z p z z I z d 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2  + + −   + = − = −  5

-2 I= 2+ 1 dz z=1 2 1-2p 2 +p2 -ne-p 1+z4 dz =ff(z)dz. z=1 1 被积函数的三个极点z=0,p, z=0,p,在圆周z=1内， 且z=0为二级极点，z=p为一级极点

iz z p z z p z z I z d 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2  + + −   + = − = −  z iz pz z p z z d 2 (1 )( ) 1 1 2 4  = − − + = , 1 0, , p 被积函数的三个极点z = p z = 0, p,在圆周z = 1内， 且z = 0为二级极点，z = p为一级极点， ( )d . 1 f z z z  = = 6

所以在圆周z=1上被积函数无奇点， r/C lim (3-pz2-p+p2z)4z3-(1+z4)1-2pz+p2) 2→0 2i(z-pz2-p+p2z)2 1+p2 2 2

所以在圆周z = 1上被积函数无奇点，       − − + =  → 2 (1 )( ) 1 d d Res[ ( ),0] lim 2 4 2 0 iz pz z p z z z f z z 2 2 2 2 2 3 4 2 0 2 ( ) ( )4 (1 )(1 2 ) lim i z pz p p z z pz p p z z z pz p z − − + − − + − + − + = → , 2 1 2 2 ip + p = − 7

1+z4 Rcfe,p川=a-pm21-pMa-pm】 1+p4 2i02(1-p2) 因此 l=2 1+p+1+p_]=2 2m22p20-p)1-p2

, 2 (1 ) 12 2 4 ip p p− + =   − − + = −  → 2 (1 )( ) 1 Res[ ( ), ] lim ( ) 2 4 iz pz z p z f z p z p z p   − + + + = − 2 (1 ) 1 21 2π 2 2 4 22 ip p p ipp I i . 12 π 22 pp − = 因此 8

例2：计算积分 sin20 a+bcos d0(a>b>0) 解令z=e,则 sin0=2-1 27,cosa=3'+1,dz=ieiode. a8gao=f 1 dz 二f-4品0+ (z2-1)2 dz

例2 ：计算积分 d ( 0) cos 2π sin 0 2   +  a b a b    解 , i 令 z = e 则 , 2 1 sin 2 zi z −  = , 2 1 cos 2 z z +  = d d , i z = ie iz z z z a b z z a b z d 2 1 1 4 ( 1) d cos sin 2 1 2 2 2 2π 0 2          + +  − − = +   =     = − + + − = 1 2 2 2 2 d 2 ( 2 ) ( 1) z z iz bz az b z 9

(z2-102dz b wetrca-ne 2m2玩Va2-b2 b2 (a-va-B). 2兀1 10

2 2 2 2 2 π 2π b a b b a − = − ( ). 2 2 2 2 a a b b − −  =  =         − − − −         − + − − − − = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1) d z b a a b z b a a b iz b z z z               − + − = + b a a b i f z f z ( ) 2π Res ( ),0 Res ( ), 2 2 10