《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数 2.2 解析函数与调和函数的关系

第二节解析函数和调和函数的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数的构造

第二节 解析函数和调和函数的关系 一、调和函数的定义 二、解析函数的构造

一、调和函数的定义 1.定义2.3如果二元实函数p(x,y)在区域内有 二阶连续偏导数，并且满足二维拉普拉斯方程 a0,a0 02 二0 则称0(x,y)为区域D内的调和函数，或说函数 p(x,y)在区域D内调和

二阶连续偏导数,并且满足二维拉普拉斯方程 1.定义2.3如果二元实函数(x, y)在区域内有 0 2 2 2 2 =   +   x y   在区域D内调和. 则称 为区域D内的调和函数,或说函数 ( , ) ( , ) x y x y   2 一、调和函数的定义

例1函数4(x,)=x2-y,(x,)=,y 。是调和 x2+y 函数。 2.解析函数和调和函数的关系 定理2.3设函数f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在区域 D内解析，则实部u(x,y)和虚部v(x,y)都是区域 D内的调和函数 注意：

2.解析函数和调和函数的关系 D内的调和函数. D内解析,则实部 和虚部 都是区域 定理2.3 设函数 在区域 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) u x y v x y f z = u x y + iv x y 注意： 3 函数。 例1.函数 ( , ) 2 2 , ( , ) 2 2 是调和 x y y u x y x y v x y + = − =

(1)任意两个调和函数构成的复变函数不一定 是解析函数. 例题2.函数u,v如例定义，u+v不是解析函数 (2)此外(x,y)和v(x,y)满足柯西黎曼方程. Ou Ov ou Ov ax ay ay Ox 2.共轭调和函数 设函数p(x,y)和w(x,y)均在区域D内的调和函 数，并且满足柯西黎曼方程

2.共轭调和函数 数,并且满足柯西黎曼方程 设函数(x, y)和 (x, y)均在区域D内的调和函 是解析函数. (1)任意两个调和函数构成的复变函数不一定 (2)此外u(x, y)和v(x, y)满足柯西黎曼方程. 例题2.函数u,v如例1定义，u +iv不是解析函数. 4 , y v x u   =   x v y u   = −  

∂p aw bo &x ay y ax 则称w是p的共轭调和函数 注意(1)w和o的位置不能颠倒。 (2)p,y都是调和函数，并且满足C-R方程。 由上述定义，可以得到如下的结论 定理2.4复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域 D内解析的充分必要条件是：在区域D内，f(z)的 虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数

则称是的共轭调和函数. , x y  =    y x  = −    虚部 是实部 的共轭调和函数. D内解析的充分必要条件是:在区域 内 的 定理2.4复变函数 在区域 ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) v x y u x y D f z f z u x y iv x y , = + 5 由上述定义,可以得到如下的结论 注意(1)和的位置不能颠倒。 (2),都是调和函数,并且满足C−R方程

二、解析函数的构造 下面介绍已知单连通D内解析函数f(z)=w+v 的实部或虚部，求f(z)的方法。 1.偏积分法 利用C-R方程先求偏导数y,=w,此式两端关于y 积分得v=本+g然片两边对求前号简定 g(x):

的实部或虚部，求 的方法。 下面介绍已知单连通 内解析函数 ( ) D ( ) f z f z = u + iv 1.偏积分法 ( ). ( ), , C-R , ' ' g x dy g x x x u v v u y y x 积分得 然后两边对 求偏导 确定 利用 方程先求偏导数 此式两端关于 +   = =  二、解析函数的构造

例题3.12己知u(xy)=x3-3xy2是调和函数，求 以u(x,y)为实部的解析函数f(z),使得满足 f(0)=i. 解：因为 =3x-3y Ox ou=6xy u Bu 6x,2 a2u.∂2u 0 Ox2 6X, 所以(x,y)为调和函数

(0) . ( , ) ( ) ( , ) 3 3 2 f i u x y f z u x y x x y = = − 以 为实部的解析函数 ，使得满足 例题3.12已知 是调和函数, 求 解 : 因为 2 2 3 3 , 6 u u x y xy x y   = − = −   6 , 6 , 2 2 2 2 x yu x xu = −  =  0 2 2 2 2 =  +  yu xu 7 所以 u ( x, y )为调和函数

由于o=ow ay &x =3x2-3y2,得到 v=∫(3x2-3y2)y=3x2y-y3+g(x) ou=6xy 再由0-6xy+g()= &x 所以g(x)=0,即g(x)=c,因此 v(x,y)=3x2y-y3+c f(z)=x3-3x2+i(3x2y-y3+c)

2 2 3 3 v u x y y x   = = −   由于 ,得到 2 2 2 3 v x y dy x y y g x = − = − + (3 3 ) 3 ( )  x y y u x y g x x v 6 ( ) 6 ' =   = + = −   再由所以g ' (x) = 0,即g(x) = c,因此 ( ) 3 (3 ) 3 2 2 3 f z = x − x y +i x y − y + c 8 v x y = x y − y + c 2 3 ( , ) 3

因为f(0)=ci=i,所以f(z)=z3+i. 例题3.13已知u(x,y)=2(x-1)y,f(2)=-i,求其共 轭调和函数v(x,y),并写出f(z)的形式。 解：由C-R方程可得到，y,=4=2y,两边关于y 积分得 -+8-+i 而y.=g(x),由己知=-w,=2(1-x) 所以g(x)=2x-x2+C

9 (0) , ( ) . 3 因为f = ci = i 所以f z = z +i 轭调和函数 ，并写出 的形式。 例题 已知 求其共 ( , ) ( ) 3.13 ( , ) 2( 1) , (2) , v x y f z u x y = x − y f = −i 积分得 解：由C R方程可得到 v u y 两边关于y y x , 2 , ' ' − = = ( ) ( ) 2 dy g x y g x x u v + = +   =  ( ), 2(1 ) ' v g x v u x 而 x = 由已知 x = − y = − ( ) 2 , 2 所以g x = x − x +C

从而f(z)=2(x-1)y+iy2-x2+2x+C 再由条件f(2)=-i,得到C=-1,所以 f(z)=-i(z-1)2 2曲线积分法 利用C-R方程有=y,dk+y,少=-u,d+u,d -4++C 其中该积分与积分路径无关，因此可选取特殊路 径进行计算，其中(xo,y)是区域D内的点

10 ( ) 2( 1) ( 2 ) 2 2 从而f z = x − y +i y − x + x +C 再由条件f (2) = −i,得到C = −1,所以 2 f (z) = −i(z −1) 2.曲线积分法 C R dv v dx v dy 利用 − 方程有 = x + y u dx u dy = − y + x v x y u dx u dy C x y x y = − y + x +  ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) , ( , ) D . , 径进行计算 其中 0 0 是区域 内的点 其中该积分与积分路径无关 因此可选取特殊路 x y