《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第7章 参数估计 第三节估计量的评选标准

概率伦与款程统外 第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性

第三节 估计量的评选标准 一、无偏性 二、有效性 三、相合性

概车纶与款理统外「 问题的提出 从前一节可以看到，对于同一个参数，用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同.而且， 很明显，原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 ()对于同一个参数究竞采用哪一个估计量好？ (2)评价估计量的标准是什么？

问题的提出 从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不 同的估计方法求出的估计量可能不相同.而且, 很明显, 原则上任何统计量都可以作为未知参数 的估计量. 问题 (1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2)评价估计量的标准是什么?

概華论与款程统外 一、无偏性 若X,X2,Xn为总体X的一个样本， 0∈®是包含在总体X的分布中的待估参数 (⊙是0的取值范围) 若估计量0=0(X1,X2,Xn)的数学期望 E()存在，且对于任意0∈®有E(0)=0,则称 是0的无偏估计量 无偏估计的实际意义：无系统误差

一、无偏性 若X1 ,X2 ,  ,Xn为总体X的一个样本，   是包含在总体X的分布中的待估参数, ( 是 的取值范围) . ˆ ) , ˆ ) , ( ˆ ( ( , , , ) ˆ 1 2 是 的无偏估计量 存 在 且对于任意 有 则 称 若估计量 的数学期望           = = E E X X  Xn 无偏估计的实际意义: 无系统误差

概车纶与款理统外 例1设总体X的k阶矩4=E(X)(k≥1)存在， 又设X1,X2,.,Xn是X的一个样本，试证明不论 总体服从什么分布，k阶样本矩4，=之X是k n i=1 阶总体矩4的无偏估计. 注：不论总体X服从什么分布，只要存在期望， X总是总体X的数学期望4=E(X)的无偏 估计量

. 1 , , , , ( ) ( 1) , 1 1 2 阶总体矩 的无偏估计 总体服从什么分布 阶样本矩 是 又设 是 的一个样本，试证明不论 设总体 的 阶矩 存在 k n i k k i n k k X k n k A X X X X X k E X k   = = =   例1 . ( ) 1 估计量 X 总是总体 X 的数学期望  = E X 的无偏 注：不论总体 X 服从什么分布,只要存在期望

概率伦与款程统外 例2对于均值4，方差σ2>0都存在的总体，若 4,。2均为未知，则。2的估计量62=2(X,-X2 n i=i 是有偏的（即不是无偏估计）， 注：5=品2x-是，的无候的计

( ). ( ) 1 , , ˆ , 0 , 1 2 2 2 2 2 是有偏的 即不是无偏估计 均为未知 则 的估计量 对于均值 方差 都存在的总体 若 = = −  n i Xi X n     例2   注： , ( ), 是 2 的无偏估计 1 1 1 2 = − − = n i Xi X n 2 S

概车纶与款理统外 例3设总体X的均值4未知，取容量为3的 一组样本X,X2,X3,问下列估计量中哪些是 4的无偏估计？ 4X+写x+写北4号x+写+名x 42x+X3+X,402x,+04X+01X

例3 设总体X的均值 的无偏估计?  未知,取容量为3的 一组样本 , , , X1 X2 X3 问下列估计量中哪些是  1 1 2 3 1 1 1 : 3 3 3  X X X + + 2 1 2 3 1 1 1 : 2 3 6  X X X + + 3 1 2 3 1 1 1 : 2 3 4  X X X + + 4 1 2 3  : 0.2 0.4 0.1 X X X + + 1 1 2 1 1 : 2 2  X X +

概華论与款醒硫外 二、有效性 比较参数0的两个无偏估计量0和0，如果 在样本容量n相同的情况下，0，的观察值在真值 0的附近较0，更密集，则认为0较0，有效、 由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度，所以无偏估计以方差小者为好. 设0=0L(X1,X2,.,Xn)与02=02(X1,X2,Xn) 都是0的无偏估计量若有D(⊙，)≤D(⊙2)， 则称较0有效

二、有效性 . ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ 2 1 2 1 1 2 的附近较 更密集 则认为 较 有效 在样本容量 相同的情况下 的观察值在真值 比较参数 的两个无偏估计量 和 如果         n 由于方差是随机变量取值与其数学期望的 偏离程度, 所以无偏估计以方差小者为好. . ˆ ˆ ), ˆ ) ( ˆ , ( ( , , , ) ˆ ˆ ( , , , ) ˆ ˆ 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 2 则 称 较 有 效 都 是 的无偏估计量 若 有 设 与          D D X X Xn X X Xn  =  = 

概车纶与款理统外「 例4设总体X的均值u未知，取容量为3的 一组样本X,X2,X3,指出下列估计量中 4的最有效的无偏估计. 43X+号x,+3x4x+5+6x 3X2+子x402X+04X,+0.1x

例4 设总体X的均值 的最有效的无偏估计.  未知,取容量为3的 一组样本 , , , X1 X2 X3 指出下列估计量中  1 1 2 3 1 1 1 : 3 3 3  X X X + + 2 1 2 3 1 1 1 : 2 3 6  X X X + + 3 1 2 3 1 1 1 : 2 3 4  X X X + + 4 1 2 3  : 0.2 0.4 0.1 X X X + + 1 1 2 1 1 : 2 2  X X +

概華论与款程统外 三、相合性 若0=(X1,X2,Xn)为参数的估计量， 若对于任意0∈⊙，当n→o时，(X1,X2,.,Xn) 依概率收敛于0，则称为0的相合估计量. 例如由第六章第二节知，样本k(k≥1)阶矩是 总体X的k阶矩44=E(X)的相合估计量， 进而若待估参数0=g(4,凸，4n,其中g为连续 函数，则0的矩估计量0=g(A1,2,.,n)=g(A1,A, ·,A)是0的相合估计量

三、相合性 . ˆ , ( , , , ) ˆ , , ( , , , ) , ˆ ˆ 1 2 1 2 依概率收敛于 则称 为 的相合估计量 若对于任意 当 时 若 为参数 的估计量          n n n X X X X X X    →  = 例如 ( ) , , ( 1) 总体 的 阶矩 的相合估计量 由第六章第二节知 样本 阶矩是 k X k k E X k k =   , ) . ( ˆ , ˆ , , ˆ ) ( , , ˆ , ( , , , ), 1 2 1 2 1 2 是 的相合估计量 函数 则 的矩估计量 进而若待估参数 其中 为连续           n n n A g g A A g g    = = =

概车纶与散理统针「 例5试证：样本均值了是总体均值μ的相合估计 故，样本方差5”n1(x,-y及样本的二阶 中心矩B,=1∑(K,-X)都是总体方差σ2的相合 i=1 估计量

( ) ( ) . 1 1 1 , : 2 1 2 2 1 2 2 估计量 中心矩 都是总体方差 的相合 量 样本方差 及样本的二阶 试证 样本均值 是总体均值 的相合估计     = = = − − − = n i i n i i X X n B X X n S 例5 X