《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第4章 随机变量的数字特征 第三节协方差及相关系数

概车纶与款理统外 第三节 协方差及相关系数 一、协方差的概念及性质 二、相关系数的概念及意义

一、协方差的概念及性质 二、相关系数的概念及意义 第三节 协方差及相关系数

概车纶与款理统外「 一、协方差的概念及性质 1.问题的提出 若随机变量X和Y相互独立，那么 D(X+Y)=D(X)+D(Y). 若随机变量X和Y不相互独立 D(X+Y)=? D(X+Y)=E(X+Y-E(X+Y) =D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y))

1. 问题的提出 若随机变量 X 和Y 相互独立,那么 D(X + Y ) = D(X) + D(Y ). 若随机变量 X 和Y 不相互独立 D(X + Y ) = ? 2 2 D(X + Y ) = E(X + Y ) − [E(X + Y )] = D(X) + D(Y ) + 2E{[X − E(X)][Y − E(Y )]}. 一、协方差的概念及性质

概率伦与散理统针」 2.协方差的定义 量EIX-E(X)[Y-E(Y)}称为随机变量 X与Y的协方差.记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)=EIX-E(X)JY-E(Y)] 3.协方差的计算公式 Cov(,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

Cov( , ) {[ ( )][ ( )]}. . Cov( , ), {[ ( )][ ( )]} X Y E X E X Y E Y X Y X Y E X E X Y E Y = − − − − 与 的协方差 记为 即 量 称为随机变量 2. 协方差的定义 3. 协方差的计算公式 Cov(X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y)

概華论与款程统外 4.性质 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) (1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数； (3)Cov(Xj+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)

4. 性质 (1) Cov(X,Y ) = Cov(Y, X); (2) Cov(aX,bY) = abCov(X,Y), a, b为常数; (3) Cov( , ) Cov( , ) Cov( , ). X1 + X2 Y = X1 Y + X2 Y Cov(X,Y) = E(XY) − E(X)E(Y)

概车纶与款理统外 例1设随机变量X,Y具有密度函数 f(x,y)= 3,(x,y)∈G 0, others 其中G由曲线y=x2,x=y2围成，求 y cov(X,Y)

例1 设随机变量 X Y, 具有密度函数 3,( , ) ( , ) 0, x y G f x y others   =   其中G 由曲线 2 2 y x x y = = , 围成，求 cov( , ) X Y y x 0 1 G

概率伦与款醒统外「 说明 ()若随机变量X和Y相互独立，则 Cov(X,Y)=0 (2)一般地， D(X±Y=D(X)+D(Y) ±2cov(X,Y) (3)协方差的数值在一定程度上能反映随机变量 X与Y之间的某种关系，但它受X,Y本身数值 大小的影响

Cov(X,Y) = 0 (1)若随机变量 X 和Y 相互独立,则 说明 (2)一般地， D X Y ( )  = ( ) ( ) 2cov( , ) D X D Y X Y +  , (3) 大小的影响。 与 之间的某种关系，但它受 本身数值 协方差的数值在一定程度上能反映随机变量 X Y X Y

概车纶与款理统外 二、相关系数的概念及意义 1、定义 CovY,Y) Px灯= (DX>0,DY)>0) D(X)D(Y 称为随机变量X与Y的相关系数 2、计算公式 E(XY)-E(XE(Y) Px灯= VD(X)·VD(Y)

二、 相关系数的概念及意义 . (D(X) 0,D(Y) 0) ( ) ( ) Cov( , ) 称为随机变量 X 与Y 的相关系数 D X D Y X Y ρX Y    = 1、定义 2、计算公式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) D X D Y E XY E X E Y ρXY  − =

概率纶与款理统外「 说明 X和Y的相关系数又称为标准协方差，它是一 个无量纲的量 Pxr =cov(X,Y') X-E(X)Y-E(Y) -covD(X) ’√DY

说明 . , 个无量纲的量 X 和Y 的相关系数又称为标准协方差 它是一 * * cov( , ) ( ) ( ) cov , ( ) ( ) XY X Y X E X Y E Y D X D Y  =   − − =      

概车纶与款理统外 3、相关系数的意义 问4，b应如何选择，可使X+b最接近Y? 接近的程度又应如何来衡量？ 设e=E[(Y-(a+bX)2] 均方误差 则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度 当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好 确定a,b的值，使e达到最小

3、相关系数的意义 ? , , ? 接近的程度又应如何来衡量 问a b 应如何选择 可使 aX + b 最接近 Y [( ( )) ] 2 设 e = E Y − a + bX 则e 可用来衡量a + bX 近似表达Y 的好坏程度. 当e的值越小,表示a + bX 与Y 的近似程度越好. 确定 a,b的值,使 e 达到最小. 均方误差

概華论与款醒硫外 e=E[(Y-(a+bX))2] E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X) -2aE(Y). 将e分别关于a,b求偏导数，并令它们等于零得 ae=2a+2bE(X)-2EY)=0, B =2bE(X2)-2E(XY)+2aE(X)=0. ab 解得人 CoX,”,a=EW)-E(X)Cov(x.凸 D(X) D(X)

2 ( ). ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2 2 aE Y E Y b E X a bE XY abE X − = + + − + 将 e 分别关于a,b 求偏导数,并令它们等于零,得      = − + =   = + − =   2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0. 2 2 ( ) 2 ( ) 0, 2 bE X E XY aE X b e a bE X E Y a e 解得 , ( ) Cov( , ) 0 D X X Y b = . ( ) Cov( , ) ( ) ( ) 0 D X X Y a = E Y − E X [( ( )) ] 2 e = E Y − a + bX