《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第8章 假设检验 第二节 正态总体均值的假设检验

概车纶与款理统外 第二节正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值μ的检验 二、两个总体均值差的检验

第二节 正态总体均值的假设检验 一、单个总体均值 的检验 二、两个总体均值差的检验 

概華伦与款程硫外 一、单个总体N(,o)均值4的检验 1.σ2为已知，关于u的检验(Z检验) (1)假设检验H。:μ=4，H1:4≠%； (2)假设检验H:4≤4，H1:4>4； (3)假设检验H:4≥4，H1:μ<4， 讨论中都是利用H。为真时服从N(0,1)分布 的统计量乙=X一凸来确定拒绝域的，这种 ol/n 检验法称为z检验法

一、单个总体 N(, 2 ) 均值 的检验 1. , ( )  2 为已知 关 于的检验 Z 检 验 (3) : , : . (2) : , : ; (1) : , : ; 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0                 =  H H H H H H 假设检验 假设检验 假设检验  . , / (0,1) 0 0 检验法称为 检验法 的统计量 来确定拒绝域的 这种 讨论中都是利用 为真时服从 分布 Z n X Z H N  −  =

概车纶与款理统外 例1某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm,标准差是0.15cm,今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量，其结果如下： 10.410.610.110.410.510.310.310.2 10.910.610.810.510.710.210.7 假定切割的长度服从正态分布，且标准差没有变 化，试问该机器工作是否正常a=0.05) 解因为X~N(,o2),σ=0.15， 要检验假设 Ho:u=10.5,H1:4≠10.5

例1 某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的 平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今从一批产 品中随机的抽取15段进行测量, 其结果如下: 10.9 10.6 10.8 10.5 10.7 10.2 10.7 10.4 10.6 10.1 10.4 10.5 10.3 10.3 10.2 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变 化, 试问该机器工作是否正常? ( = 0.05) 解 ~ ( , ), 0.15, 2 因为 X N    = : 10.5, : 10.5, H0  = H1   要检验假设

概率伦与款理统外 Ho:u=4o=10.5,H1:4≠10.5， 检验问题的拒绝域为 an >za/2 n=15,x=10.48,a=0.05, 20.025=1.96, x一0 10.48-10.5 =0.516<1.96 0.15/√15 故接受H,认为该机工作正常

检验问题的拒绝域为 1.96, z0.025 = , . 故接受 H0 认为该机工作正常 n = 15, x = 10.48,  = 0.05, 0 2 x z n    −  0 10.48 10.5 0.516 1.96 0.15 15 x n   − − = =  : 10.5, : 10.5, H0  = 0 = H1  

概车纶与款理统外 2.o2为未知关于u的检验(t检验) 设总体X~N(4,o),其中4，o2未知，显著性水平为. 求检验问题Ho:4=4,H1:μ≠h的拒绝域 设X1,X2,Xn为来自总体X的样本， 因为σ2未知，不能利用 X一4来确定拒绝域。 σ/Wn 因为S2是σ2的无偏估计，故用S来取代o, 即采用t=Y一丛来作为检验统计量。 S/√n

2. , ( )  2为未知 关 于 的检验 t 检 验 ~ ( , ), , , . 2 2 设总体 X N   其中  未知 显著性水平为 : , : . 求检验问题H0  = 0 H1   0的拒绝域 , , , , 设 X1 X2  Xn 为来自总体X 的样本 , 因为 2 未知 . / 不能利用 0 来确定拒绝域 n X  −  , 因为 S 2 是 2 的无偏估计 故用S 来取代 , . / 即采用 0 来作为检验统计量 S n X t −  =

概華论与款醒统外 当观察值t= E一4 过分大时就拒绝Ho, s/n 拒绝域的形式为t= -0 ≥k. sIn 根据第六章§2定理三知， 当H,为真时，X-么~tm-1, SIn P当，为真拒绝H,=台≥}=a

, / 0 0 H s n x 当观察值 t 过分大时就拒绝 −  = . / 0 k s n x t  −  拒绝域的形式为 = ~ ( 1), / , 0 0 − − t n S n X H  当 为真时 { , } P 当 H0 为真 拒绝 H0 , / 0 0    =        − = k S n X P 根据第六章§2定理三知

概车纶与款理统外 得k=ta/2(n-l), 拒绝域为t= 下-4 s/√n ≥ta2(n-l). 上述利用t统计量得出的检验法称为t检验法， 对于正态总体N(4,σ2)，当o2未知时，关于的 单边检验的拒绝域在表8.1中给出. 在实际中，正态总体的方差常为未知，所以 我们常用t检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题

( 1), 得k = t / 2 n − ( 1) . / / 2 0  − − = t n s n x t   拒绝域为 8.1 . ( , ), , 2 2 单边检验的拒绝域在表 中给出 对于正态总体 N   当 未知时 关于的 在实际中, 正态总体的方差常为未知, 所以 我们常用 t 检验法来检验关于正态总体均值的检 验问题. 上述利用 t 统计量得出的检验法称为t 检验法

概率伦与款程统外 例2 如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布，问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化？(a=0.05) 解 依题意X~N(4,σ2)，4，σ2均为未知， 要检验假设H:4=10.5,H1:4≠10.5， n=15,x=10.48,a=0.05,5=0.237, x-4=10.48-10.5 s/n0.237/15 =0.327, 查表得ta2(n-1)=t.o25(14)=2.1448>t=0.327, 故接受H,认为金属棒的平均长度无显著变化

如果在例1中只假定切割的长度服从正态分 布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变 化? ( = 0.05) 解 ~ ( , ), , , 依题意 X N   2   2均为未知 : 10.5, : 10.5, 要检验假设 H0  = H1   n = 15, x = 10.48,  = 0.05, s = 0.237, 0.237/ 15 10.48 10.5 / 0 − = − = s n x t  = 0.327, 查表得 ( 1) (14) / 2 0.025 t n − = t  = 2.1448  t = 0.327, , . 故接受 H0 认为金属棒的平均长度无显著变化 例2

概车纶与散理统针「 例3某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态 分布，4，σ2均为未知.现测得16只元件的寿命如 下： 159 28010 1212224379179 264 222362168250 149260485 170 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225（小时）？ 解依题意需检验假设 Ho:u≤4=225，H1:4>225

某种电子元件的寿命X(以小时计)服从正态 分布, 均为未知. 现测得16只元件的寿命如 下: 222 362 168 250 149 260 485 170 159 280 101 212 224 379 179 264 问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时)? 2 , 例3 解 : 225, : 225, H0   0 = H1   依题意需检验假设

概華论与款醒硫外 检验问题的拒绝域为 X-Mo z1 (n-1) s/√n 取a=0.05,n=16x=241.5,s=98.7259, 下-4=0.6685<t015)=1.7531 s s/n 故接受H,认为元件的平均寿命不大于225小时

=  t 0.05(15) = 1.7531 − = 0.6685 / 0 s n x t  , 225 . 故接受H0 认为元件的平均寿命不大于 小时 检验问题的拒绝域为 0 ( 1) x t n s n  −   − 取 = 0.05, n = 16, x = 241.5, s = 98.7259