《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 复数与复变函数 1.5 复变函数的概念

第五节复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限 三、复变函数的连续性 四、小结与思考

第五节 复变函数 一、复变函数的概念 二、复变函数的极限 三、复变函数的连续性 四、小结与思考

一、复变函数的概念 1.复变函数的定义 设G是一个复数集.对于集合G中的每一个复 数z,就有一个或几个复数w=u+ⅳ与之对应，那 末称复变数w是复变数z的函数，记作w=f(z) 2.单（多）值函数的定义 如果对于每个z∈G,都有唯一的w与之对应， 则称函数f(z)是单值函数

一、复变函数的概念 , ( ). , , . w z w f z z w u iv G G = = + 末称复变数 是复变数 的函数 记作 数 就有一个或几个复数 与之对应 那 设 是一个复数集对于集合 中的每一个复 1.复变函数的定义 2 2.单(多)值函数的定义 ( ) . G, , 则称函数 是单值函数 如果对于每个 都有唯一的 与之对应 f z z w

如果z的一个值对应着两个或两个以上w的值，则 称函数f(z)是多值的 3.定义域和值域 集合G称为f(z)的定义集合（定义域）； 对应于G中所有z的一切w值所成的集合G* 称为函数值集合（值域）

( ) . , 称函数 是多值的 如果 的一个值对应着两个或两个以上 的值 则 f z z w 3.定义域和值域 集合G称为 f (z)的定义集合(定义域); 称为函数值集合(值域). 对应于 G 中所有 z的一切 w值所成的集合G* , 3

4.反函数 设函数w=f(z)定义在E上，值域为G若对于G中的 任一点w,在E中存在一个或几个z与之对应，则在G 上确定了一个单值或多值函数，记为z=f-(w),称 为函数w=f(z)的反函数 说明： 1.单值函数的反函数不一定是单值函数 2.如果函数w=f(z)和它的反函数z=f-(w)都是单 值的，则称函数w=f(z)是一一对应的（双方单值）

4. 反函数 为函数 的反函数 上确定了一个单值或多值函数 记为 称 任一点 在 中存在一个或几个 与之对应 则在 设函数 定义在 上 值域为 若对于 中的 ( ) , ( ), , , ( ) , . 1 w f z z f w w E z G w f z E G G = = = − 说明: 1.单值函数的反函数不一定是单值函数. , ( ) ( ). 2. ( ) ( ) 1 值的 则称函数 是一一对应的 双方单值 如果函数 和它的反函数 都是单 w f z w f z z f w = = = −

5.复变函数与二元实函数之间的关系 复变函数w与自变量z之间的关系w=f(z)可以写成 下列形式， w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 它们确定了自变量为x和y的两个二元实变函数， u=u(x,y),v=v(x,y), w=f(z)的性质就取决于一对二元实函数u(x,y), (x,y)的性质

5. 复变函数与二元实函数之间的关系 下列形式， 复变函数 w与自变量z 之间的关系w = f (z)可以写成 u = u(x, y), v = v(x, y), 它们确定了自变量为x和 y的两个二元实变函数. 的性质. 的性质就取决于一对二元实函数 ( , ) ( ) ( , ), v x y w = f z u x y w = f (z) = u(x, y) + i v(x, y) 5

例题1. 函数w=z2，令z=x+iy,w=u+i加， 则u+iⅳ=(x+y)2=x2-y2+2xy元， 于是函数w=z对应两个二元实函数 u=x2-y2,v=2xy 例题2. 将定义在全平面除去原点的区域上的一对二元实 变函数化为一个复变函数

例题1. , 2 函数 w = z 令 z = x +iy, w = u +iv, 2 则 u + iv = ( x + iy ) 2 , 2 2 = x − y + xyi 于是函数 对应两个二元实函数 2 w= z , 2 2 u = x − y v = 2xy. 例题2. 变函数化为一个复变函数. 将定义在全平面除去原点的区域上的一对二元 实 6

2x y 儿= V= x2+y2 x2+y2 (x2+y2≠0) 解： 设z=x+y,w=u+iy,则有 =u+m= 2x+iy x2+y2 将x-+=六e-r+少产=代入上式整 理得到 222(≠0)

2 2 2 x yx u + = 2 2 x y y v + = ( 0 ) 2 2 x + y  解： 设z = x +iy,w = u +iv,则有 2 2 2x y x iy w u iv ++ = + = 理得到 将 z z x y z z代入上式整 i x = z + z y = − + = 2 2 ( ), 21 ( ), 21 ,( 0) 21 23 = + z  z z w 7

6.复变函数的表示 对于复变函数，由于它反映了两对变量u,v和x,y 之间的对应关系，因而无法用同一平面内的几何图形 表示出来，必须看成是两个复平面上的点集之间的对 应关系 注意： (①)通过点集和点集间的对应来描述映射w=f(z) (2)点集的复平面表示

应关系. 表示出来,必须看成是两个复平面上的点集之间的对 之间的对应关系,因而无法用同一平面内的几何图形 对于复变函数,由于它反映了两对变量u,v和x, y (1)通过点集和点集间的对应来描述映射w= f (z) (2)点集的复平面表示 8 6. 复变函数的表示 注意:

例题：在复平面上描述下列点集 (1)20

例题：在复平面上描述下列点集. (1)2  z  3 ,1 3 3 arg 4 (2)  z   z    (3)z −1 + z +1  4 ( 0) 1 1 (4)   + − a a z z 9

二、复变函数的极限 1.1函数极限的定义： 设函数w=f(z)定义在z的去心邻域00， 总存在一正数6，使得当0<2-z<60<6≤p)的 一切z,有f(z)-A<,那末称A为f(z)当z趋向于z。 时的极限. 记作imf(z)=A.(或f(z)A) 注意：定义中z→2的方式是任意的 10

二、复变函数的极限 1.1函数极限的定义: 时的极限. 一切 有 那末称 为 当 趋向于 总存在一正数 使得当 的 内,如果有一确定的数 存在,对任给定的 设函数 定义在 的去心邻域 z, z0 ( ) , ( ) , 0 (0 ) 0, ( ) 0 0 0 0 f z A A f z z z z A w f z z z z        −   −       =  −  lim ( ) .( ( ) ) 0 0 f z A f z A z z z z = ⎯ → ⎯→ → 记作 或 : . 注意 定义中z → z0 的方式是任意的 10