《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 解析函数 2.3 复变初等函数

第三节 复变初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数za 四、三角函数 五、双曲函数 六、反三角函数和反双曲函数

第三节 复变初等函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数z a 四、三角函数 五、双曲函数 六、反三角函数和反双曲函数

一、指数函数 1.指数函数的定义： 对于复数z=x+y,称w=e=e(cosy+isin y) 为指数函数. 说明： (I)指数函数e可以用expz来表示. (2)e没有幂运算的意义

一、指数函数 1.指数函数的定义: 为指数函数. 对于复数z x iy，称w e e (cos y isin y) z x = + = = + 2 (1)指数函数 e 可以用exp z 来表示. z 说明： (2)e z 没有幂运算的意义

2.指数函数的性质 函数f(z)在复平面内满足： (1)exp z=e*,Arg(exp z)=y+2kz (其中k为任何整数) (2)在复平面上e≠0 (3)当lm(z）=0时，f(z)=e,其中x=Re(z) (4)当Re(z)=x=0时，则有e=e”"=cosy+isin y

( ) (1)| exp | ,Arg(exp ) 2 其中k为任何整数 z e z y k x = = +  2.指数函数的性质 3 (3) Im(z) 0 , f (z) e , x Re(z). x 当 = 时 = 其中 = 函数 f (z)在复平面内满足: z x e e y i y z i y (4)当Re( ) = = 0时,则有 = = cos + sin (2)  0 z 在复平面上e

例1设z=x+iy,求()e-2；(2)e；(3)Re(e)； 解因为e=e+w=e*(cosy+isiny) 所以其模e=e',实部Re(e)=e*cosy. (e-2=e-2+=e2x+i-2y,e-2=e2x; (2)e2=e*or=e-y+2w,e=e2-y; 11 (③)e2=e+i=e2+w x2+y2

例1 , (1) ; (2) ; (3)Re( ); 1 2 2 i z z z z x iy e e e − 设 = + 求 解 e e e (cos y isin y) z x iy x = = + 因为 + e e , Re(e ) e cos y. z x z x 所以其模 = 实部 = i z e 2 (1) − i 2( x iy) e − + = , 2x i(1 2 y) e− + − = ; i 2z 2 x e e − − = 2 (2) z e 2 ( x iy ) e + = , 2 2 2 x y xyi e − + = ; 2 2 2 z x y e e − = =z e1 (3) x yi e +1 , 2 2 2 2 x yy i x y x e +− + + = Re( ) cos . 2 2 1 2 2 x y y e e x y x z + = + 4

例2求出下列复数的辐角主值： ()e2+,(2)e2-3;(3)e3+;(4)e3 解 因为e=e+w=e(cosy+isiny)的辐角 Arge2=y+2kπ(k为整数) 其辐角主值arge为区间(-元，元内的一个辐角. (1)Arge2+i=1+2kn,arge2+i =1; (2)Arge2-3i=-3+2km,arge2-3=-3;

例2 解 求出下列复数的辐角主值: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 2 i 2 3i 3 4i 3 4i e e e e + − + − − 因为e e e (cos y isin y)的辐角 z x iy x = = + + Arge y 2k (k为整数) z = +  其辐角主值arg 为区间(-,]内的一个辐角. z e (1) Arg 1 2 , 2 = +  + e k i arg 1; 2 = +i e (2) Arg 3 2 , 2 3 = − +  − e k i arg 3; 2 3 = − − i e 5

(3)e3+4 Arge3+i=4+2k元，arge3+4i=4-2 (4)e34; Arge 3-4i=-4+2km,arge34i=-4+2 3+ 例题3计算e4的值， 解：-3+i e 例题4利用指数表示计算(：2+：的值 1+2i

Arg 4 2 , 3 4 = +  + e k i arg 4 2 ; 3 4 = −  + i e Arg 4 2 , 3 4 = − +  − − e k i arg 4 2 ; 3 4 = − +  − − i e (3) ; 3 4i e + (4) ; 3 4i e − − 6 3 . 4 3 例题 计算 的值i e  − + i e 4 3  − + ) 4 sin 4 (cos 3   = e + i − ) 2 2 2 2 ( 3 = e + i 解： − . 1 2 - 2 4 3 1 例题 利用指数表示计算（ ）的值 i i + +

(5)加法定理成立eXpz1·epz2=ep(z1+2) 证设z1=七1+少1,2=七2+少2， 左端=expz1·expz2 =e(cosy+isiny)e (cosy2 +isiny2) =ex [(cos y cos y2-sin yi sin y2) +il(sin y cos y2 +cosy sin y2)] =ex [cos(+2)+isin(+y2) =exp(z1+z2)=右端

(5) exp exp exp( ) 1 2 1 2 加法定理成立 z  z = z + z 证 , , 1 1 1 2 2 2 设 z = x + iy z = x + iy 1 2 左端 = exp z  exp z (cos sin ) (cos sin ) 1 1 2 2 1 2 e y i y e y i y x x = +  + [(sin cos cos sin )] [(cos cos sin sin )] 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2i y y y y e y y y y x x+ + = − + [cos( ) sin( )] 1 2 1 2 1 2 e y y i y y x x = + + + + exp( ) . = z1 + z2 = 右端 7

(6)根据加法定理，推出expz的基本周期2πi. 即e+2km=e3.e2km=e. (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数e所没有的. (7)复变量的指数函数e当z趋向于∞时没有 极限， 当z沿着实轴正向趋向于∞时，有 lim e2=lim e*=+oo 7>00 X)+0 Z=x>0

(6)根据加法定理,推出 exp z的基本周期2i. . z 2k i z 2k i z e = e  e = e 即 +   (其中k为任何整数) 该性质是实变指数函数 所没有的. x e , e z 极限 (7)复变量的指数函数 当z趋向于时没有 8 当z沿着实轴正向趋向于时，有 = = +  →+  =  → x x z z x z lim e lim e 0

当z沿着实轴负向趋向于∞时，有 lim e=lim e*=0 Z→00 X)-00 Z=x<0 (8)f(z)在复平面内处处解析，(e)=e2

lim lim 0 0 = = →−  =  → x x z z x z e e 当z沿着实轴负向趋向于时，有 9 z ' z (8) f (z)在复平面内处处解析,(e ) = e

二、对数函数 1.对数函数的定义 满足方程e”=z(z≠0)的函数w=f(z)称为对数 函数，记作： w=Lnz 解析式的推导： 令z=re0,w=u+iv,则方程z=e"变为 ewtiv reio 10

二、对数函数 w= Lnz 解析式的推导: 令z = re i ,w = u +iv，则方程z = e w 变为 1. 对数函数的定义 函数,记作: 满足方程 e w = z (z  0)的函数 w = f (z)称为对数 u iv i e = re + 10