《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第七章 傅里叶变换 7.3 傅里叶变换的性质

第三节傅里叶变换的性质 一、基本性质（共六条） 1线性性质 设F(o)=F(f(t),G(o)=F(g(t),a,B为常数，则有 F(af(t)+Bg(t))=aF(@)+BG(@) F(aF(@)+BG(@))=af(t)+Bg(t) 例题1：求f()=sin3t的傅里叶变换. 解：sin3t=[er-3er+3e-e3] 8

设F() = F( f (t)),G() = F(g(t)),,为常数,则有 F(f (t) + g(t)) =F() + G() ( ( ) ( )) ( ) ( ) 1 F F  + G  =f t + g t − 1.线性性质 一、基本性质(共六条) 第三节傅里叶变换的性质 例题1:求 (t) sin t的傅里叶变换. 3 f = [ 3 3 ] 8 sin 3 j3t j t j t j3t e e e e j t − − 解： = − + −

FIsin(FFF 例题2：求F(ω)= 的傅里叶逆变换， (3+0)(4+3) 解：因为 3 (3+)(4+30)5(4+30)）5(3+0) Io1-Pl4+片a+

= ( [ ]−3 [ ]+ 8 [sin ] 3 j3t j t F e F e j F t 3 [ ] [ ]) jt j3t F e F e − − − 例题2:求 的傅里叶逆变换. (3 )(4 3 ) 1 ( ) j j F    + + = 解:因为 5(3 ) 1 5(4 3 ) 3 (3 )(4 3 ) 1 j j j +j − + = + + ] (3 ) 1 [ 5 1 ] (4 3 ) 3 [ 5 1 [ ( )] 1 1 1 j F j F F F    + − + = − − −

2.位移性质 设F(o)=F(f(t),t,@为实常数，则有 F(f(t-1))=e-jF(@)F(F(-@))=eo'f(t) 该性质的物理意义： 当一个函数沿着时间轴移动后，它的各频率成分的大 小不发生变化，但相位发生变化 例题3：求下列函数的傅里叶逆变换. 1 G(0)= B+j0+0) B>0,0为实常数

设F() = F( f (t)),t 0 ,0 为实常数,则有 ( ( )) ( ) 0 0   F f t t e F − j t − = ( ( )) ( ) 0 0 1 F F e f t j t  − = − 2.位移性质 该性质的物理意义 : , . , 小不发生变化 但相位发生变化 当一个函数沿着时间轴移动后 它的各频率成分的大 例题3:求下列函数的傅里叶逆变换. ( ) 1 ( )   0  + + = j G   0,0 为实常数

解：令G(o)=F(o+o),则有公式得到 LG(o训=e7aFIF(o=，p 0,t<0 例题4：已知FLf(t)】=F(o),证明 FLf0cos@,1=F(o-o,)+F(@+@,】 解：f)cos@,t=)[f0e+f)ew] 由位移性质的等价形式FLe@ft=F(o-o,) Flf()cos@t]-jIF(@-@)+F(@+@)

令G() = F( +0 ),则有公式得到 [ ( )] [ ( )] 1 0 1    F G e F F − − j t − =      = − + 0, 0 , 0 ( ) 0 t e t  j t 解: 例题4:已知F[ f (t)] = F(),证明 [ ( ) ( )] 2 1 [ ( ) cos ] 0 = F  −0 + F  +0 F f t t 解: [ ( ) ( ) ] 2 1 ( ) cos 0 0 0 j t j t f t t f t e f t e    − = + 由位移性质的等价形式 [ ( )] ( ) 0 0    F e f t = F − j t [ ( ) ( )] 2 1 [ ( )cos ] 0 = F  −0 + F  +0 F f t t

3.相似性质 设F(o)=F(f(t),a为非零常数，则有 FUm》=司r受 该性质的物理意义： 如果函数信号被压缩，则其频谱被扩展，如果函数被扩 展，则其频谱被压缩！ 例题5：求δ(kt)的傅里叶变换. 16训=云：-肉

设F() = F( f (t)), a为非零常数,则有 ( ) 1 ( ( )) a F a F f at  = 3.相似性质 该性质的物理意义 : , . , , 展 则其频谱被压缩 如果函数信号被压缩 则其频谱被扩展 如果函数被扩 例题5:求(kt)的傅里叶变换. k F t k F kt k 1 [ ( )]| 1 [ ( )] =   =

例题6：求下列函数的傅里叶逆变换 1 F(o)= B>0,k>0. B+iko 4.微分性质 ()导函数的像 若lim.f(t)=0,则F(f(t)=joF(f(t) 般地，若1imf(t)=0(k=0,12.n-1),则有 F(fm(t)》=(jo)”F(f(t)

   jk F + = 1 ( )   0,k  0. 例题6:求下列函数的傅里叶逆变换. 4.微分性质 (1)导函数的像 lim ( ) 0, ( ( )) ( ( )) ' f t F f t j F f t t = =  →+ 若 则 一般地,若 lim ( ) ( ) = 0( = 0,1,2 −1),则有 →+ f t k n k t  ( ( )) ( ) ( ( )) ( ) F f t j F f t n n = 

(2)像函数的导数 dF(o)=FL-jf】 d 地，有Fo=爪-mf01=(rFrf1 一 注意： 当f(t)的傅氏变换已知时，可用来求t”f(t)的傅氏变换 F re 例题7：求下列函数的傅里叶变换

F( ) F[ jtf(t)] d d  = −  F( ) F[( j t) f (t)] ( j) F[t f (t)] d d n n n n n  = − = −  [ ( )] ()  F d d F t f t j n n n n = (2)像函数的导数 一般地,有 注意: 当f (t)的傅氏变换已知时,可用来求t f (t)的傅氏变换. n 例题7:求下列函数的傅里叶变换

Jt"e,t≥0 其中B>0. 0,t<0 解：由微分性质可得 Frf1=”4Fo do" Ff(t川= B+jo Fl"f()-j"do"B+jo d"1

     = − 0, 0 , 0 ( ) t t e t g t n t 其中  0. 解:由微分性质可得 [ ( )] ()  F d d F t f t j n n n n =      = − 0, 0 , 0 ( ) t e t f t t  j F f t + = 1 [ ( )] d  j d F t f t j n n n n + = 1 [ ( )]

5积分性质 设g()=nf(t)dt,若1mg)=0,则有 FlgO-1FfOol io 证明：由于g(t)=f(t),根据微分性质有 FIf(-FIg(-joFI(FIg()-Ff( 例题8：求解积分微分方程 ax (t)+bx(t)+cx(tdt =r(t)

− →+ = = t t 设g(t) f (t)dt,若 lim g(t) 0,则有 [ ( )] 1 [ ( )] F f t j F g t  = 证明:由于g ' (t) = f (t),根据微分性质有 [ ( )] [ ( )] [ ( )] ' F f t = F g t = jF g t [ ( )] 1 [ ( )] F f t j F g t  = 5.积分性质 例题8:求解积分微分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ' ax t bx t c x t dt r t t + + = −

满足条件x0)t=0的解，其中a,b,c为常数，r(t)为 傅里叶变换原像空间的函数， 解：令X(o)=F[x(t)l,R(o)=F[(t) 两端取傅里叶变换，应用假定的条件得到 iaao)+bXo+8Xol=Roy 解此代数方程得到 -i X(0)= 一RO) a@2-ibo-c 所以原方程的解为x)=F -i -R(o】 ao2-ibo-c

傅里叶变换原像空间的函数. 满足条件 的解,其中a,b,c为常数,r(t)为 + − x(t)dt = 0 令X() = F[x(t)], R() = F[r(t)] 两端取傅里叶变换,应用假定的条件得到 ( ) ( ) () ()     X R i c ia X + bX + = 解: 解此代数方程得到 ( ) ( ) 2     R a ib c i X − − − = 所以原方程的解为 ( ) [ ( )] 2 1    R a i b c i x t F − − − = −