《复变函数与积分变换》课程教学课件（PPT讲稿）第八章 拉普拉斯变换 8.1 拉普拉斯变换的概念

第八章拉普拉斯变换主要内容 一、拉普拉斯变换的概念 二、拉普拉斯变换的性质 三、拉普拉斯变换的逆变换 四、拉普拉斯变换的应用

第八章拉普拉斯变换主要内容 一、拉普拉斯变换的概念 二、拉普拉斯变换的性质 三、拉普拉斯变换的逆变换 四、拉普拉斯变换的应用

第一节拉普拉斯变换的概念 一、问题的引入 傅里叶变换具有广泛的应用，但是有前提条件，除了 满足狄氏条件外，还要函数在(-∞，+∞)上绝对可积 f(okit< 实际上这个条件非常强，对函数的要求较高，因此一 些常见的函数都不满足这一点这就限制了傅里叶 变换的应用

   +  − f (t)dt 第一节拉普拉斯变换的概念 一、问题的引入 满足狄氏条件外 还要函数在 上绝对可积 傅里叶变换具有广泛的应用 但是有前提条件 除了 , ( , ) , , − + . , , , 变换的应用 些常见的函数都不满足这一点 这就限制了傅里叶 实际上这个条件非常强 对函数的要求较高 因此一

另外，通常在实际应用中的许多以时间为自变量的 函数往往在tO)下降的速度

. 0 , , , 这样的函数也不能取傅里叶变换 函数往往在 时无意义的 或者不需要考虑的 像 另外 通常在实际应用中的许多以时间 为自变量的 t  t 数值就等于零 同时指数函数 下降的速度 点呢 为此将 乘上 这样小于零的部分的函 应用 如何对函数进行适当的修改才能克服上述缺 导致傅氏变换不存在 这极大的限制了傅氏变换的 对于一个函数有可能因为不满足傅氏变换的条件 , ( 0) ? ( ) ( ), , , ,  −   t e t u t

很快，因此几乎所有使用的函数乘上(t)后在乘上 e(B>O)后得到函数的傅氏变换都存在 ∫puu0eei=0fe"h 其中s=B+iw,f(t)=p(t)u(t), f()e"d=F(s) 由此产生的这种新型积分称为拉普拉斯变换

后得到函数的傅氏变换都存在 很快，因此几乎所有使用的函数乘上 后在乘上 ( 0) ( )  −  t e u t t u t e e dt f t e dt t iwt −st +  − − +  −  = 0 ( ) ( ) ( )   s =  + iw, f (t) =(t)u(t), ( ) ( ) 0 f t e dt F s st = − +   由此产生的这种新型积分称为拉普拉斯变换. 其中

二、拉普拉斯变换的定义 1.定义9.1设函数f()是定义在[0，+o)上的实值函数， 如果对于复参数s=B+w,积分 F(s)=fe"d 在复平面s的某一区域内收敛，则称F(s)为f(t)的拉 普拉斯变换 F(s)=L(f(t)) 关于定义的说明： (1)F(s)称为f(t)拉普拉斯变换，而f(t)称为F(s)拉 普拉斯逆变换，可记为

F s f t e dt −st +   = 0 ( ) ( ) F(s) = L( f (t)) 二、拉普拉斯变换的定义 如果对于复参数 积分 定义 设函数 是定义在 上的实值函数 , 1. 9.1 ( ) [0, ) , s j w f t = + +  . , ( ) ( ) 普拉斯变换 在复平面s的某一区域内收敛 则称F s 为f t 的拉 关于定义的说明: 普拉斯逆变换,可记为 (1)F(s)称为f (t)拉普拉斯变换,而f (t)称为F(s)拉

f(t)=L(F(s)) (2)f(t)的拉普拉斯变换实际上是f(t)u(t)em的傅里 叶变换 (3)定义9.1中只给出了拉普拉斯逆变换的概念，并 没有给出具体的公式. (4)为了讨论和描述的方便，约定在拉普拉斯变换 中的函数f(t)均理解为当t<O时取零值

( ) ( ( )) 1 f t L F s − = 没有给出具体的公式. (3)定义9.1中只给出了拉普拉斯逆变换的概念,并 中的函数 均理解为当 时取零值. (4)为了讨论和描述的方便,约定在拉普拉斯变换 f (t) t  0 . (2) ( ) ( ) ( ) 叶变换 f t 的拉普拉斯变换实际上是f t u t e −t 的傅里

2.几个常见函数的拉普拉斯变换 例题1求阶跃函数④=11>0 0,t0

  − = s L e t 1 [ ]   + = − s L e t 1 [ ]   s j L e j t − = 1 [ ] . 1, 0 0, 0 例题1求阶跃函数 ( ) 的拉普拉斯变换      = t t u t , , 0. 2 , , .  −     中 为实常数 并且 例题 分别求函数 的拉普拉斯变换其 w e e e t t jwt 2.几个常见函数的拉普拉斯变换 s L u t u t e dt e dt s t s t 1 [ ( )] ( ) 0 0 = = = − + − +  

例题3求δ(t)的拉普拉斯变换， (1)规定[0，+∞)是由区间8，+o)不断膨胀生成的，即 5(ea-im(e"- (2)规定[0，+∞)是由区间可-6，+∞)不断收缩生成的，即 6(telim(e"d-1

例题3求(t)的拉普拉斯变换. (1)规定[0,+)是由区间[,+)不断膨胀生成的,即 ( ) lim ( ) 0 0 0 = =   +  − → + − +     t e dt  t e dt s t s t (2)规定[0,+)是由区间[−,+)不断收缩生成的,即 ( ) lim ( ) 1 0 0 = =   +  − − → − +     t e dt  t e dt s t s t

三、拉普拉斯变换的存在性定理 定理9.1设函数f(t)满足 (①)在t≥0的任何有限区间上分段连续： (2)当t→+o时，函数f(t)具有有限增长性，即存在 常数M>0及c≥0，使得f(t)≤Me“,(0≤tc上一定存在，并是解 析的

三、拉普拉斯变换的存在性定理 定理9.1设函数f (t)满足 (1)在t  0的任何有限区间上分段连续； 0 0, ( ) ,(0 ) (2) , ( ) ,      + → + M c f t Me t t f t 常数 及 使得 ct 当 时 函数 具有有限增长性 即存在 . ( ) Re , 析的 则像函数F s 在半平面 s  c上一定存在 并是解

关于存在性定理的说明： (①)定理9.1的条件是充分的，不是必要的。 (2)对任何一个函数f(t),其拉普拉斯变换为下列三 种情况之一： ()F(s)不存在： (i)F(s)处处存在，即存在域是全平面； (ii)存在实数so,当Res>s时，F(s)存在； 当Res<s时，F(s)不存在

(1)定理9.1的条件是充分的,不是必要的。 : (2) ( ), 种情况之一 对任何一个函数f t 其拉普拉斯变换为下列三 (i)F(s)不存在; (ii)F(s)处处存在,即存在域是全平面; (iii)存在实数s0 ,当Re s  s0 时,F(s)存在； 当Re s  s0 时,F(s)不存在. 关于存在性定理的说明: