《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第八章 拉普拉斯变换 8.3 拉普拉斯逆变换

第三节拉普拉斯逆变换 一、反演公式的推导 由拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系可知道 F(B+jw)=f(u(t)e-Re-dt 因此有0)=2o60 2JB-j 上式称为拉普拉斯逆变换公式,也称为反演积分 公式,右端的积分称为反演积分
F j f t u t e e dt t jt − − + − ( + ) = ( ) ( ) F s e ds j f t st j j + − = ( ) 2 1 ( ) (t 0) 第三节拉普拉斯逆变换 一、反演公式的推导 由拉普拉斯变换和傅里叶变换的关系可知道 因此有 , . , 公式 右端的积分称为反演积分 上式称为拉普拉斯逆变换公式 也称为反演积分

二、利用留数定理计算反演积分 定理9.2设F(s)除在半平面Res≤c内有限个孤立奇 点s,.Sm外是解析的,并且当s→o时,F(s)→0,则有 2可Foe-2eroe,l k=1 即有f=ResJF(s)”e,lu>0)
点 外是解析的,并且当 时 则有 定理9.2设 除在半平面 内有限个孤立奇 , , ( ) 0, (s) Re 1 → → s s s F s F s c m = + − = m k k s t s t j j F s e ds s F s e s j 1 ( ) R e [ ( ) , ] 2 1 = = n k k s t f t s F s e s 1 ( ) Re [ ( ) , ] 二、利用留数定理计算反演积分 即有 (t 0)

证明: 如图所示曲线C=L+CR,L在平面 Res>c内,C是半径为R的半圆弧 当R充分大时,可使得s都在C内,由 于除孤立奇点s外是解析的故由留 尽R 数定理有 fF(s)e"ds=2>ReslF(s)e",sl k=1
= = C n k k s t s t F s e ds j s F s e s 1 ( ) 2 R e [ ( ) , ] 证明: 数定理有 于除孤立奇点 外是解析的故由留 当 充分大时 可使得 都在 内由 内 是半径为 的半圆弧 如图所示曲线 在平面 k k R R s R s C s c C R C L C L , , Re , , , = +

即有 2og+.F加-夏e6e 2 k=1 由若尔当引理可知当t>0时有 F(s)e"ds0 因此有 @2groeh2erwel
即有 = + − + = n k k s t C s t s t j R j R F s e ds F s e ds s F s e s j R 1 [ ( ) ( ) ] Re [ ( ) , ] 2 1 由若尔当引理可知当t 0时有 lim ( ) = 0 →+ CR st R F s e ds 因此有 = + − = = n k k s t j j s t F s e ds s F s e s j f t 1 ( ) Re [ ( ) , ] 2 1 ( )

三、利用反演公式求拉普拉斯逆变换 G-2(5-1)P求=L[F(s 1 例题1:已知F(S)= 解:(1)利用留数定理求解 由于分别为像函数的简单极点和二阶极点,应用 公式以及留数计算法则得到 f(t)=Res[F(s)e",2]+Res[F(s)e",1] (s-1)a +(s-2)=e2-e-te
解:(1)利用留数定理求解 公式以及留数计算法则得到 由于分别为像函数的简单极点和二阶极点,应用 ( ) Re [ ( ) ,2] Re [ ( ) ,1] s t s t f t = s F s e + s F s e 1 ' 2 2 ) | 2 | ( ( 1) = = − + − = s st s st s e s e t t t = e − e − te 2 , ( ) [ ( )] ( 2)( 1) 1 ( ) 1 2 f t L F s s s F s − = − − 例题1:已 知 = 求 三、利用反演公式求拉普拉斯逆变换

(2)利用卷积求解 F(=Fs)F)=1X,1 s-2^(s-1)2 f0)=L'[F(s】=e2,f(t)=L'[F2(s】=te f0=f0*()=ee2-dr =e"[wedr=e"(1-e-te) e2-e'-te' (3)对F(s)进行分解可得到 Fs)=11 1 s-25-1(s-1)2
(2)利用卷积求解1 2 2 ( 1) 1 2 1 ( ) ( ) ( ) − − = = s s F s F s F s ( ) [ ( )] , 2 1 1 1 t f t = L F s = e − f t f t f t e e d t t − = = 0 2( ) 1 2 ( ) ( )* ( ) (1 ) 2 0 2 t t t t t e e d e e te − − − = = − − t f t = L F s = te − ( ) [ ( )] 2 1 2 t t t = e − e − te 2 (3)对F(s)进行分解可得到 2 ( 1) 1 1 1 2 1 ( ) − − − − − = s s s F s

例题2设F(S)= 6+10s+3,求f0=L'[Fs 2s2+3s+3 解:由于s,=-1,S2=-3分别为的简单极点和三阶 极点,因此由公式得到 f(t)=Res[F(s)e",-1]+Res[F(s)e",-3] 242++ (5+3)3 =+(3+-
, ( ) [ ( )]. ( 1)( 3) 2 3 3 ( ) 1 3 2 f t L F s s s s s F s − = + + + + 例题2设 = 求 极点,因此由公式得到 解:由于s1 = −1,s2 = −3分别为的简单极点和三阶 ( ) = Re [ ( ) ,−1]+Re [ ( ) ,−3] s t s t f t s F s e s F s e '' 2 3 3 2 1 ] 1 2 3 3 lim [ 2! 1 ( 3) 2 3 3 lim s t s s t s e s s s e s s s + + + + + + + = →− →− t t e t t e 2 3 ) 4 1 2 3 ( 3 4 1 − − = + − + −

例题3求函数F(s)= S 的拉普拉斯 (s+1)(s+2)(s+3) 逆变换。 例题4求函数F(s)=2G2-0 1- 的拉普拉斯逆变换
逆变换. 例题3求函数 的拉普拉斯 ( 1)( 2)( 3) ( ) + + + = s s s s F s 例题4求函数 的拉普拉斯逆变换. ( 1) 1 ( ) 2 2 − = s s F s
按次数下载不扣除下载券;
注册用户24小时内重复下载只扣除一次;
顺序:VIP每日次数-->可用次数-->下载券;
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第八章 拉普拉斯变换 8.4 拉普拉斯变换的应用.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第七章 傅里叶变换 7.1 傅里叶变换.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第七章 傅里叶变换 7.2 脉冲函数及其傅里叶变换.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第七章 傅里叶变换 7.3 傅里叶变换的性质.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第六章 共形映射 6.1 共形映射.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第六章 共形映射 6.2 共形映射的基本问题.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第六章 共形映射 6.3 分式线性变换的性质.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第六章 共形映射 6.4 分式线性变换的构造.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第五章 留数及其应用 5.1 孤立奇点.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第五章 留数及其应用 5.2 留数及留数定理.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第五章 留数及其应用 5.3 留数在积分计算中的应用.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第五章 留数及其应用 5.4 对数留数与辐角原理.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 解析函数的级数表示 4.1 复数项级数.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 解析函数的级数表示 4.2 幂级数.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 解析函数的级数表示 4.3 解析函数的泰勒展开.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 解析函数的级数表示 4.4 解析函数的洛朗展开.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 复变函数的积分 3.1 复积分概述.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 复变函数的积分 3.2 柯西积分定理.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 复变函数的积分 3.3 柯西积分公式.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 复变函数的积分 3.4 高阶导数公式.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第八章 拉普拉斯变换 8.2 拉普拉斯变换性质.ppt
- 《复变函数与积分变换》课程教学课件(PPT讲稿)第八章 拉普拉斯变换 8.1 拉普拉斯变换的概念.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第一章 行列式 1.4 克拉默法则.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第一章 行列式 1.3 n阶行列式的计算.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第一章 行列式 1.2 行列式的性质.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第一章 行列式 1.1 行列式的定义.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第二章 矩阵与向量 2-4 矩阵的秩.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第二章 矩阵与向量 2-3 向量组的线性关系.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第二章 矩阵与向量 2-2 向量和线性运算.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第二章 矩阵与向量 2-1 消元法和矩阵的初等变换.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 矩阵的运算 3-4 分块矩阵.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 矩阵的运算 3-3 初等矩阵.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 矩阵的运算 3-2 逆矩阵.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第三章 矩阵的运算 3-1 矩阵的运算.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 线性方程组 4-3 非齐次线性方程组.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 线性方程组 4-2 齐次线性方程组.ppt
- 《线性代数》课程教学课件(PPT讲稿)第四章 线性方程组 4-1 线性方程组有解的判定.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数、极限与连续 第二节 数列极限的定义与计算.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(课件讲稿)第一章 函数、极限与连续 第一节 集合与函数.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(知识扩展)极限的历史演变.doc