《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第二章 矩阵与向量 2-1 消元法和矩阵的初等变换

第二章矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩

第二章 矩阵与向量 §2.1消元法与矩阵的初等变换 §2.2向量及其线性运算 §2.3向量组的线性相关性 §2.4矩阵的秩

§2.1消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式

§2.1 消元法与矩阵的初等变换 一、消元法解线性方程组 二、矩阵的初等变换 三、矩阵的几种等价形式

一、消元法解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程. 引例求解线性方程组 2x1-x2+2x3=4 七1+X2+2x3=1 () 4x1+X2+4x3=2 解： 七1+x2+2x3=1 (1) ①K→② 2x1-X2+2x3=4 (2) 4x1+x2+4x3=2

引例 一、消元法解线性方程组 求解线性方程组 分析：用消元法解下列方程组的过程． 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 4 2 1 (1) 4 4 2 x x x x x x x x x  − + =   + + =  + + =  1  2 (1) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 1 2 2 4 (2) 4 4 2 x x x x x x x x x  + + =   − + =  + + =  解：

x1+七2+2x3=1 -2①+②2 -3x2-2x3=2 (3) -4①+3 +3x2-4x3=-2 x1+x2+2x3=1 -②+③ -3x2-2x3=2 (4) -2x3=-4 X1+X2 =-3 -③+② -3x2 =6 ③+① (5) -2x3=-4

- 2 + 3 1 2 3 2 3 3 2 1 3 2 2 (4) 2 4 x x x x x x  + + =   − − =  − = −  - 3 + 2 3 + 1 1 2 2 3 3 3 6 (5) 2 4 x x x x  + = −   − =  − = −  1 2 3 2 3 2 3 2 1 3 2 2 (3) 3 4 2 x x x x x x x  + + =   − − =  + − = −  -2 1 + 2 -4 1 + 3

1②+① 1=-1 ② X2=-2 1 ③ 北3=2 说明： 1.在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 (1)交换方程次序； (2) 以不等于0的数乘某个方程； (3)一个方程加上另一个方程的k倍

2 1 3 2 1 + 3 1 3 − 1 2 − 1 2 3 1 2 2 x x x  = −   = −  =  说明： 1. 在上述变换过程中，始终把方程组看作一个整 体变形，用到下面的三种形式的变换，分别为 （1）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．

以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是，加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组 2.上述三种变换都是可逆的. 若(A0E0(B,则B)2 (A); 若A)×k(B,则(B)①÷长(A: 若(A)①+k(B,则(B) 2(A) 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组

2.上述三种变换都是可逆的． 由于三种变换都是可逆的，保证变换前后的方程 组是同解方程组． i j 若(A) (B),  则(B) (A); i  j + k 若(A) (B), i j 若(A) (B), i k 则(B) (A); i  k 则(B) (A). − k j i 以上三种变换叫做方程组的初等变换.于是,加减 消元法解线性方程组就是用初等变换来化简方程组

3.因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算，因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 定义2.1.1由m×n个数(=1,2，.，m;j=1,2,n) 排成的m行n列的数表 1 L12 A= l22 : m m2

3. 因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数 和常数进行运算，未知量并未参与运算,因此在线性 方程组中将未知数省略后，引入下面概念 由 mn 个数 m n a (i m j n) ij 定义 = 1,2,  , ; = 1,2,  , 2.1.1 排成的 行 列的数表 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =      

称为m×n矩阵.简称mxn阵. 说明： (I)a,为A的第行第列元素 (2)a,是实数，A为实矩阵，a,是复数，A为复矩阵。 (3)与行列式的区别 (4脚阵记为A=Am=a）n=a,】 (⑤)矩阵的行数和列数相等时，称矩阵A为方阵 例如 [8 是一个2×4实矩阵

(3)与行列式的区别 (1)ai j为A的第i行第j列元素 (2)ai j是实数, A为实矩阵,ai j是复数, A为复矩阵。 称为 mn 矩阵.简称 mn 阵. 说明： (4) ( ) ( ). i j m n A = Am n = ai j = a  矩阵记为  (5)矩阵的行数和列数相等时,称矩阵A为方阵. 例如 1 0 3 5 9 6 4 3       − 是一个 24 实矩阵

13 6 2i 2 2 2 是一个3阶方阵 2 22 例如，一般n元线性方程组 411X1+412X2+.+41mn=b1 021X1+022X2+.+2nmXn=b2 (8) amam22+amnxn =bm

13 6 2 2 2 2 2 2 2  i         是一个3 阶方阵. 例如，一般n元线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . (8) . . n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + = 

的未知量的系数可以用矩阵A=(a,)mxm 来表示， 此时称A为方程组的系数矩阵 411a12 413. an a21a22 a23 A= 02n a31432 033 a3n 方程组的系数和常数项可以用一个m×(n+1)矩阵 411412 . A 2122 b, 0。 b m

此时称A为方程组的系数矩阵. ( ) 的未知量的系数可以用矩阵 A a = ij m n 来表示，             = n n n a a a a a a a a a a a a A 3 1 3 2 3 3 3 2 1 2 2 2 3 2 1 1 1 2 1 3 1         方程组的系数和常数项可以用一个 m n  + ( 1) 矩阵 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 n n m m mn m a a a b a a a b A a a a b         =            