《高等数学》课程教学资源（补充提高）第二章 导数与微分

第二章导数与微分 一、学习目的与要求 1、加深理解导数概念，并能利用导数解决一些具体问题。 2、熟练掌握求导法则及导数基本公式，能正确求出初等函数的导数。 3、熟练掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶、二阶导数的求法。 二、学习重点 导数概念及复合函数求导问题 三、内容提要 1、导数定义设函数y=fx)在x。的某邻域内有定义，对应于自变量的任一改变量△x, 函藏的变量为A=化+A-九，如果巴是-画飞+存在， Ar 则称f)在处可导，且称此极限值为fx)在点而处的导数，记作 fx,必l或yl。若记x=x+Ax则，)又可记为 点程典- 则称(x)、(x)分别是∫在。处的右导数与左导数，且 fx)存在台(x)=f(x人 2、可导与连续的关系可导→连续，不连续一不可导：反之，不一定成立。 3、若y=fx)在点x处的增量△y=f(x+△x)-f(x)=A△r+o(△x),其中A与△x无关， 则称f(x)在x处可微，并称A△r=f'(x)Ax为函数y在点x处的微分，记为=A△ 当f(x)在x处可微时，A=∫"(x)因此=∫"(x)Ar="(x)在 由上可知，导数了心)=张可表为函数的微分与自变量微分之商。可导台可微。 4、导数与微分的四则运算 设u=(x,y=(x)在x处可导，则

12 第二章 导数与微分 一、学习目的与要求 1、加深理解导数概念，并能利用导数解决一些具体问题。 2、熟练掌握求导法则及导数基本公式，能正确求出初等函数的导数。 3、熟练掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶、二阶导数的求法。 二、学习重点 导数概念及复合函数求导问题 三、内容提要 1、 导数定义 设函数 y = f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，对应于自变量的任一改变量 x ， 函数的改变量为 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ，如果 x f x x f x x y x x  +  − =    →  → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在， 则 称 f (x) 在 0 x 处可导，且称此极限值为 f (x) 在 点 0 x 处的导数，记作 0 0 ( ), | | 0 x x x x y dx dy f x = =  或  。若记 , ( ) 0 0 x = x + x 则f  x 又可记为 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − −  = → 若记 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − −  = + → + , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − −  = − → − 则 称 ( ) 0 f x +  、 ( ) 0 f x −  分别是 f 在 0 x 处 的 右 导 数 与 左 导 数 ， 且 ( ) ( ) ( ). 0 0 0 f x f x f x + −  存在   =  2、可导与连续的关系 可导  连续，不连续  不可导；反之，不一定成立。 3、若 y = f (x) 在点 x 处的增量 y = f (x + x) − f (x) = Ax + o(x) ，其中 A与x 无关， 则称 f (x) 在 x 处可微，并称 Ax = f (x)x 为函数 y 在点 x 处的微分，记为 dy = Ax . 当 f (x) 在 x 处可微时, A = f (x) 因此, dy = f (x)x = f (x)dx 由上可知，导数 dx dy f (x) = 可表为函数的微分与自变量微分之商。可导  可微。 4、导数与微分的四则运算 设 u = u(x),v = v(x)在x 处可导，则

(u土y)=u±v, du±v)=du±d小 (cu)'=c'(c为常数)， d(cw)=cdhu(c为常数)； (w)'=y+w' d(uv)=vdu+udv; 白r=-m 12 ad的=d-o≠0 5、 在点x可导，且 在hf1orpx dy dy du 对于y=f(w,不论变量u是中间变量还是自变量，都有少=f(w)d,这一性质称为一 阶微分形式不变性。 6、隐函数求导，反函数求导 设y=)是方程Fx,)=0所确定的隐函数，则少可由方程F化，)=0两边对x求导 后解出。设函数y=f)在点x的某邻域内单调连续且在x处可导，(x)≠0，则y=∫(x) 的反函数=)在点：所对应的点y必可，且齐-会 针级微的9时建北华到会 7、参数式求导 设/r=0 之-在区间红，)上造续，可号且×0≠0则参数式确定的商数y=可 华且安8起为0则竖明-客在害本 dx x'(t) dt dx dt dxldt 8、高阶导数 如果y=(x)作为x的函数在点x处可导，则y的导数称为y=x)的二阶导数，且 记作y安，由定义了)=血+回，类的，二价号数的时数 Ar 称为三阶导数，一般地，y=f(x)的n-1阶导数的导数称为f(x)的n的阶导数，且记为

13 ( ) , ( ) ( 0). ( ) , ( ) ; ( ) ( ), ( ) ( ); ( ) , ( ) ; 2 2  − =  −   =  =  +  = +  =  =   =     =  v v vdu udv v u d v vu uv v u uv u v uv d uv vdu udv cu cu c d cu cdu c u v u v d u v du dv 为常数 为常数 5、复合函数的导数与微分 设 u =(x) 在点 x 处可导， y = f (u) 在点 x 所对应的点 u 处可导，则复合函数 y = f[(x)] 在点 x 可导，且 f [ (x)] (x). dx du du dy dx dy =  =    对于 y = f (u), 不论变量 u 是中间变量还是自变量，都有 dy = f (u)du ，这一性质称为一 阶微分形式不变性。 6、隐函数求导，反函数求导 设 y = f (x) 是方程 F(x, y) = 0 所确定的隐函数，则 dx dy 可由方程 F(x, y) = 0 两边对 x 求导 后解出。设函数 y = f (x) 在点 x 的某邻域内单调连续且在 x 处可导， f (x)  0,则y = f (x) 的反函数 x =( y) 在点 x 所对应的点 y 处可导，且 1 . dx dy dy dx = 在计算反函数的二阶导数时要注意：一般， 1 . 2 2 2 2 dx d y dy d x  7、参数式求导 设    = = , ( , ) ( ) ( ) 在区间   y y t x x t 上连续，可导且 x (t)  0, 则参数式确定的函数 y = y(x) 可 导，且 ( ) ( ) x t y t dx dy   = 记为 F(t) ,则 dt dx dt dF dx dt dt dF F t dx d dx d y / 1 [ ( )] 2 2 = =  =  8、高阶导数 如果 y  = f (x)作为x 的函数在点 x 处可导，则 y  的导数称为 y = f (x) 的二阶导数，且 记作 2 2 , ( ) dx d y y  f  x 或 ，由定义 x f x x f x f x x   +  −   =  → ( ) ( ) ( ) lim 0 。类似的，二阶导数的导数 称为三阶导数，一般地， y = f (x) 的 n −1 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 的阶导数，且记为

减票即m国-典任+-山，函数的阶号数行在电表明 函数n次可微。 9、高阶导数的运算法则设u=x,v=(x)在x处n阶可导，则 (1)(u士)=±m:2)(c)m=cm(c为常数 (3)(m)m=∑C-(uo=u,o=y以 10、几个基本初等函数的n阶求导公式 (6mx9=sg+n大am=rm-业，(es州=eo+n5 a1+m=r-'-l: 1 0+ =-I'na 《a+,a0(ey=e (x")(m)=a(a-1).(a-n+1)xa-":(a)(m)=a'(Ina)"(a>0.a+l): 11、导数的几何意义 若函数y=fx)在点x处的导数fx)存在，则f"(xo)的值等于曲线y=fx)在 (,fx》处的切线斜率，且在(o,fx》处的切线方程为y-f)=f3,x-。 法线方程为y-f(o)= /-X)0)或x-名=0f,)=0 1 12、常用基本求导公式 (cy'=0(c为常数)： 1 (x"Y=ax; (sin x)'=cosx, (arccotx)=+ (cosx)'=-sinx, (e'y=e"; (tanx)'=sec2x. (a'Y'=a"lna

14 ( ) , ( ) n n n dx d y f x 或 即 x f x x f x f x n n r n  +  − = − −  → ( ) ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 ( ) 。函数的 n 阶导数存在也表明 函数 n 次可微。 9、高阶导数的运算法则 设 u = u(x),v = v(x)在x处n 阶可导，则 （1） ( ) ; (n) (n) (n) u  v = u  v 2） ( ) ( ) cu (n) = cu (n) c为常数 （3） = − = = = n k k k n k n n u v C u v u u v v 0 ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( , ). 10、几个基本初等函数的 n 阶求导公式 ); 2 (sin ) sin( ( )  x = x + n  n ; ( 1) ( 1)! (ln ) 1 ( ) n n n x n x − − = − ); 2 (cos ) cos( ( )  x = x + n  n ; (1 ) ( 1) ( 1)! [ln(1 )] 1 ( ) n n n x n x + − − + = − , 0; ( ) ( 1) ! ) 1 ( 1 ( )  + − = + + a ax b n a ax b n n n n x n x e = e ( ) ( ) a n a n x a a a n x − ( ) = ( −1) ( − +1) ( )  ； ( ) (ln ) ( 0, 1); ( ) a = a a a  a  x n x n 11、导数的几何意义 若函数 0 y = f (x)在点x 处的导数 ( ) 0 f x 存在，则 ( ) 0 f  x 的值等于曲线 y = f (x)在 ( , ( )) 0 0 x f x 处的切线斜率，且在 ( , ( )) 0 0 x f x 处的切线方程为 ( ) ( )( ), 0 0 0 y − f x = f  x x − x 法线方程为 ( )( ( ) 0) ( ) 1 ( ) 0 0 0 0 −    − = − x x f x f x y f x 或 0( ( ) 0) x − x0 = f  x0 = 12、常用基本求导公式 ; 1 1 ( ) 0( ); (arccos ) 2 x c c x −  = 为常数  = − ; 1 1 ( ) ; (arctan ) 2 1 x x ax x a a +  =  = − ; 1 1 (sin ) cos ; ( cot ) 2 x x x arc x +  =  = − (cos ) sin ; ( ) ; x x x  = − x e  = e (tan ) sec ; ( ) ln ; 2 x x a a a x x  =  =

(cotx)'=-csc2x. 1x=安 (arcsin x)'= VI-x; 四、思考题 1、初等函数在其定义区间内是否一定可导？ 2、若函数在(~0，+0)内处处可导，则其导函数必处处连续，对吗？ 3、若f(x)为(-1，)内可导的偶函数，则f"(x)在(-1，)内是否必为奇函数？若 f"(x)）=5则f"(-x)=? 4、函数在一点可导的充要条件是什么？ 5、若曲线y=fx)处处有切线，则函数y=fx)必处处可导，对吗 6、可导的周期函数，其导函数是否必为周期函数？ 7、若y=fx)在(ab)内可导，其反函数在相应点是否必定可导？ 8、若f(x)与g(x)在(a,b)内可导，且f(x)≤g(x),则f"(x)sg'(x)对吗？ 9、设Φ(x)是单调连续函数f(x)的反函数，且fI0)=5,'10)=0.5,则中'（⑤）=？ 五、典型例题分析 x3,x≤0 例1研究函数f(x)= x'sin I ,x>0在点x=0处的连续性与可导性，并求f"(x)。问f(x) 在x=0处连续吗？ 分析f(x)为分段函数。而求分段函数的导数，通常如下进行 (1)判断在各段开区间内是否可导。如果可导，则在各段开区间内分别求导. (2)判断在各分段点处是否可导，此步是分段函数求导的关键。要判断分段函数在分断 点是否可导，首先要看它在该点是否连续，若不连续，叫在该点必不可导：其次，若在 分段点连续，满足了函数在一点可导的必要条件，再根据导数定义来判断函数在该点的 可导性，或用函数在一点可导的充要条件来判定在该点的可导性。 求解此问题应分成四个步骤。 解)因f0-0)=mf)=mr=0, f0+0)=m)=m产sm=0,(无穷小乘有界变量)

15 ; 1 (cot ) csc ; (ln | |) 2 x x  = − x x  = ( 0) ln 1 ; [log ] 1 1 (arcsin ) 2  =  −  = a x a x x x a 四、思考题 1、初等函数在其定义区间内是否一定可导？ 2、若函数在（-  ，+  ）内处处可导，则其导函数必处处连续，对吗？ 3、若 f (x) 为 (−l,l) 内可导的偶函数，则 f (x) 在 (−l,l) 内是否必为奇函数？若 f (x0 ) = 5 则 ( ) 0 f  −x =？ 4、函数在一点可导的充要条件是什么？ 5、若曲线 y = f (x) 处处有切线，则函数 y = f (x) 必处处可导，对吗？ 6、可导的周期函数，其导函数是否必为周期函数？ 7、若 y = f (x) 在(a,b)内可导，其反函数在相应点是否必定可导？ 8、若 f (x) 与 g(x) 在(a,b)内可导，且 f (x) ≤ g(x) ，则 f (x)  g (x) 对吗？ 9、设 (x) 是单调连续函数 f (x) 的反函数，且 f (10) =5， f (10) = 0.5 ，则 (5) = ? 五、典型例题分析 例 1 研究函数        = , 0 1 sin , 0 ( ) 2 3 x x x x x f x 在点 x =0 处的连续性与可导性，并求 f (x) 。问 f (x) 在 x =0 处连续吗？ 分析 f (x) 为分段函数。而求分段函数的导数，通常如下进行： （1）判断在各段开区间内是否可导。如果可导，则在各段开区间内分别求导. （2）判断在各分段点处是否可导，此步是分段函数求导的关键。要判断分段函数在分断 点是否可导，首先要看它在该点是否连续，若不连续，则在该点必不可导；其次，若在 分段点连续，满足了函数在一点可导的必要条件，再根据导数定义来判断函数在该点的 可导性，或用函数在一点可导的充要条件来判定在该点的可导性。 求解此问题应分成四个步骤。 解（1） 因 (0 0) lim ( ) lim 0, 3 0 0 − = = = → − → − f f x x x x 0, 1 (0 0) lim ( ) lim sin 2 0 0 + = = = → + → + x f f x x x x （无穷小乘有界变量）

所以f0-0)=f0+0)=f(0)=0 故f(x)在x=0处连续。 x-0 f0=0g x-0 in sin0. (无穷小乘有界变量》 f2(0)=f(0)=0。 所以f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。 3x2 x<0 (3)f'(x)=0, x=0 1 ④因mfx)=m3x2=0m了)=m2xsn上-c0s,不存在 所以f'(x)在x=0处不连续。 例2若了)存在，求口+a△-B-A,其中以，B为不等于0的常数。 Ar 分析(1)已知条件是∫"(x)存在，所求是一个比值的极限，而函数在一点的导数定义为医 数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于0时的极限，因此，要求此极限必须紧扣条 件，利用导数定义。(2)自变量x的增量可以用△x表示，也可用一个常数乘△x来表示， 亦可用别的字母表示。从f(x+a·△x)观察知，自变量x在点x取得的增量应为a△x 从f(x-Bx)观察，自变量x在点x取得的增量应为(-B,△x)。要利用导数定义，还需 作适当的恒等变形 解将分式适当变形 原式=+a:A)-f-BA-f 16

16 所以 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0) = 0 故 f (x) 在 x =0 处连续。 （2） lim 0, 0 ( ) (0) (0) lim 3 0 0 = = − −  = − → − → − x x x f x f f x x x x x x f x f f x x 1 sin lim 0 ( ) (0) (0) lim 2 0 0 + → + → + = − −  = = 0, 1 lim sin 0 = → + x x x （无穷小乘有界变量） f − (0) = f + (0) = 0。 所以 f (x) 在 x =0 处可导，且 f (0) = 0 。 （3）        −  =   = , 0 1 cos 1 2 sin 0, 0 3 , 0 ( ) 2 x x x x x x x f x （4）因 lim ( ) lim 3 0, 2 0 0  = = → − → − f x x x x ) 1 cos 1 lim ( ) lim (2 sin 0 0 x x f x x x x  = − → + → + ，不存在。 所以 f (x) 在 x =0 处不连续。 例 2 若 f (x) 存在，求 x f x x f x x x  +   − −    → ( ) ( ) lim 0   ，其中 ,  为不等于 0 的常数。 分析 （1）已知条件是 f (x) 存在，所求是一个比值的极限，而函数在一点的导数定义为函 数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于 0 时的极限，因此，要求此极限必须紧扣条 件，利用导数定义。（2）自变量 x 的增量可以用△ x 表示，也可用一个常数乘△ x 来表示， 亦可用别的字母表示。从 f (x +  x) 观察知，自变量 x 在点 x 取得的增量应为  x ， 从 f (x − x) 观察，自变量 x 在点 x 取得的增量应为 (−  x) 。要利用导数定义，还需 作适当的恒等变形。 解 将分式适当变形 原式= x f x x f x f x x f x x  +   − − −   −  → [ ( ) ( )] ( ) ( )] lim 0  

a▣+a-f国+B色-BAn ·Ar -B.Ax =g'(x)+f'(x)=(a+)f"(x) aer+bsinx+x,x≤0 例3/国=h2>0,试确定系藏a和6.使得国处地连续可， 解显然，当x0时，f()连续。当x=0时，有 f(0-0)=lim(ae +bsin x+x)=a=f(0), /0+0)=m(ahx+barctan2),第一项极限不存在，第二项极限为零，要使fd 在x=0处连续，必需a=0。当a=0时，有∫(0-0f(0+0)f(0)0,函数在x=0处 连续，从而处处连续。此时 [bsin x+x,x≤0 (x)=barctan2x. 又当x≠0时，f(x)显然可导，当x=0时，有 0=0-=-b+1 x-0 )barctan2sarctan23 x-0 bt=2b 故当b=l,fx)在x=0处可导，从而处处可导 综上讨论，当a=0,b=1时，f(x)处处连续可导。 例4指出下列各题作法中的错误，并正确求解各题 (1)已知fx)=xe,求f': 解f)=e,f')=[f=[e'=0 a)已y=hsn6x+,来

17 = x f x x f x x f x x f x x x −  −  − +   +  −   →  →       ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 = af (x) + f (x) = ( + ) f (x) 例 3 设    +  + +  = − ln arctan 2 , 0 sin , 0 ( ) a x b x x ae b x x x f x x ，试确定系数 a 和 b ，使得 f (x) 处处连续可导。 解 显然，当 x ≠0 时， f (x) 连续。当 x =0 时，有 (0 0) lim ( sin ) (0), 0 f ae b x x a f x x − = + + = = − → − (0 0) lim ( ln arctan 2 ) 0 f a x b x x + = + → + ，第一项极限不存在，第二项极限为零，要使 f (x) 在 x =0 处连续，必需 a = 0 。当 a = 0 时，有 f (0-0)= f (0+0)= f (0)=0，函数在 x =0 处 连 续，从而处处连续。此时     +  = arctan 2 , 0 sin , 0 ( ) b x x b x x x f x 又当 x ≠0 时， f (x) 显然可导，当 x =0 时，有 1 sin lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 = + + = − −  = − → − → − b x b x x x f x f f x x x b x x f x f f x x arctan 2 lim 0 ( ) (0) (0) lim 0 0 + → + → + = − −  = 令t = arctan 2x b t bt i 2 tan 2 1 lim 0 = → + 故当 b =1， f (x) 在 x =0 处可导，从而处处可导。 综上讨论，当 a =0，b =1 时， f (x) 处处连续可导。 例 4 指出下列各题作法中的错误，并正确求解各题 （1）已知 x f (x) = xe ，求 f (1)。 解 f (1) = e， f (1) = [ f (1)] = [e] = 0 （2）已知 ln sin (3 ) 2 y = x + a ，求 dx dy

1 6)已知y=++匠，安、 解 1 2x+x+ (x+x+) 1 ++ 1 三1+ 2x+x+ 1 三[1+ 2x+x+2vx+x x+22 4)已知y=山x,求少（其中x>0. 解y=山x=xhx,央=hx+xhx+ 以下逐题分析错误所在，并给予正确解答。 (1)错误在于∫"（①）≠[f,正确作法为： f0=(以）n=e+xe)m=2e (2)错误是复合函数求导未进行到底。正确作法为： sm*(6x+网2sn3x+a)cos3x+a)-(3xy=6cot3x+a dy 1 (3)错误在于第二个等号不成立，最后一个因子(x+√)/不应乘以(1+ 2*. 正确作法为： 1 1 dx [1+ 2vx+x+x 2+*匠02+左0+2左 1 1 1 + =1+2W+42+xWG 8x+x+xx+xx

18 解 2sin( 3 ) cos(3 ) sin (3 ) 1 2 x a x a dx x a dy  +  + + = 。 （3）已知 y = x + x + x ，求 dx dy 。 解 ( ) 2 1 + +  + + = x x x x x x dx dy = ]( ) 2 1 [1 2 1 +  + + + + x x x x x x x = ) 2 1 ]( 2 1 [1 2 1 x x x x x x x + + + + + （4）已知 x y = (ln x) ，求 dx dy （其中 x >0）。 解 y x x x x = (ln ) = ln ， ln 1 1 = ln +  = x + x x x dx dy 以下逐题分析错误所在，并给予正确解答。 （1）错误在于 f (1)  [ f (1)] ，正确作法为： e x e e dx df f x x x (1) = ( ) x=1 = ( + ) =1 = 2 （2）错误是复合函数求导未进行到底。正确作法为： 2sin( 3 ) cos(3 ) (3 ) 6cot(3 ) sin (3 ) 1 2 x a x a x x a dx x a dy  +  +   = + + = （3）错误在于第二个等号不成立，最后一个因子 (x + x) 不应乘以 ) 2 1 (1 x + x + ， 正确作法为： ( ) ] 2 1 [1 2 1  +  + + + + = x x x x x x x dx dy = )] 2 1 (1 2 1 [1 2 1 x x x x x x + + + + + = x x x x x x x x x x + +  + + + + 2 2 8 1 2 4

(4)解中(hx=xhx不成立，正确作法为： Iny=In[(In x)*]=xIn(In x) 两边对x球导：护=+三到=利+五 1 y=对+h+ 小结(1)在进行复合函数求导时，若有可能，应首先利用代数恒等变形或三角恒等变形， 将函数化简，然后求导，这样可简化计算，少出差错。如 y=nVx-1x-3),(x>3) 可先变形为y=叫x-)+Mx-3训，然后再求导。 (2)求复合函数的导数是导数内容的重点，在求导过程中，必须先搞清函数是怎样复 合而成的，函数由里到外逐步复合，求导时，从外到里逐次求导，注意一定要求到 底，不要有遗漏 (3)对于幂指函数，如x(x>0),和多因子连乘、除、乘方、开方的函数，如 y=+23-)等，注意正确运用对数求导法. (x+) 例5设y=(arcsinx)2，试证明关系式(-x2)y-(2n-g-(n-yr-0,(n≥2)。 分析这是涉及到高阶导数的问题，若设想按照高阶导数求法，依次求出函数y的(-1)阶，n 阶，(+1)阶导数，然后代入关系式的左端加以整理，看其是否为0，显然是很困难的。 因此，要证明此题，需采用适当的技巧。一般在求高阶导数时，应对函数进行：1初等 变形：2利用基本初等函数的高阶导数公式：3.利用莱布尼兹公式或数学归钠法。 -京y+y. -x 2 -x2 整理得 (1-x2)y”-y'=2 (华) (*)式左端正好是要求论证结果左端=1的情形，但右端尚不是0，不过，关系式是对 >1成立。所以，利用莱布尼兹公式，(*)式两端再对x求(-1)阶导数 19

19 （4）解中 x x x x (ln ) = ln 不成立，正确作法为： ln y ln[(ln x) ] x ln(ln x) x = = 两边对 x 求导： (ln ) ln 1 ln(ln ) 1  = +   x  x y x x y = x x ln 1 ln(ln ) + ， ] ln 1 [ln(ln ) x y  = y x + = ] ln 1 (ln ) [ln(ln ) x x x x + 小结 （1）在进行复合函数求导时，若有可能，应首先利用代数恒等变形或三角恒等变形， 将函数化简，然后求导，这样可简化计算，少出差错。如 y = ln (x −1)(x −3),(x  3) 可先变形为 [ln( 1) ln( 3)] 2 1 y = x − + x − ，然后再求导。 （2）求复合函数的导数是导数内容的重点，在求导过程中，必须先搞清函数是怎样复 合而成的，函数由里到外逐步复合，求导时，从外到里逐次求导，注意一定要求到 底，不要有遗漏。 （3）对于幂指函数，如 ( 0) sin x x  x ，和多因子连乘、除、乘方、开方的函数，如 6 4 ( 1) 2(3 ) + + − = x x x y 等，注意正确运用对数求导法。 例 5 设 2 y = (arcsin x) ，试证明关系式 (1 ) (2 1) ( 1) 0,( 2) 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) − − − − − =  + − x y n x y n y n n n n 。 分析 这是涉及到高阶导数的问题，若设想按照高阶导数求法，依次求出函数 y 的(n-1)阶，n 阶，(n+1)阶导数，然后代入关系式的左端加以整理，看其是否为 0，显然是很困难的。 因此，要证明此题，需采用适当的技巧。一般在求高阶导数时，应对函数进行：1.初等 变形；2.利用基本初等函数的高阶导数公式；3.利用莱布尼兹公式或数学归纳法。 证法 1 2 1 1 2arcsin x y x −  =  ，即 1 x y 2arcsin x 2 −  = ,两端对 x 求导 2 2 2 1 2 1 1 x y x y x x −  + −  = − − ， 整理得 (1 ) 2 2 − x y  − xy  = （*） （*）式左端正好是要求论证结果左端 n=1 的情形，但右端尚不是 0，不过，关系式是对 n>1 成立。所以，利用莱布尼兹公式，（*）式两端再对 x 求（n-1）阶导数

C0(0y"-"0-x2)0+Ca0)m20-x2)y0+C2(y)a-0-x2) -Cg,y)-(x)0-Cy'm-2(x)0=0 (1-x2)y+-2n-1)xym-(n-1n-2)ym-xym+(n-1)y-=0 即 1-x2)ya-(2n-10xym-n-l1）2ya-=0 证法2要论证有关阶导数所满足的恒等关系式，也常采用数学归纳法。 (1)将*)式两端对x求导 -2y+1-x2)y"-y-y=0, 整理得(1-x2)y"-3y”-y'=0这说明关系式对n=2时成立。 (2)设当=k时，关系式成立，即 0-x2yw-(2k-1)xy-(k-12y-=0(*) 求证当=k+1时关系成立。(*+)式两端对x求导 -2xyk++1-x2)yk+2-(2k-1[y+xy+]-(k-)2y=0 整理得(1-x2)y+2-(2k+1).x+-k2y=0 故关系式对任意的n≥2均成立。 例6求面方程、F+了-e所确定的隐活数y的导数空及二阶号数碧 (a>0) 解根据此方程的特点，方程两端先取对数，再求导更为方便。 方程两瑞取对数：(+yP)=ha+acan 再两端对x求导： 12x+2y=1_.yx-y 2+1+白 整理得 号号即w 所以 盘

20 2 ( 3) 2 (2) 1 1 ( 2) 2 (1) 1 0 ( 1) 2 (0) 1 C ( y ) (1 x ) C ( y ) (1 x ) C ( y ) (1 x ) n n n n n n  − +  − +  − − − − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ( 2) (1) 1 0 ( 1) (0) − 1  −  = − − − − C y x C y x n n n n (1 ) 2( 1) ( 1)( 2) ( 1) 0 2 ( 1) ( ) ( 1) ( ) ( 1) − − − − − − − + − = n+ n n− n n− x y n x y n n y x y n y 即 (1 ) 2 1) ( 1) 0 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) − − − − − = n+ n n− x y （ n x y n y 证法 2 要论证有关 n 阶导数所满足的恒等关系式，也常采用数学归纳法。 （1）将(*)式两端对 x 求导 2 (1 ) 0 2 − xy  + − x y  − y  − xy  = ， 整理得 (1 ) 3 0 2 − x y  − xy  − y  = 这说明关系式对 n=2 时成立。 （2）设当 n=k 时，关系式成立，即 (1 ) (2 1) ( 1) 0 2 ( 1) ( ) 2 ( 1) − − − − − = k+ k k− x y k x y k y （* *） 求证当 n=k+1 时关系成立。（* *）式两端对 x 求导 2 (1 ) (2 1)[ ] ( 1) 0 ( 1) 2 ( 2) ( ) ( 1) 2 ( ) − + − − − + − − = k+ k+ k k+ k x y x y k y x y k y 整理得 (1 ) (2 1) 0 2 ( 2) ( 1) 2 ( ) − − + − = k+ k+ k x y k xy k y 故关系式对任意的 n≥2 均成立。 例 6 求由方程 x y x y ae arctan 2 2 + = 所确定的隐函数 y 的导数 dx dy 及二阶导数 2 2 dx d y （ a  0 ）。 解 根据此方程的特点，方程两端先取对数，再求导更为方便。 方程两端取对数： x y ln( x y ) ln a arctan 2 1 2 2 + = + ， 再两端对 x 求导： 2 2 2 2 1 ( ) 2 2 1 2 1 x y x y x x y y x yy  −  + = + +  整理得 2 2 2 2 x y y x y x y x yy +  − = + +  ，即 x + yy  = y  x − y ， 所以 x y x y dx dy − + =

2.+-2+0-2. (-) (x-y) 小结(1)隐函数求导法很重要，当x、y之间关系由方程F(x,y)=0给出时，或y=f(x) 对x的导数比较难求时，可用此法。 》隐肠数案阶号质时。可先求会、再路会对发，注意x是自变量。) 是x的函数，然后把y'代入整理即可。亦可由方程x+y'=yx一y两端继续 对x求导，有1+y2+y”=y+y'-y, 解出 少=+ x-V 再将y=+2代入，得y.2+户) x-y (x-2 =-tant。 装-尝-立-m1-3 oe d 说明在求由参数方程所确定函数的高阶导数时，仅需弄清式子 21安/会 即可。同学们在求号中常宿丢棉去。应注意此点。 例8试确定a的值，使两曲线y=2与y=hx相切. 分析两曲线相切，包含两层意思：一是在切点处，两曲线的纵横坐标相等：二是在切点处， 两曲线的切线斜率相同。 (1) 解 ax2=Inx (2) 21

21 2 2 2 2 2 2 ( ) 2( ) ( ) (1 )( ) ( )(1 ) x y x y x y y x y x y y dx d y − + = − +  − − + −  = 小结 （1）隐函数求导法很重要，当 x 、y 之间关系由方程 F(x, y) = 0 给出时，或 y = f (x) 对 x 的导数比较难求时，可用此法。 （2）隐函数求二阶导数时，可先求出 dx dy ，再将 dx dy 对 x 求导，注意 x 是自变量， y 是 x 的函数，然后把 y  代入整理即可。亦可由方程 x + yy  = y  x − y 两端继续 对 x 求导，有 + y  + yy  = y  x + y  − y  2 1 ， 解出 x y y y − +   = 2 1 ， 再将 x y x y y − +  = 代入，得 2 2 2 ( ) 2( ) x y x y y − +  = 例 7 求由参数方程    = = y a t x a t 3 3 sin cos 所确定函数的一阶、二阶导数。 解 t a t t a t t x y dx dy t t tan 3 cos sin 3 sin cos 2 2 = − − =   = 。 dt dt dx d tgt dx dy dx d dx d y ( ) 1 ( ) 2 2  − = = = a t t a t t t 3 cos sin 1 3 cos sin 1 sec 2 4 2 = − −  说明 在求由参数方程所确定函数的高阶导数时，仅需弄清式子 dt dx y dt d dx dt y dt d y dx d dx d y n n n n n [ ] [ ] [ ] ( −1) ( −1) ( −1) = =  = 即可。同学们在求导中常常丢掉 dx dt ，应注意此点。 例 8 试确定 a 的值，使两曲线 2 y = ax 与 y = ln x 相切。 分析 两曲线相切，包含两层意思：一是在切点处，两曲线的纵横坐标相等；二是在切点处， 两曲线的切线斜率相同。 （1） 解      = = ax x x ax ln 1 2 2 （2）