《高等数学》课程教学资源（补充提高）第四章 不定积分

第四章不定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。 2、熟记不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。 4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。 5、会求简单无理函数的不定积分。 二、学习重点 不定积分的换元法与分部积分法 三、内容提要 1、原函数与不定积分的概念若F(x)=fx),则称F(x)是fx)的一个原函数，若 F(x)是fx)的一个原函数，则fx)的原函数的一般表达式为F)+C(C为任意常数)， fx)的原函数的一般表达式称为fx)的不定积分，记作∫f(x),即 f(x)dx=F(x)+C 2、基本性质（下设a,B为常数） (1)[(af(x)+Bg(x)dx=a[f(x)dx+B[g(x)dx (2)fx'=fx)减dfx)d)=fxk∫fx)d=f)+C或d)=f)+C 3、基本积分公式（下设a>0) (1)fr'ds= 。++Ca*-》. (2)J片k=nlx+c, (3)∫e'd=e'+C (4)「a'dk=a/ha+C (5)∫sin xdx=-cosx+C (6)[cosxdx=sinx+C. jch=m4C⑧j-小x=om4C (9)∫an.xdx=-In Icosxl+C (10)[cotxdx=In lsinx|+C (11)secxdx=In lsecx+tanx|+C,(12)cscxdx=In cscx-cotxl+C. (13)[secxtanxdx=secx+C, (14)[cscxcotxdx=-cscx+C

46 第四章 不定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。 2、熟记不定积分的基本公式。 3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。 4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。 5、会求简单无理函数的不定积分。 二、学习重点 不定积分的换元法与分部积分法 三、内容提要 1、原函数与不定积分的概念 若 F(x) = f (x), 则称 F(x)是f (x) 的一个原函数，若 F(x)是f (x) 的一个原函数，则 f (x) 的原函数的一般表达式为 F(x) +C （C 为任意常数）。 f (x) 的原函数的一般表达式称为 f (x) 的不定积分，记作  f (x)dx ，即  f (x)dx = F(x) +C 2、基本性质（下设 a, 为常数） （1）    (af (x) + g(x)dx = a f (x)dx +  g(x)dx （2） ( f (x)dx) = f (x) d( f (x)dx) = f (x)dx;  或    f (x)dx = f (x) +C或 df (x) = f (x) +C. 3、基本积分公式（下设 a  0 ） （1） ( 1), 1 1 +  − + = +  C a a x x dx a a （2）  = ln | | + , 1 dx x C x （3） e dx e C, x x = +  （4） a dx a /ln a C, x x = +  （5）  sin xdx = −cos x +C, （6）  cos xdx = sin x +C, （7） sec tan , cos 1 2 2 dx xdx x C x = = +   （8）   dx = xdx = − x +C x csc cot sin 1 2 2 （9）  tan xdx = −ln | cos x | +C, （10）  cot xdx = ln |sin x | +C, （11）  secxdx = ln |secx + tan x | +C, （12）  cscxdx = ln | cscx − cot x | +C, （13）  secx tan xdx = secx +C, （14）  cscxcot xdx = −cscx +C

5)jne-nrg46oj后-rm后+c )jn六cawj血=+1c (I9)∫shxdx=chr+C (20)[chxdx=shx+c 4、基本积分法 (I)分项积分法∫[a(x)+g(x)=af(x)dk+gx)d(a,B为常数) ()凑微分法（第一换元法）若「f(x)=F(x)+C,且p(x)连续，则 「f(o(x》o'(x)t=∫f(o(x)dp(x)=F(o(x)+C. (Ⅲ)换元法（第二换元法）若fx)连续，x=)有连续导数， p'(x)≠0，且∫fx)d=∫f(0)p'u)d=G0+C,则 「fxdk=G(o-'(x)+C (V)分部积分法若x,(x)可导「(x)d(x)存在，则 「u(x)dh(x)=xrx)-∫(x)du(x 5、几类初等函数的积分 (I)有理函数Rx)的积分[Rx)d 一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式： -a'r2+m+rp<4g,neN之和 A A+B (I)三角函数R(sinx,cosx)的积分[R(sinx,cosx)d 通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令1=a。(万能代换) t=cosx,t=sinx,t=tanx等。 (Ⅲ)简单的无理函数的积分 通常是先作代换，使被积函数有理化后再积分，常用的代换有： 47

47 （15）  = + + arctan , 1 1 2 2 C a x a dx a x （16）  = + − arcsin , 1 2 2 C a x dx a x （17）  + − + = − ln , 2 1 1 2 2 C a x a x a dx a x （18）  = +  +  ln | | , 1 2 2 2 2 dx x x a C x a （19）  shxdx= chx+C, （20）  chxdx= shx+C. 4、基本积分法 （I）分项积分法    [af (x) + g(x)]dx = a f (x)dx +  g(x)dx(a, 为常数) （II）凑微分法（第一换元法） 若  f (x)dx = F(x) + C,且(x) 连续，则   f ((x))(x)dx = f ((x))d(x) = F((x)) + C. （ III ） 换 元 法 （ 第 二 换 元 法 ） 若 f (x) 连续， x =(t) 有 连 续 导 数 ，   (x)  0,且 f (x)dx = f ((t))(t)dt = G(t) + C, 则 f x dx = G x +C  − ( ) ( ( )) 1  （IV）分部积分法 若  u(x),v(x)可导, v(x)du(x) 存在，则   u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x). 5、几类初等函数的积分 （I）有理函数  R(x)的积分 R(x)dx 一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式： ,( 4 , ) ( ) , ( ) 2 2 p q n N x px q Ax B x a A n n   + + + − 之和. （II）三角函数  R(sin x,cos x)的积分 R(sin x,cos x)dx 通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令 2 tan x t = （万能代换）， t = cos x,t = sin x,t = tan x 等。 （III）简单的无理函数的积分 通常是先作代换，使被积函数有理化后再积分，常用的代换有： , , t; cx d ax b dx cx d ax b R x n n = + +       + +  令

[R(x,Va-x)dx, x=asm-7s1≤ 「Rx,Na2+x2), =am受1e引 ∫Rx,x2-a), r=ao0<1<+引 四、思考题 1、原函数与不定积分的概念有何联系与区别？ 2、有理函数的原函数是否为有理函数？初等函数的原函数是否一定为初等函数？ 3、f(x)d'=∫∫"(x)d对吗？并由此正确理解微分与积分之间的互逆关系。 4、同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达形式吗？举例说明。 5、若∫fx)=Fx)+C,是香有f几g(x体=凡g(x】+C? 1计草下列分0a在R公h应同 0+e an=sin xcos所以可利用渍微分sin xcostan小 (2xnx)'=1+nx,所以，0+nx)d=d(xhx 31+xey'=e'1+x,所以e'(1+x)d=d1+xe) 条a点=mwe-arC () (2)11+Ix 1 -xhx+C 3x+1 -地 se'du

48 ; 2 2 ( , ) , sin 2 2        − = −     R x a x dx 令x a t t ; 2 2 ( , ) , tan 2 2        + = −     R x a x dx 令x a t t . 2 ( , ) , sec 0 2 2        − =     R x x a dx 令x a t t 且t 四、思考题 1、原函数与不定积分的概念有何联系与区别？ 2、有理函数的原函数是否为有理函数？初等函数的原函数是否一定为初等函数？ 3、 ( f (x)dx) =  f (x)dx 对吗？并由此正确理解微分与积分之间的互逆关系。 4、同一个被积函数的不定积分可以有不同的表达形式吗？举例说明。 5、若  f (x)dx = F(x) +C ，是否有  f[g(x)]dx = F[g(x)] +C? 6、初等函数的不定积分都可以表示成有限形式吗？ 五、典型例题分析 例 1 计算下列积分 dx x x e x dx x x x dx x x x x (1 ) 1 ; (3) ( ln ) 1 ln ; (2) sin cos ln(tan ) (1) 2 + +  +   分析 本题均可用凑微分法。一般采用此法，要求熟悉一些常见函数的微分形式，对不易观 察到的，不妨拿出某一部分求其导数，从而决定如何凑微分。如 [ln(tan )]; sin cos , sin cos 1 1 [ln(tan )] d x x x dx x x （） x  = 所以可利用凑微分 = （2）(x ln x) = 1+ ln x,所以,(1+ ln x)dx = d(x ln x); （3）(1+ x e x ) = e x (1+ x),所以,e x (1+ x)dx = d(1+ x e x )。 解 dx x d tgx x C x x x  =  = + 2 [ln(tan )] 2 1 ln(tan ) ln( ) sin cos ln(tan ) （1） C x x x x d x x dx x x x =  = − + +  ln 1 ( ln ) ( ln ) ( ln ) 1 ln 2 （ ） 2 2 dx xe xe e x dx x xe x x x x x (1 ) ( 1) (1 ) 1 3 + + =  + + （ ） C xe xe C u u u u du x x xe u x + + + = − = −  + = 1 ln 1 ln ( 1) 令1

2计算在 +e' 分析本题的困难之处在于分母出现(1+)2。我们可从两个简单积分中得到启发，由积分 lte" 此联想到本题可通过分解的方法化为简单积分。 n-e0-eC dx e 1 例3计产 分析对于积分∫+1。 一十在我们可变形后用凑微分法求解，如设x0, ，dx-31 x2+122√2②0 √2x 同理2、1 12-2x++c -2 若对前面两个积分比较熟悉，就会联想到本题采用如下巧妙的分解，便可以得到结果。 x+1 1 例4计算∫aresin d。 - 分折发积函数中出现会，在分千出现，可考虑利用族微分空-2反，又得次可谈 微分 d =d(aresin),从而使积分化简。也可考虑直接令aresin=1使积分化

49 例 2 计算 2 (1 ) x e dx +  。 分析 本题的困难之处在于分母出现 2 (1 ) x + e 。我们可从两个简单积分中得到启发，由积分 dx e C e e x x x = + + +  ln(1 ) 1 ，进一步考虑积分 dx e C e e e dx x x x x = − + + + =  +  − − − ln(1 ) 1 1 。从 此联想到本题可通过分解的方法化为简单积分。 解 C e dx e e e e dx e e e e dx x x x x x x x x x + + = − + + + − + =  + + − =  +  − 1 1 ) ln(1 ) 1 (1 ) 1 ( (1 ) 1 (1 ) 2 2 2 例 3 计算 1 4 +  x dx 。 分析 对于积分 dx x x dx x x 1 1 1 1 4 2 4 2 + −  + +  和 我们可变形后用凑微分法求解，如设 x  0 ， C x x x x x d x x x x dx x x + − = − + − =  + + =  + +  2 1 arctan 2 1 ) 2 1 ( ) 1 ( 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 2 同理 C x x x x dx x x + + + − + = + −  2 1 2 2 1 2 ln 2 2 1 1 4 1 2 若对前面两个积分比较熟悉，就会联想到本题采用如下巧妙的分解，便可以得到结果。 ) 1 1 1 1 ( 2 1 1 ( 1) ( 1) 2 1 1 1 4 2 4 2 4 2 2 4 + − − + + = + + − − = + x x x x x x x x 解 设 x  0， C x x x x x x dx x x dx x x x dx + + + − + − − = + − −  + + = +   2 1 2 1 ln 4 2 1 2 1 arctan 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 2 2 4 2 4 2 4 。 例 4 计算 dx x x x (1 ) arcsin −  。 分析 被积函数中出现 x dx ，在分子出现 x ，可考虑利用凑微分 d x x dx = 2 ，又再次可凑 微分 (arcsin ) 1 d x x d x = − ，从而使积分化简。也可考虑直接令 arcsin x = t 使积分化

简。 解法1 rsd在=2 aesnd=2acsn5 (aresin=(arcin2+C √1-x) 1-x 解法2令arcsinx=t,x=sin2t,k=sin2d, x(1-x) 7,-2h-产+C=+c 例s侣女o>0 分析对于简单无理函数的积分，基本思想是设法使其有理化。 8女-停g+a -at-acosi+C=aarcsin-+C 例6计算」， x2+1 分析本题除可采用三角换元法之外，常常可按形如∫ 的积分，利用倒代换 xvax2+bx+c x=使积分化简。 解法1令x=ant dx=sec2tdt, 解法2令x片血=血 irc区c 例7计算jx3 arctan-dk。 分析本题是典型的用分部积分法求解的题目，只要熟悉山、小选择的规律，是很容易求解 的。其山、h选择的原则：①v易求得：②h易积出，其一般规律符合TE选择 0

50 简。 解法 1 d x xd x x C x x d x x x x =  = + − =  −  2 2 arcsin (arcsin ) (arcsin ) 1 arcsin 2 (1 ) arcsin 解法 2 令 arcsin , sin , sin 2 , 2 x = t x = t dx = tdt dt tdt t C x C t t t t dx x x x =  =  = + = + −  2 2 2 2 2 (arcsin ) sin cos sin 2 (1 ) arcsin 例 5 计算 ,(  0) − +  dx a a x a x 。 分析 对于简单无理函数的积分，基本思想是设法使其有理化。 解 dx a t dt a x a x dx a x a x x a t (1 sin ) ( ) sin 2 2 2  + − + =  − +  令 = = a x C a x at − a t + C = a − − + 2 2 cos arcsin 例 6 计算 1 2 2 +  x x dx 。 分析 本题除可采用三角换元法之外，常常可按形如 x ax bx c dx + +  2 的积分，利用倒代换 t x 1 = ，使积分化简。 解法 1 令 tan , sec , 2 x = t dx = tdt C x x C t t d t dt t t dt t t t x x dx + + =  =  =  = − + = − +  2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin sin sin cos tan sec sec 1 解法 2 令 , 1 , 1 2 dt t dx t x = = − C x x dt t C t t x x dx + + = − + + = − + − =  +  2 2 2 2 2 1 1 1 1 例 7 计算 dx x x 1 arctan 3  。 分析 本题是典型的用分部积分法求解的题目，只要熟悉 u、dv 选择的规律，是很容易求解 的。其 u、dv 选择的原则：① v 易求得；②  udv 易积出，其一般规律符合 LIATE 选择

克中装 显然本题中选arctan=4,r本=办 r4+74 -an+好c-i+w-can+annr+号-+c 例8计算∫e 分析当你对常见函数的微分形式熟悉时，会很快考虑到两次利用凑微分法，得到 0+r)o4=e darctgx= 然后采用分部积分法就很清楚了。 解 m产子-e.a+ 中？心（再次分年积分) 1 1+x2 故此题属方程型，解一简单代数方程得： 1-品c 9计到二血0 分析本题如上题的考虑方法，可综合运用换元、分部及无理函数积分法。 解二-产c-2》续横》-2（国孩数》 =2xWe-2-∫2We-2d(分部积分，v=Ve-2

51 法： L：对数函数，I：反三角函数，A：幂函数，T：三角函数，E：指数函数.被积函 数如遇其中任何两种函数的乘积，先选出现在 LIATE 中的函数为 u ，剩下的函数为 v  。 显然本题中选 u x dx dv x = = 3 , 1 arctan 解 dx x x x dx x x x 4 1 1 1 arctan 4 1 1 arctan 2 4 3 4 +  = +  = x C x x x dx x x x x x = + + − + + +  − + ) 3 arctan 1 ( arctan 4 1 ) 1 1 ( 1 4 1 1 arctan 4 1 3 4 2 4 2 例 8 计算 dx x xe x 2 3 2 arctan (1+ )  。 分析 当你对常见函数的微分形式熟悉时，会很快考虑到两次利用凑微分法，得到 x x x de x x darctgx x x e dx x x e arctan 2 2 arctan 2 3 2 arctan (1 ) 1 1+ =  + =  +  然后采用分部积分法就很清楚了。 解 2 3 2 arctan arctan 2 2 3 2 arctan (1 ) 1 (1 x ) dx e e x x dx x x e x x x + −  + = +  = x x de x e x x arctan 2 arctan 2 1 1 1 + −  + （再次分部积分） = dx x x e e x e x x x x x 2 3 2 arctan arctan 2 arctan 2 1 (1 ) 1 1 + −  + − + 故此题属方程型，解一简单代数方程得： e C x x dx x x e x x + + − = +  arctan 2 2 3 2 arctan 1 1 2 1 (1 ) 例 9 计算 ,( 1) 2  −  dx x e xe x x 。 分析 本题如上题的考虑方法，可综合运用换元、分部及无理函数积分法。 解 ( 2) 2 2 − − =  −  x x x x d e e x dx e xe （凑微分） =  2 − 2 x xd e （再凑微分） = x e e dx x x 2 − 2 −  2 − 2 （分部积分， = − 2 x v e ）

-2e2-如（出现无理版令-2） =2we-2-4u-ir方+c -24g-2F2+45mm号-1+c 例10设-，产m>正素勤.试号由港挂公流 分析建立积分递推公式，常利用分部积分法，关键是恰当选择私，且选法可以多样。 一般对于1。=∫ 厂型，可拉下式分解。 dx 1.=±ff@h=生d年1或人-rf@ak=年l for for )r or 式中生田血或生国血可通过直接积分或利用分都积分，并解一简单代数 f(x (x 方程得到。 类似地，对于Im=儿f(xd型，可按下式分解： Im=fx]m-[性l+f)年d=±Hm-+fx]-[fx)年d 或Im=fx)m-2±1+f(x)年k=±1m-2+fx)]-2f(x)Ik cosx 解法2从分母中拿出sin2x,让d血= dx

52 = du u u x e x 2 4 2 2 2 2 + − −  （出现无理函数，令 = − 2 x u e ） = C u x e u x − − − ) + 2 2 2 4( 2 arctan = C e x e x x − − + −1 + 2 2( 2) 2 4 2 arctan 。 例 10 设 ( 2 ) sin =  m  正整数 x dx I m m ，试导出递推公式： 2 1 1 2 ( 1)sin cos − − − − + − m = − m m I m m m x x I 。 分析 建立积分递推公式，常利用分部积分法，关键是恰当选择 u,dv ，且选法可以多样。 一般对于 m m f x dx I [ ( )] =  型，可按下式分解： 1 [ ( )] 1 ( ) [ ( )] 1 ( ) ( ) −  =   =  m m m m dx I f x f x dx f x f x f x I   或 2 2 2 2 [ ( )] 1 ( ) [ ( )] 1 ( ) ( ) −  =   =  m m m m dx I f x f x dx f x f x f x I   式中 dx f x f x m [ ( )] 1 ( )  或 dx f x f x m [ ( )] 1 ( ) 2   可通过直接积分或利用分部积分，并解一简单代数 方程得到。 类似地，对于 I f x dx m m = [ ( )] 型，可按下式分解： I f x f x dx I f x f x dx m m m m [ ( )] [ 1 ( ) 1] [ ( )] [ ( ) 1] 1 1 1   − − − =   + =  +  或 I f x f x dx I f x f x dx m m m m [ ( )] [ 1 ( ) 1] [ ( )] [ ( ) 1] 2 2 2 2 2   − − − =   + =  +  解法 1 (sin ) sin cos sin 1 sin sin 2 2 2 d x x x dx I x x I m m m m = +  − + =  − = 2 1 2 1 1 sin cos 1 1 − − − − − − m − m m I x m x m I = m x x I m m m 2 m 1 ( 1)sin cos 1 2 − − − − − − 解法 2 从分母中拿出 x 2 sin ，让 , cot , sin 2 v x x dx dv = = −

m-2小mh =-cosx cosx sin"x sn-m-2X0.-1 新以Im-)s动天m人 解法3分子分母同第乘sinx,让d=sin xdxv=-cosx s(mn cocos 1=-dcosx= COSx “sinm+2x snx+(m+1.-1） 所以1m2=- 人n COSX cOSx 例11计第0+ dx 分析此题为一比较简单的有理函数的积分，关键是将被积函数分解为部分分式之和，若采 用将定系法，世是”果桃定数九BGD一嫩议为麻 烦，对复杂一些的有理函数，其分解更为困难。我们有时可采用加减某些量的方法进 1 1+x2-x21 行分解：子行子宁中子应用这种方法，你会感到彩刻 dx dx s如”c0s的积分并不困雅 dx 创计到霜， 分析被积函数的分子、分母均具有asnx+bcosx的形式。利用此形式函数的导数具有同 一形式的特点，可考虑将分子分解为两部分：一部分与分母的导数成比例，另一部分 与分母本身成比例，从而使积分化简。 解 sin x+8cosx=A(2sin x+3cosx)+B(2sin x+3cosx)' =(2A-3B)sinx+(3A+2B)cosx求得A=2,B=1, 从而原-式2+2snx+3cosy体=2x+2sin+30os+C 2sin x+3cosx

53 dx x x m x x x x d x I m m 2 m 2 m 1 sin cos ( 2) cot sin cot sin cot − − − = −  = − − −  = ( 2)( ) sin cos sin 1 sin ( 2) sin cos 1 2 2 −1 = − − − − − − − − − −  m m m m m m I I x x dx x x m x x ， 所以 1 2 1 2 ( 1)sin cos − − − − + − m = − m m I m m m x x I 解法 3 分子分母同第乘 sin x ，让 dv =sin xdx,v = −cos x ( 1)( ) sin cos sin cos ( 1) sin cos sin cos 2 1 2 2 +1 +1 + = − + + + − + = −  = − − +  m m m m m m m m I I x x dx x x m x x x d x I 所以 m m m I m m m x x I ( 1)sin 1 cos 2 1 + + + = − + + , 即 1 2 1 2 ( 1)sin cos − − − − + − m = − m m I m m m x x I 例 11 计算 . (1 ) 2 2 x x dx +  分析 此题为一比较简单的有理函数的积分，关键是将被积函数分解为部分分式之和，若采 用待定系数法，让 2 2 2 2 (1 ) 1 1 x Cx D x B x A x x + + = + + + 求待定数 A，B，C，D，一般较为麻 烦，对复杂一些的有理函数，其分解更为困难。我们有时可采用加减某些量的方法进 行 分 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 (1 ) 1 (1 ) 1 x x x x x x x x + = − + + − = + 应 用这 种方 法， 你会 感到 形 如 x x dx dx x x x x dx x x dx m m sin cos , , sin 2 cos , sin cos , sin cos 2 3 5 2      的积分并不困难。 例 12 计算 dx x x x x 2sin 3cos sin 8cos + +  。 分析 被积函数的分子、分母均具有 a sin x + b cos x 的形式。利用此形式函数的导数具有同 一形式的特点，可考虑将分子分解为两部分：一部分与分母的导数成比例，另一部分 与分母本身成比例，从而使积分化简。 解 sin x + 8cos x = A(2sin x + 3cos x) + B(2sin x + 3cos x) = (2A − 3B)sin x + (3A + 2B) cos x 求得 A=2，B=1， 从而 原式= dx x x x C x x x x = + + + + +   + ] 2 ln 2sin 3cos 2sin 3cos (2sin 3cos ) [2

dx 例13计第snx+2cosx 分析对形如∫R(six,cOsx)k的积分，总可采用万能代换，但有时运算颇为烦琐，故一般 尽可能利用适当的三角恒等变形或以下换元方式，使积分化简。 (1)若Rsnx,-cosx)=-R(sin x.cos.x),则令smx=t (2)R(-sinx,cosx)=-R(snx,cosx),则令cosx=t (3)R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx),则令anx=t (4)R(snx,cosx)=sin mxcosn,则进行积化和差 本愿被积函数属(3)形式，可令tanx=1。 dx w您r+,2-9mm+c dx dt 解jgnx+2eosx 例14已知f"(sin2x)=cos2x+an2x,当0<x<1时，求f(x) 分析本题求解的关键是利用函数记号的含意写出∫()。 解f6m1-2m2-x11-x2m即/2x 所以=/eh=日2=-1-动-2+c0<x0 例15设fx)的原函数为0+simx)hx,求∫yf'(x)dk。 分析被积函数出现'(x),可采用分部积分法，且应取=∫"(x),同时在具体问题中， 要注意搞清楚原函数的概念。 f()=[d+sin x)in x-cosxhnx+sn fxf'(x)dx=xf(x)-Jf(x)dx=xf(x)-(1+sinx)Inx+C =xcosxIn x+(1+sin x)(1-In x)+C 例16设f(x)= 气6表因不 分析f(x)为在(-0，+∞)内连续的分段函数，它在（一0，+）内原函数存在。原函数亦为分段

54 例 13 计算 x x dx 2 2 sin + 2cos  。 分析 对形如  R(sin x,cos x)dx 的积分，总可采用万能代换，但有时运算颇为烦琐，故一般 尽可能利用适当的三角恒等变形或以下换元方式，使积分化简。 （1）若 R(sin x,−cos x) = −R(sin x,cos x),则令sin x = t; （2） R(−sin x,cos x) = −R(sin x,cos x),则令cos x = t; （3） R(−sin x,−cos x) = R(sin x,cos x),则令tan x = t; （4） R(sin x,cos x) = sin mxcosnx,则进行积化和差. 本题被积函数属（3）形式，可令 tan x = t 。 解 C x t dt x tgx dx x x dx = + + =  + =  +  2 tan arctan 2 2 sin 2cos cos ( 2) 2 2 2 2 2 2 。 例 14 已知 (sin ) cos2 tan , 0 1 , ( ) 2 2 f  x = x + x 当  x  时 求f x 分析 本题求解的关键是利用函数记号的含意写出 f (x) 。 解 2sin , 1 sin 1 1 1 sin 1 (sin ) 1 2sin 2 2 2 2 2 x x x f x x − − − = −  = − + 即 x x f x 2 1 1 ( ) − −  = 所以 2 ) ln(1 ) .(0 1) 1 1 ( ) ( ) ( 2 − = − − − +   − =   =  x dx x x C x x f x f x dx 例 15 设 f (x) 的原函数为 (1+ sin x)ln x,求 xf (x)dx。 分析 被积函数出现 xf (x) ，可采用分部积分法，且应取 dv = f (x)dx, 同时在具体问题中， 要注意搞清楚原函数的概念。 解 x x f x x x x x 1 sin ( ) [(1 sin )ln ] cos ln + = +  = +  xf (x)dx = xf(x) −  f (x)dx = xf (x) − (1+ sin x)ln x +C = x cos x ln x + (1+ sin x)(1− ln x) + C 例 16 设      = sin 0 0 ( ) 2 x x x x f x ， ， ，求 f (x) 的不定积分。 分析 f (x)为在(−,+) 内连续的分段函数，它在 (−,+) 内原函数存在。原函数亦为分段

函数，而且在分段点处连续、可导。为了保证这一点，可先分别求x)各分段在相应 区间（∞，00，+∞）内的原函数，然后由原函数在x=0处的连续性确定两个不是相互独 立的常数之间的关系（这同时必然保证原函数在x=0处可导，其原因从略），便可得到 f(x)在(-0，+0)内的不定积分。 解分别在(0,00，+o)内求原函数： F(x)= Ir=3+G,当r0. 由于f(x)在x=0处连续，因此原函数F(x)在该点连续。 令m写x+C)=m-osx+C,)从而得C=1+G=1+C, 1-cosx+C.x>0

55 函数，而且在分段点处连续、可导。为了保证这一点，可先分别求 f (x) 各分段在相应 区间 (−,0)(0,+) 内的原函数，然后由原函数在 x = 0 处的连续性确定两个不是相互独 立的常数之间的关系（这同时必然保证原函数在 x = 0 处可导，其原因从略），便可得到 f (x)在(−,+) 内的不定积分。 解 分别在 (−,0)(0,+) 内求原函数：       = − +   = +  = sin cos , 0. , 0, 3 1 ( ) 2 1 2 3 xdx x C x x dx x C x F x 当 当 由于 f (x) 在 x = 0 处连续，因此原函数 F(x) 在该点连续。 令 ) lim ( cos ) 3 1 lim ( 2 0 1 3 0 x C x C x x + = − + → − → + 从而得 1 1 , C2 = + C1 = + C 故      − +  +   = 1 cos , 0 , 0, 3 ( ) 3 x C x C x x f x dx