《高等数学》课程教学资源（书籍教材）高等数学疑难解析

前 言 高等数学是工科院校的一门重要基础理论课，其教学质量的高低将直接影 响人才培养的质量。努力提高高等数学的教学质量是必要的。高等数学逻辑性 强，既有抽象思维又有推理演绎，初学者感觉有难度。如何帮助学生学习和消 化高等数学的教学内容，更好地掌握高等数学的知识并利用数学方法分析和解 决问题是高等数学教学的重要任务。实践证明在教学过程中穿插一定量的习题 课是消化教学内容、提高教学效果的必要措施。 高等数学习题课一般是采取老师总结教学内容、讲解典型例题、学生模仿 演练习题的传统教学方式。采取更好的习题课教学模式值得探讨。教师主导， 教学互动，内容分级，适量加入多蝶体辅助教学手段将会提高习题课的救学效 果。 本着上述指导思想，作者吸纳了一些有经验教师的意见，参考多部类似讲 义的思路和模式，编写了这部《高等数学疑难解析》，供教师教学和学生学习 参考。本书的主要特点是与教材同步，内容分级，以满足不同层次和不同类型 读者的需要。力求做到总结学习要点，升华理论方法，精析疑难问题，集概 念、理论、知识、技巧、经验于一体，提高学习效果。 本书具体结构为24讲，基本上是与教材对应，每章分为两讲，各讲结构 相同，包括内容提要，重点、难点，典型方法与例题，习题四个部分，其中重 点是第三部分，每一讲设计为两学时。具体如何使用可由主讲教师根据具体情 况进行安排。本书也可作为考研的辅导教材。 由于水平所限，书中不妥之处，恳请读者给予指正。 编者 2006年10月

目 录 第一讲数列与函数的极限 二、内容提要. 1 数列极限 (二）函数投限.1 (三)左、右极限. 1 (四）无穷小与无穷大.2 (五)授限运算法则.2 (六)极限存在准则、两个重要授限.2 (七)无穷小的比较 .3 二、重点、难点. 三、典型方法与例题 (一)A类（基本要求）》 .3 (二)B类（提高要求） 四、习题. 0010 (-）A类.10 ，(二）B米4.11 第二讲函数的连续与间断 一、内容提要. (一）函数的连续性 .12 (二)左、右连续 12 (三)函数间断 12 (四)复合函数的连续性 12 (五)闭区间上连续函数的性质. 13 二、重点、难点.13 三、典型方法与例题 ·(一)A类（基本要求） (二)B类（提高要求） 四、习题. (）A类.17 (二）B'.17 第三讲导数与微分的概念 一、内容提要 .19

·1· 目录 (一)导数定义. .19 (二)左、右导数 (三)导数的几何意义 19 (（四)微分概念. 20 二、重点、难点· 0 三、典型方法与例题. 20 (一)A类（基本要求） 20 (二)B类（提高要求） 24 四、习题 .26 (）月类44.04440t*4++26 (二)B类 .26 第四讲导数与微分法则 一、内容提要. .28 (一)基本初等函数求导公式.28 (二)和、差、积、 商求导法则 28 (三)复合函数求导法则 28 (四)反函数求导法则 28 (五)参数方程确定函数的求导法则 28 (六)高阶导数公式 (七)函数的徽分法则. 29 (八)微分近似计算的公式 29 二、重点、难点. 29 三、典型方法与例题 29 (一)A类（基本要求） (二)B类（提高要求） .33 四、习题 (一)A类 .36 (二）B类.36 第五讲微分中值定理与洛必达法则 一、内容提要. .37 (一)中值定理. .37 (二)洛必达法则 二、重点、难点 37 三、典型方法与例题. 38 (一)A类（基本要求） . 38 (二)B类（提高要求） 四、习题 46

录 ·Ⅲ· （-）A类. .46 （二)B类. .46 第六讲函数单调性与极值问题 一、内容提要.48 (一)函数的单调性 (二)函数的极值 (三)最大值、最小值问题 48 (四)函数的凸凹性与拐点 49 二、重点、难点 三、典型方法与例题. 49 (一)A类（基本要求） 49 (二)B类（提高要求） .52 四、习题. .55 .55 (二)B类. .56 第七讲不定积分（一） 一、内容提要.57 (一）不定积分的概念与性质 (二)基本积分表 .57 (三）积分方法. 58 二、重点、难点 58 三、典型方法与例题. 58 (一)A张（共本要求） (二)B类（提商要求） 61 四、习题. 63 (一）A类. 63 （二)B类 63 第八讲不定积分（二） 一、内容提要.64 (一）分部积分法 64 (二)有理函数的积分 (三)三角有理式积分 (四)简单无理式积分 ,65 二、重点、难点 66 三、典型方法与例题. 66 (一)A类（基本要求） 66 (二)B类（提高要求） 69

·N· 录 四、习题 .72 （一)A类. (二)B类 .72 第九讲定积分的概念与理论 、内容提要. .73 (一)定积分概念 (二)定积分的几何意义 .73 (三)完积分存在定理73 (四)定积公性质 （五)积分学基本公式.7 重点、点.+,74 三、典型方法与例题. .74 (一)A类（基本要求） (二)B类（提高要求） .78 四、习题.81 (）A类. (二)B类 .82 第十讲定积分的计算 、内容提要.83 (一)定积分的换元法 (二)定积分的分部法 .83 (三)常用积分等式 83 (四)无穷限的反常积分 83 （五)无界函数的反常积分. 84 (六)反常积分收敛性.8叫 二、重点、难点.8叫 三、典型方法与例题. (一)A类（巷本要求） 84 (二)B类（提高要求） 88 四、习题. .91 (二)B类. 第十一讲定积分的几何应用 一、内容提要 (一)平面图形的面积 .93 (二)空间立体的体积 (三)平面曲线的弧长 .94

目 录 V 二、重点、难点.9奶 三、典型方法与例题. 95 (一)A类（基本要求》 95 (二)B类（提高要求） 44444444. 98 四、习题 102 (-）A类.102 (二)B类 102 第十二讲定积分的物理应用 一、内容提要 .104 (一)变力沿直线做功.104 （二)液体的压力. ,104 (三)引力问题 104 二、重点、难点. 104 三、典型方法与例题 105 (一）A类（娄本要求）. 105 (二)B类（提商要求） 106 四、习题 ,109 (二)B类 109 第十三讲向量及其运算、曲面与曲线 一、内容提要.110 （一)向量概念， (二)向量的运算 .110 (三)一些性质和结论 110 (四)曲面概念 （五)二次曲面. 111 (六)空问曲线概念 +.111 二、重点、难点 三、典型方法与例题. 112 (一)A类（基本要求） 112 (二)B类（提高要求）. 114 四、习题 115 (）A米*.444.44.444444* 115 (二)B类 +116 第十四讲 平面与直线 内容提要 .117 (一)平面及其方程 .117

·M· (二)直线及其方程 (三)平面束方程. .118 二、重点、难点 11 三、典型方法与例题. 119 (一)A类（基本要求） 119 （二）B类（提高要求). 122 四、习题 125 (一)A类 (二）B类.125 第十五讲 多元函数微分学（一） 一、内容提要 4444444126 （一）多元函数的极限与连续. (二)偏导数 126 (三)全微分 127 (四)复合函数求导法则 128 (五)隐函数求导法则.129 二、重点、难点. 129 三、典型方法与例题. 129 (一)A类（基本要求） 129 (二)B类（提高要求） 134 四、习题 137 (）A类. 3 (二)B类 138 第十六讲多元函数微分学（二） 一、内容提要 .139 (一)微分法在几何上的应用.139 (二)方向导数与梯度. 140 (三)极值与条件极值 141 二、重点、难点 142 三、典型方法与例题 142 (一）A类（基本要求）. 142 (二)B类（提高要求） 四、习题 150 (）A类 (二)B类 150 第十七讲二重积分 一、内容提要. .151

目录 . （一）二重积分概念 (二)二重积分的性质.151 (三)二重积分的计算 152 （四）二重积分的应用.153 二、重点、难点. 154 三、典型方法与例题. 154 (一)A类（基本要求） 154 (二)B类（提高要求） 157 四、习题.162 (一)A类 . 162 (二)B类. 162 第十八讲三重积分 一、内容提要 163 (一)三重积分的概念与性质.163 (二)三重积分的计算 163 (三)三重积分的应用164 二、重点、难点. . 165 三、典型方法与例题.165 (一)A类（基本要求） 165 (二)B类（提高要求）》 170 四、习题. ,172 (一)A类. 172 (）B'.173 第十九讲 曲线积分 一、内容提要. .174 (一）对孤长的曲线积分.174 (二）对坐标的曲线积分. 175 （三）格林公式. 176 (四)两类曲线积分之问的关系 177 二、重点、难点.17门 三、典型方法与例题. 177 (）A类（基本要求）. 177 (二)B类（提高要求） 182 四、习题. 185 (）A类+. 185 (二)B类 ,186

,Ⅷ， 目录 第二十讲曲面积分 一、内容提要. （一)对面积的曲面积分.187 (二) 对坐标的曲面积分. 187 （三)两类曲面积分的关系.188 (四)高斯公式 188 (五)斯托克斯公式. 189 二、重点、难点 189 三、典型方法与例题 189 (一)A类（基本要求） .189 (二）B类（提高要求）+++.+.++44. 四、习题. (-)A类 198 (二)B类 198 第二十一讲无穷级数（一） 一、内容提要 .199 （一）带数项级数的概念 .199 (二)正项级数收敛判别法 200 (三）交错级数判别法 .200 (四）绝对收敛与条件收敛.200 万)函数项级数4. 200 (六)暴级数 01 一、重点、f点.4+4. 201 三、典型方法与例题 201 （一)A类（基本要求）. 2 （二)B类（提高要求）.207 四、习题. (二)B类. 210 第二十二讲无穷级数（二） 一、内容提要.212 (一)幂级数的运算.212 (二)幂级数和函数的性质 212 （三)泰勒级数. 44.4000.01t1t01+中10+t+40t40+95+00404卡0444 212 (四)基本展开式 .213 (五)缚里叶级数.4.*. 213 二、重点、难点. .214

目录 .X· 三、典型方法与例题. 215 (一)A类（基本要求） .215 （二)B类（提高要求）.220 四、习题. 224 (-）A类.224 （二)B类. .224 第二十三讲微分方程（一） 、内容提要.226 (一)微分方程的基本概念.226 （二)一阶微分方程[y=(x,y）门.226 (三)可降阶的高阶微分方程.227 二、重点、难点 .228 三、典型方法与例题.228 (一)A类（基本要求）. 228 (二）B类（捉高要求） 234 四、习题.237 (-)A类. 237 (二)B类 .238 第二十四讲微分方程（二） 一、内容提要 .239 (一)高阶线性微分方程.239 (二)二阶常系数齐次线性微分方程.240 (三)二阶常系数非齐次线性微分方程. 240 二、重点、难点.240 三、典型方法与例题.24 （一）A类（基本要求).24川 (二)B类（提高要求）. 246 四、习题.24 (一）A类. .248 (二)B类 249 参考文献 .250