《高等数学》课程教学资源（补充提高）第五章 定积分

第五章定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解定积分的定义，熟悉定积分的有关性质。 2、加深理解牛顿一一莱布尼兹公式的内容及其意义，能熟练地应用此公式计算定积分。 3、堂握变上限函数的极限、导数、极值等问题的求法。 4、熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 5、知道广义积分，掌握两类广义积分的计算 二、学习重点 定积分的换元积分法与分部积分法 三、内容提要 1、定积分的定义及性质 ①定文广d=m之fAx(与a,b划分及取法无关A=盟△x ∫fx)k=-∫fx)k∫2fx=0. 由定义可知，定积分值与积分变量的记号无关：∫心fx)达=∫心fd (I)几何意义 当fx)≥0时，∫f(x)d的值等于y=f(x),x=a,x=b(a<b)及y=0四条线所围成 的曲边梯形面积 (山)可积函数类 下列函数均可积： (i)fx)在[a,句连续： (i)fx)在[a,b]单调有界： (ii)fx)在[a,b]有界且至多有有限个第一类间断点。 (IV)性质假设fx)在所涉及区间可积，则下列性质成立： (i)线性性质 ∫kf)士k:gx)达=k∫fx)±k∫心gx达 (i)区间可加性∫fx)k=∫fx)+∫fx)k. (im)比较性质若f)≥gx,xea,则∫fx≥∫”g(x) 特别有 'rdSrld. (iv)估值定理设M=ax{fx)川x∈[a,b]B,m=min{fx)川x∈[a,b]}, m(b-ad)≤∫fx)d≤Mb-a)

56 第五章 定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解定积分的定义，熟悉定积分的有关性质。 2、加深理解牛顿——莱布尼兹公式的内容及其意义，能熟练地应用此公式计算定积分。 3、掌握变上限函数的极限、导数、极值等问题的求法。 4、熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 5、知道广义积分，掌握两类广义积分的计算 二、学习重点 定积分的换元积分法与分部积分法 三、内容提要 1、定积分的定义及性质 （I）定义 ( ) lim ( ) ( [ , ] , max{| |}) 1 1 0 i i n i b a n i i i f x dx = f x a b = x   =  →      与 划分及 取法无关 ( ) = − ( ) ; ( ) = 0.    f x dx f x dx f x dx a a b a a b 由定义可知，定积分值与积分变量的记号无关：   = b a b a f (x)dx f (t)dt. （II）几何意义 当 f (x) ≥0 时，  b a f (x)dx 的值等于 y = f (x), x = a, x = b(a  b)及y = 0 四条线所围成 的曲边梯形面积。 （III）可积函数类 下列函数均可积： （i） f (x) 在 [a,b] 连续； （ii） f (x) 在 [a,b] 单调有界； （iii） f (x) 在 [a,b] 有界且至多有有限个第一类间断点。 （IV）性质 假设 f (x) 在所涉及区间可积，则下列性质成立： （i）线性性质     =  b a b a b a k f (x) k g(x)dx k f (x)dx k g(x)dx. 1 2 1 2 （ii）区间可加性    = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx. （iii）比较性质 若 f (x) ≥ g(x), x[a,b] ，则 f x dx b  a ( ) ≥ ( ) .  b a g x dx 特别有  b a f (x)dx ≤  b a | f (x) | dx. （iv）估值定理 设 M = max{ f (x) | x [a,b]|},m = min{ f (x) | x [a,b]} , 则 m(b − a) ≤  b a f (x)dx ≤ M (b − a)

(v)中值定理设f)在[a,连续，g(x)在[a,可积且不变号，则35∈[a,b] 使∫fx)gx)=fgx)k,特别，当gx)=1时，有 J"f(x)d=f(EXb-a). 2、变上限积分函数 定义x∈[a,b,设积分f)d存在，则称F(x)=∫f)d为变上限积分或变上 限函数或积分上限函数。 名装生社摄有下：因-会a-网 特别地，当G)=∫f0dh,其中A,%可导，则有 G'(x)=fe:(x)lo(x)-fo(xlo(x). 3、定积分的计算 (I)Newton-Leibniz公式 设fx)在[a,连续，F'(x)=fx),则fx)d=F(b)-F(a)二F(x) ()定积分换元法若p(a)=a,p(B)=b,则∫。fx)d=∫几p·p'u)d山 ()定积分的分部积分法设u(x,(x)在a,]上的导数连续，则 ∫ux)p'(x)dk=u(x)rxe-∫rx)u'(x)dk. 4、广义积分 ()无穷区间的广义积分 定义为∫店fx)k=m∫了x)达，∫广fx)达=m∫fxd若等式右边的极 限存在，称左边的广义积分收敛，否则称发散。 定义∫fx)d=m了x)达+m∫fx)d,其中a,b的变化相互独立，只要 等式右边有一个极限不存在，则等式左边的广义积分发散。 ()无界函数的广义积分 设fx)在(a,b]连续，fx)在x=a的某右邻域无界，则定义 ∫fx=m∫f=m∫fx 57

57 （v）中值定理 设 f (x) 在 [a,b] 连续， g(x) 在 [a,b] 可积且不变号，则  [a,b]， 使   = b a b a f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx, 特别，当 g(x) =1 时，有  = − b a f (x)dx f ( )(b a). 2、变上限积分函数 定义     = x a x a x [a,b],设积分 f (t)dt存在,则称F(x) f (t)dt 为变上限积分或变上 限函数或积分上限函数。 若 f 连续，变上限函数有下列性质： ( ) ( ). ( ) ( )   = = = x a f x dt f x dx d dx dF x F x 特别地,当 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , , 2 1     = x x G x f t dt 其中 可导，则有 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ). 2 2 1 1 G x = f  x  x − f  x  x 3、定积分的计算 （I）Newton-Leibniz 公式 设 f (x) 在 [a,b] 连续， F(x) = f (x) ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) . b a b a f x dx F b F a F x   = − （II）定积分换元法 若 () = a,( ) = b, 则   =   b a f x dx f t t dt   ( ) [( )]  ( ) . （III）定积分的分部积分法 设 u(x),v(x)在[a,b] 上的导数连续，则    = −  b a b a b u(x)v (x)dx [u(x)v(x)]a v(x)u (x)dx. 4、广义积分 （I）无穷区间的广义积分 定义为   + →+ = b a b a f (x)dx lim f (x)dx,  −  →− = b a b a f (x)dx lim f (x)dx.若等式右边的极 限存在，称左边的广义积分收敛，否则称发散。 定义 ( ) lim ( ) lim ( ) ,    →− →+ + − = + b b c c a a f x dx f x dx f x dx 其中 a,b 的变化相互独立，只要 等式右边有一个极限不存在，则等式左边的广义积分发散。 （II）无界函数的广义积分 设 f (x)在(a,b] 连续， f (x)在x = a 的某右邻域无界，则定义          = = → → + + + b a b a b c a c f (x)dx lim f (x)dx lim f (x)dx ,  0 

若等式右边的极限存在，则称等式左边的广义积分收敛，否则称发散，x=称为奇点。 类似可定义x=6为奇点的情况以及奇点出现在(ab)内部的情况 1、定积分定义中所说的和式三f(传)△x,的极限存在，特别要强调两点是什么？ 2、函数f(x)在区间[ab上可积的充分条件是什么？必要条件是什么？ 3、当函数fx)在[a,b]上具有原函数时，则fx)在[a,b]上一定可积吗？试考察函数 =0 4、用换元积分法计算定积分时要注意些什么？若用两种不同方法计算定积分1=∫x产d在 可得出两个不同的结果： w1-小rh写北背景a1-了rh空分-0 你认为哪个是对的，而另一个错在什么地方？ 5、在定积分∫。x-x本中，用x=sn1换元计算行吗？为什么 6用分部积分法计第定积分1-合如下：设=亡小一女，周 x(In x) 即合=1+·益果得：1.试视明这个误是样产生物 小2安=-2，此结果对吗：为么 及由于商数四产产行在级（国四内为音福数因此。有广千示本=0 所以广义积分收敛，此结论对吗？ 9、如下的几个定积分常用公式是怎样推导出来的： (1)∫fx)=∫[fx)+f-x,(2)若fx)为奇函数，则fx)=0:

58 若等式右边的极限存在，则称等式左边的广义积分收敛，否则称发散， x = a 称为奇点。 类似可定义 x = b 为奇点的情况以及奇点出现在（ a,b ）内部的情况。 四、思考题 1、定积分定义中所说的和式 i i n i  f x = ( ) 1  的极限存在，特别要强调两点是什么？ 2、函数 f (x) 在区间[a,b]上可积的充分条件是什么？必要条件是什么？ 3、当函数 f (x) 在[a,b]上具有原函数时，则 f (x) 在[a,b]上一定可积吗？试考察函数     = −   = 0, 0 ,0 1 1 cos 1 2 2 sin ( ) 2 2 x x x x x x f x 4、用换元积分法计算定积分时要注意些什么？若用两种不同方法计算定积分  − = 1 1 2 I x dx ， 可得出两个不同的结果： （1） − = = − = + = 1 1 1 1 2 3 ; 3 2 3 1 3 1 3 1 I x dx x （2）  − = − = = 1 1 1 1 2 0 2 1 2 I x dx tdt 令x t 。 你认为哪个是对的，而另一个错在什么地方？ 5、在定积分  − 3 0 3 2 x 1 x dx 中，用 x = sin t 换元计算行吗？为什么？ 6、用分部积分法计算定积分  = 3 2 x ln x dx I 如下：设 dx x dv x u 1 , ln 1 = = ，则 , ln , (ln ) 2 v x x x dx du = − = 于是 , (ln ) 1 ln (ln ) 3 2 3 2   2 = = +  x x dx x x x dx I 即   = + 3 2 3 2 2 (ln ) 1 ln x x dx x x dx ，结果得出：0=1，试说明这个错误是怎样产生的？ 7、因为 2 ( 2) 1 ( ) − = x f x 的一个原函数为 x F x − = 2 1 ( ) ，于是根据牛顿—莱布尼兹公式，有  = − − = − 3 1 3 2 1 2 2 1 (x 2) x dx ，此结果对吗？为什么？ 8、由于函数 2 1 ( ) x x f x + = 在区间 (−,+) 内为奇函数，因此，有   − = + 0 1 2 dx x x 所以广义积分收敛，此结论对吗？ 9、如下的几个定积分常用公式是怎样推导出来的： （1） −  = + − a a a f x dx f x f x dx 0 ( ) [ ( ) ( )] ; （2）若 f (x) 为奇函数，则 − = a a f (x)dx 0 ；

(3)若f)为偶函数，则二fx)本=2fx)d (4)若f)是周期为T的函数，则 ”fx达=fe,或f=厚 (5)fsnx达=J店f(cos.x):(6)f(sin d=2ff6nx (7)(sin df(sin dr. -少-n-3).3-1.m为正偶数) (8)后sn”x=j后cos”xd= C22o内E奇 n-(n-2).5.3 五、典型例题分析 1 1 例1求一an-交+m-屏 分析用定积分求这类和式的极限，关键是选取适当的可积函数与积分区间，将所求和式的 极限转化为某函数积分和的极限，从而转化成定积分。 解 _1 1131 m店府 1 由此可知以上和式是函数f(x)= 4一在区间0，止的积分和，又因为该肠数在区向 心】上连线，所以定积分字血存在，故 园中女号 1 1 1 J。x-0p)dh 例2设函数()连续，试求期”5nx

59 （3）若 f (x) 为偶函数，则  −  = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ; （4）若 f (x) 是周期为 T 的函数，则     + − − + = = T T a T a T T a T a f x dx f x dx f x dx f x dx 0 2 2 2 2 ( ) ( ) ,或 ( ) ( ) ; （5）   = 2 0 2 0 (sin ) (cos ) ;   f x dx f x dx （6）   =   0 2 0 f (sin x)dx 2 f (sin x)dx; （7）   =    0 0 (sin ) ; 2 xf (sin x)dx f x dx （8）            −    −  −      −    −  −    = = 2 0 2 0 1( ) ( 2) 5 3 ( 1) ( 3) 4 2 ( ) ( 2) 4 2 2 ( 1) ( 3) 3 1 sin cos    为正奇数 为正偶数 n n n n n n n n n n xdx xdx n n     五、典型例题分析 例 1 求 ) 4 1 4 2 1 4 1 1 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n − + + − + − →  。 分析 用定积分求这类和式的极限，关键是选取适当的可积函数与积分区间，将所求和式的 极限转化为某函数积分和的极限，从而转化成定积分。 解 2 2 2 2 2 4 1 4 2 1 4 1 1 n n n n − + + − + −  = = − =             − + + − + − n i n n i n n n n n 2 2 2 1 2 4 ( ) 1 1 4 ( ) 1 ) 2 4 ( 1 ) 1 4 ( 1 1  由此可知以上和式是函数 2 4 1 ( ) x f x − = 在区间[0,1]上的积分和，又因为该函数在区间 [0，1]上连续，所以定积分  − 1 0 2 4 1 dx x 存在，故 ) 4 1 4 2 1 4 1 1 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n − + + − + − →  =   = → = − = − n i n dx x n n 1 i 1 0 2 2 . 6 4 1 1 4 ( ) 1 lim  例 2 设函数 (x) 连续，试求 x x t t dt x x 2 0 0 sin ( ) ( ) lim  − → 

分析这是含积分上限函数的极限问题，属“0型，符合使用罗比塔法则求极限的条件。在 利用罗比塔法则求极限时，分子对x求导应注意，被积函数中所含变量x相对于积分变 量1而言是常量，从而可将分子拆成两项，且x可提到积分号外面。 ∫x-)p0dxfp0d-∫ip0)d ndt 0) m2x=2 例3证明函数fx)=1-)n(1+n)d在区间0，+∞]上的最大值不超过”，其中n为正整 证(x)是积分上限函数，根据变上限求导定理，有 f"(x)=(1-x)n1+m).令f'(x)=0,得x=0,x=1. 而fO)=0,当00,当x>时，∫'(x)<0,所以函数f(x)在x=1处有极大值 (此处即最大值)。当1≥0时，有0≤n(1+≤m, 所以f0≤-ndh=君证华. :可原 分折发积画数)+如。相子子上道线益定积分作在根据被积西数是三角西 数有理式的特点，可用换元法令1=an化成有理函数的积分：如果被积函数分子、 分母同乘1-5血)，又可转化为函数-即的积分：也可利用公式 cos- ∫x)女=∫6L/x)+-x达计算，且用此法最为简便， 解 点 如果设x=-1, r点-点 m值高-i恤=女-2

60 分析 这是含积分上限函数的极限问题，属 “ ” 0 0 型，符合使用罗比塔法则求极限的条件。在 利用罗比塔法则求极限时，分子对 x 求导应注意，被积函数中所含变量 x 相对于积分变 量 t 而言是常量，从而可将分子拆成两项，且 x 可提到积分号外面。 解 x x t dt t t dt x x t t dt x x x x x 2 0 0 0 2 0 0 sin ( ) ( ) lim sin ( ) ( ) lim    − = − → →    . 2 (0) 2cos 2 ( ) lim sin 2 ( ) lim 0 0 0    = = = → →  x x x t dt x x x 例 3 证明函数  = − + x f x t nt dt 0 ( ) (1 )ln(1 ) 在区间[0，+  ]上的最大值不超过 6 n ，其中 n 为正整 数。 证 f (x) 是积分上限函数，根据变上限求导定理，有 f (x) = (1− x)ln(1+ nx). 令 f (x) = 0,得x = 0, x =1. 而 f (0) = 0,当0  x 1时, f (x)  0,当x 1时, f (x)  0,所以函数f (x)在x =1 处有极大值 （此处即最大值）。当 t ≥0 时，有 0≤ ln(1+ nt) ≤ nt, 所以 f (1) ≤  − = 1 0 . 6 (1 ) n t ntdt 证毕。 例 4 计算 − + 4 4 1 sin   x dx 。 分析 被积函数 ] 4 , 4 [ 1 sin 1 ( )   − + = 在 x f x 上连续，故定积分存在，根据被积函数是三角函 数有理式的特点，可用换元法令 2 tan x t = 化成有理函数的积分；如果被积函数分子、 分母同乘 (1− sin x) ，又可转化为函数 x x 2 cos 1− sin 的积分；也可利用公式 −  = + − a a a f x dx f x f x dx 0 ( ) [ ( ) ( )] 计算，且用此法最为简便。 解  −  − + + + = + 0 4 4 0 4 4 1 sin 1 sin 1 sin     x dx x dx x dx 如果设 x = −t ， −    − = − = − − = + 0 4 0 4 4 0 4 0 , 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin     x dx t dt t dt x dx 所以    − = = − + + = + 4 4 4 0 4 0 2 2 cos ) 2 1 sin 1 1 sin 1 ( 1 sin     x dx dx x t t dx

此题的作法实际也是证明公式∫f(x)dk=∫。[/x)+f(-x体的方法。 例5计算∫am2xsn*2x。 分析因被积函数是以：为周期的函数，因此可用公式∫兰了x)k=屋了(x)k。 其次再利用奇偶函数积分的性质以及有关积分公式，问题就简单了。 解∫am2xsm*2x=∫值am2xsm*2x =2 16sin'xcosxdx=32 sin x.(1-sin2x)dx m-刘sm吾6器- 例6计第定积分+-京a>0: 分析本题被积函数属R(xV2-x2)型，故可用x=asm1(或x=ac0s1)换元，将其化为 三角函数有理式的积分。 球1合会n 后+cs-n》h-n-mch sin t+cost sin t+cos! -sin +cos 装：鲜月n- sn1+os7水 提产-号 61

61 此题的作法实际也是证明公式 −  = + − a a a f x dx f x f x dx 0 ( ) [ ( ) ( )] 的方法。 例 5 计算  + − 2 10 2 10 2 4 tan sin 2   x xdx。 分析 因被积函数是以  为周期的函数，因此可用公式  − + − = 2 2 2 2 ( ) ( )     f x dx f x dx a a ， 其次再利用奇偶函数积分的性质以及有关积分公式，问题就简单了。 解  − + −  =  2 2 2 4 2 10 2 10 2 4 tan sin 2 tan sin 2     x xdx x xdx =   =  − 2 0 2 0 6 2 6 2 2 16sin cos 32 sin (1 sin )   x xdx x x dx =   − 2 0 2 0 6 8 32 sin 32 sin   xdx xdx=    8 5 ) 8 6 4 2 2 7 5 3 1 6 4 2 2 5 3 1 32(  =        −     例 6 计算定积分   + − a a x a x dx 0 2 2 ,( 0)。 分析 本题被积函数属 ( , ) 2 2 R x a − x 型，故可用 x = a sin t （或 x = a cost ）换元，将其化为 三角函数有理式的积分。 解法 1   + = + − a dt t t t x a t x a x dx 0 2 2 2 0 cos sin sin cos  =   + +  = − + + − − 2 0 2 0 ] sin cos (sin cos ) [1 2 1 sin cos sin cos (cos sin ) 2 1   dt t t t t dt t t t t t t = 4 [ ln |sin cos |] 2 1 2 0   t − t + t = 解法 2 由于   + = + 2 0 2 0 , sin cos cos cos sin sin   dt t t t dt t t t 于是   = + + = + − a dt t t t t x a x dx 0 2 2 2 0 . cos sin 4 sin cos 2 1  

例7设fx)=x,x≥0，gx)= m05行分别求争号与>号时 0x> 积分∫。fu)gx-1)d的表达式。 分析本题求解的关键是：(1)被积函数中出现g(x一)，不易积分，需利用=x-1进行换元： （2)8()是分段函数，应注意区分0≤x≤号与x>?时的不同表达式。 解令=x-t,dh=d, ∫fu)g(x-)d=∫fx-wgu-d)=∫fx-wg(u)du, 当0≤x≤7时，∫0fx-w)g(u)d=∫。(x-w)sin udu =x[sin udu-[usin udu x-sin x, 当x>受时7x-guh=-0sm咖+月x-0-o=-l 所以 ∫fx)g(x-0dh= x-mx0≤x≤号 x-x> 创8设f0为连续函数，求证∫fe)止)dt=J心(x-1)f0)d 分析本题求证中应把握：(1)对于被积函数中出现变上限积分的形式，常用分部积分法， 且一般选取变上限积分为u,即u=∫)f(e)止，d=d山：(2)注意定积分与积分变量的 记号无关：(3)被积函数中出现的x在积分过程中相对于积分变量1应视为常数。 证 gfett=6fet)i5-jrut=fgfet-∫fudt=jx-fudt 例9己知fa)=l,且∫f(x)+∫"(x)sin xd=3,求f(0) 分析被积函数中出现抽象函数的导数形式，常用分部积分法，且将抽象函数的导数放入。 解∫[f)+f"()]sin xdx=∫f(x)sin xdx+∫∫"(x)sin xdo, 而∫。∫"(x)snxd=J。sinx(x)

62 例7 设 f (x) = x, x ≥0， 2 2 0 , 2 0, ; 2 sin ,0 ( )                = x x x x x g x 分别求当 与 时， 积分  − x f t g x t dt 0 ( ) ( ) 的表达式。 分析 本题求解的关键是：（1）被积函数中出现 g(x − t), 不易积分，需利用 u = x − t 进行换元； （2） g(x) 是分段函数，应注意区分 0≤ x ≤ 2  与 2  x  时的不同表达式。 解 令 u = x −t,dt = −du,    − = − − = − x x x f t g x t dt f x u g u du f x u g u du 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) , 当 0≤ x ≤ 2  时，   − = − x x f x u g u du x u udu 0 0 ( ) ( ) ( )sin =   − = − x x x udu u udu x x 0 0 sin sin sin ,     − = − + −  = − 2 0 2 0 , ( ) ( ) ( )sin ( ) 0 1, 2    x x 当x 时 f x u g u du x u udu x u du x 所以       −  −   − = x x x x x x f x g x t dt 0 . 2 1, 2 sin , 0 ( ) ( )   例 8 设 f (t) 为连续函数，求证    = − x t x f z dz dt x t f t dt 0 0 0 ( ( ) ) ( ) ( ) . 分析 本题求证中应把握：（1）对于被积函数中出现变上限积分的形式，常用分部积分法， 且一般选取变上限积分为 u ，即  = = t u f z dz dv dt 0 ( ) , ；（2）注意定积分与积分变量的 记号无关；（3）被积函数中出现的 x 在积分过程中相对于积分变量 t 应视为常数。 证        = − = − = − t x x x x x x t f z dz dt t f z dz t f t dt x f z dz t f t dt x t f t dt 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ( ) ) ( ( ) ) | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 例 9 已知 f ( ) =1 ，且  +  = x f x f x xdx f 0 [ ( ) ( )]sin 3,求 (0) 。 分析 被积函数中出现抽象函数的导数形式，常用分部积分法，且将抽象函数的导数放入 dv 。 解    +  = +     0 0 0 [ f (t) f (x)]sin xdx f (x)sin xdx f (x)sin xdx, 而    =  x f x xdx x df x 0 0 ( )sin sin ( ) 

=f"(x)simx6-∫。f"(x)cos.xdx=-∫。cosxdf(x) =-f(x)cosx6-∫。f(x)sin xdx, 所以∫[f)+"(x)]sin xdx=-fx)cosx6=3, fπ)+f0)=3,又已知f(π)=1 故 f0)=2 w度-4e-a 分析分段函数的定积分，一般化为分段区间上的定积分。本题被积函数为∫x一2)，积分时 需由己知的fx)求出fx-2,或先换元更简便一些。 解法1广-2h空∫0h-可0+rh+ea=号 所以广1-2=in+-2k+ek=号 例Ⅱ计算∫xVsn之x-sin'xdk。 分析由于被积函数中sn2x-sin‘x=sn2x1-sm2x)=sin2xcos2x,而c0sx在 0,π]内不恒大于零，所以开方后需取绝对值。积分时可去掉绝对值记号，按 分段函数的定积分处理 解∫xWsn2x-sin+xdk=∫xsinxl cosxld -xsn2x-任xsm2xk=-月xd(cos2x)+xd(cos2) =-kcos2xi原-fcos2x]+4ros2g-cos2x=牙 创2计算∫x区k。 分析在被积函数中含绝对值函数的定积分中，一般根据绝对值性质，化为分段函数在分段 区间上的定积分。或根据有关性质化为不含绝对值函数的定积分

63   =  −  = −    0 0 0 f (x)sin x | f (x) cos xdx cos xdf (x) =  − −   0 0 f (x) cos x | f (x)sin xdx, 所以 [ ( ) ( )]sin ( ) cos | 3, 0 +  = − 0 =  x f t f x xdx f x x  即 f ( ) + f (0) = 3,又已知f ( ) =1, 故 f (0) = 2 例 10 设    −  +  = −  3 1 2 , ( 2) , 0 1 , 0 ( ) f x dx e x x x f x x 求 。 分析 分段函数的定积分，一般化为分段区间上的定积分。本题被积函数为 f (x − 2),积分时 需由已知的 f (x) 求出 f (x − 2), 或先换元更简便一些。 解法 1   − − = − 1 1 2 3 1 f (x 2)dx f (t)dt x t = . 1 3 7 (1 ) 1 0 0 1 2 e t dt e dt t + + = −   − − 解法 2     + −  − = − − , 2, 1 ( 2) , 2 ( 2) ( 2) 2 e x x x f x x 所以    − = + − + = − − − 3 1 2 1 3 2 2 ( 2) . 1 3 7 ( 2) [1 ( 2) ] e f x dx x dx e dx x 例 11 计算  −  0 2 4 x sin x sin xdx。 分析 由于被积函数中 x x x x x x 2 4 2 2 2 2 sin − sin = sin (1− sin ) = sin cos ，而 cos x 在 [0， ]内不恒大于零，所以开方后需取绝对值。积分时可去掉绝对值记号，按 分段函数的定积分处理。 解   − =   0 0 2 4 x sin x sin xdx x sin x | cos x | dx     = − = − + 2 0 2 2 0 2 (cos 2 ) 4 1 (cos 2 ) 4 1 sin 2 2 1 sin 2 2 1      x xdx x xdx x d x  x d x = 2 [ cos 2 ]| cos 2 4 1 [ cos 2 | cos 2 ] 4 1 2 2 2 0 2 0        − − + − =   x x xdx x x xdx 例 12 计算  − 4 1 x | x |dx 。 分析 在被积函数中含绝对值函数的定积分中，一般根据绝对值性质，化为分段函数在分段 区间上的定积分。或根据有关性质化为不含绝对值函数的定积分

解法1达=+在-小d-+-号 解法2广达=了国+5-会 解法3小达=Fd的)=是 说明本题给出了含绝对值函数的积分法。就以上三种解法，以解法2最好，它利用了奇函 数x在对称区间积分的性质，避开了含绝对值的积分。 例13设fx)在[a,b]上具有连续导数，且f(a)=0,试证 广ra达≤oire 分析不等式两端分别出现fx)与∫"(x),可考虑利用关系f(x)=∫∫"(x)，而 (x)=((x))2，又进一步考虑利用柯西积分不等式 ∫fx)g(x))2s∫∫(x)d∫g2(x),再积分，不等式可得证。 正在己知条件下，fx)=[∫'(x)dk,∫2(x)=('(x)d)2利用柯西积分不等式，有 f(x)=(f"(x))2≤∫tf"xd∫Pd≤x-afxd 两边在区间[a,b)]上作定积分，得 r产w达sx-aiVr达=-foF 14有用女=号的益柔，计广义积分产女. 分析为利用已知结果，必须考虑所求积分的被积函数通过有关运算（代数运算恒等变形或 积分等】化成n“型，本题如进行一次分部积分，问题就明显多了。 解j=-广m2的=-产r-2如 -。242-号 说明本题属区间为无穷的广义积分是很明显的，而x=0时被积函数无定义，但它为去间断

64 解法 1 − −  = − + 4 1 4 0 0 1 x | x |dx x xdx x xdx = 5 62 ( ) ( ) 4 0 2 3 0 1 − − − + =  −  x xd x x dx 解法 2 − −  = + = 4 1 4 0 1 1 . 5 62 x | x |dx x | x |dx x xdx 解法 3 − − = = 4 1 4 1 4 2 2 . 5 62 ( ) 2 1 x | x |dx x d x 说明 本题给出了含绝对值函数的积分法。就以上三种解法，以解法 2 最好，它利用了奇函 数 x | x | 在对称区间积分的性质，避开了含绝对值的积分。 例 13 设 f (x) 在[ a,b ]上具有连续导数，且 f (a) = 0 ，试证    −  b a b a f x dx b a f x dx [ ( )] . 2 ( ) ( ) 2 2 2 分析 不等式两端分别出现 f (x) 与 f (x) ，可考虑利用关系 f x f x dx x a ( ) ( )  =  ，而 2 2 ( ) ( ( ) )  =  x a f x f x dx ， 又 进 一 步 考 虑 利 用 柯 西 积 分 不 等 式      b a b a b a f (x)g(x)dx) f (x)dx g (x)dx 2 2 2 ，再积分，不等式可得证。 证 在已知条件下，   =  =  x a x a f x f x dx f x f x dx 2 2. ( ) ( ) , ( ) ( ( ) ) 利用柯西积分不等式，有     =      − x a b a x a x a f (x) ( f (x)dx) [ f (x)] dx 1 dx (x a) [ f (x)] dx, 2 2 2 2 2 两边在区间[a,b]上作定积分，得      −  −  = b a b a b a b a f x dx b a f x dx x a f x dx dx [ ( )] . 2 ( ) ( ) {( ) [ ( )] } 2 2 2 2 例 14 利用  + = 0 2 sin  dx x x 的结果，计算广义积分  + 0 2 2 . sin dx x x 。 分析 为利用已知结果，必须考虑所求积分的被积函数通过有关运算（代数运算恒等变形或 积分等）化成 u sin u 型，本题如进行一次分部积分，问题就明显多了。 解    + + + + = − = − − 0 0 0 2 2 0 2 2 ] 2sin cos | sin ) [ 1 sin ( sin dx x x x x x x dx x d x x  + = = 0 . 2 (2 ) 2 sin 2  d x x x 说明 本题属区间为无穷的广义积分是很明显的，而 x = 0 时被积函数无定义，但它为去间断

点，所以，可不按x=0为瑕点的广义积分对待。为了书写简洁，这里采用了广义下的 牛顿一一莱布尼兹公式。 例15计算可心2-N- 分析本题被积函数在x=1处出现无穷型间断点，属于广义积分。一般应特别注意区分无穷 函数的广义积分与常义积分。 点广a-点=f26产-号 例16设f)=」nd,(D证明/)是以π为周期的周期函数：(2)求f)的他 域 解Df+)=∫snd,设1=u+元，则有 fx+）=∫"nu+xl=∫“5sn4d=fa) 故f(x)是以π为周期的周期函数. (2)因为sx在(-,+∞)上连续，注意到f(x)的周期为π，故只需在[0，π上讨论其值域. 因为了)x+-如=os-n,令fx)=0,得x=年=环，且 f经=sitd=反，f)-∫宜m=2-反，又 f0)=jsn1dt=1,fa)=∫（←sn0d=1 故fx)的值域为[2-√2，√2]

65 点，所以，可不按 x = 0 为瑕点的广义积分对待。为了书写简洁，这里采用了广义下的 牛顿——莱布尼兹公式。 例 15 计算  − − 1 0 (2 x) 1 x dx 。 分析 本题被积函数在 x =1 处出现无穷型间断点，属于广义积分。一般应特别注意区分无穷 函数的广义积分与常义积分。 解     − → → = − → = + = + − = − − = − − + + +       1  0 1 1 2 0 2 0 1 0 1 0 . 1 2 2 lim (1 ) 2 lim (2 ) 1 lim (2 ) 1 t dt dt t t x x dx x x dx t x 例 16 设  + = 2 ( ) sin  x x f x t dt ，（1）证明 f (x) 是以  为周期的周期函数；（2）求 f (x) 的值 域. 解 （1）  + + + = 2 3 ( ) sin    x x f x t dt ，设 t = u + ，则有 ( ) sin( ) sin ( ) 2 2 f x u du u du f x x x x x + = + = =   + +     故 f (x) 是以  为周期的周期函数. （2）因为 sin x 在 (−,+) 上连续，注意到 f (x) 的周期为  ，故只需在 [0, ] 上讨论其值域. 因为 f x x ) sin x cos x sin x 2 ( ) = sin( + − = −  ，令 f (x) = 0 ，得 4 3 , 4 1 2   x = x = ，且 ) sin 2 2 4 3 ) sin 2, ( 4 ( 4 5 4 3 4 3 4 = = = = −   f t dt f t dt       ，又 (0) sin 1 2 0 = =  f t dt  ， ( ) ( sin ) 1 2 3 = − =  f t dt    故 f (x) 的值域为 [2 − 2, 2]