《高等数学》课程教学资源（疑难解答）函数与极限

第一章函数与极限 1,.数列极限1ima,=a表示当n充分大后，a,越来越接近于a,这种说法正确吗？ 这种说法不正确。因为“an越来越接近于a”一般理解为“an一d单调减少”，而 lima,=a则表示当n无限增大时，a。-d无限趋近于零。a,-d单调减少，但不一定趋 于零，而口，一d无限趋近于零时，a,一d不一定单调减少.例如，数列x,=1+上越来越 接近于零，即k,-0单调减少，但m无，≠0：又如，数列以-2+-少→0n→0)， 但.-0并非单调减少，当然不能说“y,越来越接近于零”。因此，应该说，lma,=a 表示“只要当n充分大，a,与a就可以小于预先任意给定的正数￡。” 2.如何理解“数列{a,}不以a为极限”这句话？ 数列{a}不以a为极限并不意味着其极限一定不存在，它的极限也可能是存在的，只 不过其极限不是常数a,而是另一个常数6（≠a)。例如，数列x。=2-不以1为极限，但 它的极限却是另一个常数2。 3.如何证明数列数列{an}不以a为极限？ 若存在某一正数6。，使得对任意正整数N,总存在正整数n,当>N时，有 a。一d>o,即说明数列{a,}不以a为极限，其中o是根据数列{a,}及常数a的特点事 先找到的一个正数。例如，证明数列a,=1-上不以0为极限，其证明过程如下： 取，=3则对任意正整数N,取正整数%=N+1,显然%>N,且有 1 la-0=1- 所以，数列an=1-不以0为极限。 4.如何证明数列{an}不存在极限？ 一般采用两种方法： (1)找出数列{an}的一个发散子列

第一章 函数与极限 1．数列极限 lim n n a a → = 表示当 n 充分大后， n a 越来越接近于 a ，这种说法正确吗？ 这种说法不正确。因为“ n a 越来越接近于 a ”一般理解为“ n a a − 单调减少”，而 lim n n a a → = 则表示当 n 无限增大时， n a a − 无限趋近于零。 n a a − 单调减少，但不一定趋 于零，而 n a a − 无限趋近于零时， n a a − 不一定单调减少。例如，数列 1 1 n x n = + 越来越 接近于零，即 0 n x − 单调减少，但 lim 0 n n x →  ；又如，数列 2 ( 1) 0( ) n n y n n + − = → →  ， 但 0 n y − 并非单调减少，当然不能说 “ n y 越来越接近于零”。因此，应该说， lim n n a a → = 表示“只要当 n 充分大， n a 与 a 就可以小于预先任意给定的正数  。” 2．如何理解“数列 an 不以 a 为极限”这句话？ 数列 an 不以 a 为极限并不意味着其极限一定不存在，它的极限也可能是存在的，只 不过其极限不是常数 a ，而是另一个常数 b a ( )  。例如，数列 1 2 n x n = − 不以 1 为极限，但 它的极限却是另一个常数 2。 3．如何证明数列数列 an 不以 a 为极限？ 若存在某一正数 0  ，使得对任意正整数 N ，总存在正整数 0 n ，当 0 n N 时，有 0 n 0 a a −   ，即说明数列 an 不以 a 为极限，其中 0  是根据数列 an 及常数 a 的特点事 先找到的一个正数。例如，证明数列 1 1 n a n = − 不以 0 为极限，其证明过程如下： 取 0 1 3  = ，则对任意正整数 N ，取正整数 0 n N= +1 ，显然 0 n N ，且有 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 2 2 3 n a n n N − = − − = − = −  − =  =  + ， 所以，数列 1 1 n a n = − 不以 0 为极限。 4．如何证明数列 an 不存在极限？ 一般采用两种方法： （1）找出数列 an 的一个发散子列

(2)找出数列{a,}的两个存在不同极限的子列。 5.在函数极限的“￡一6”定义中，出现限制条件x一x>0。为什么？是否可以去掉这 一限制条件？ 首先，Iimf(x)=A的意义是：当自变量x无限趋近于x时，对应的函数值f(x)无限 接近常数A,强调的是自变量x从,的左右两侧无限逼近时，函数(x)的变化趋势， 这与函数f(x)在x处有无定义没有任何关系，或者说，f(x)在x,处有无定义并不影响 x→，时f(x)的变化状态。若去掉这一限制条件，即把Iimf(x)=A的定义写作：“如果 对任意的正数，总存在正数6，使得对于适合不等式一x<6的一切x,对应的函数 值f(x)都满足不等式f(x)-A<E。”显然，当x=x时，也有f(x)-A<E,由于e的 任意性，必有f(x)=A,但这个条件显然与x→x时f(x)的变化趋势是不相干的.例如， -号在=1时无定义，但-2.形知，活数)= 1 .x=1 1 在x=1时有定义，且g0=),但m8x)=2。 6.在讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？ 只要讨论函数f(x)在某点，处的极限，都应分析单侧极限的情况。如果当x→x,时， f(x)在x两侧的变化趋势一致，则就不必分开研究：如果f(x)在x,两侧的变化趋势有差 别，就应分别讨论左、右极限。一般来说，在讨论分段函数在分段点的极限、某些三角函数 和反三角函数在特殊点的极限时，都必须研究左、右极限：指数函数如f(x)=e在x=0处 的左、右极限也是不一样的 7如何应用海涅定理 海涅定理的内容是：1m(x)=A的充分必要条件是：对于任何数列{}，满足 x。→(n→o)且xn≠x(n=1,2,）,都有limf(xa)=A。 海涅定理有三方面的应用： (1)若mf)=A存在，但不能求出极限的具体值，可设法找到一收敛于x的数列{x}

（2）找出数列 an 的两个存在不同极限的子列。 5．在函数极限的“   − ”定义中，出现限制条件 0 x x −  0 。为什么？是否可以去掉这 一限制条件？ 首先， 0 lim ( ) x x f x A → = 的意义是：当自变量 x 无限趋近于 0 x 时，对应的函数值 f x( ) 无限 接近常数 A ，强调的是自变量 x 从 0 x 的左右两侧无限逼近 0 x 时，函数 f x( ) 的变化趋势， 这与函数 f x( ) 在 0 x 处有无定义没有任何关系，或者说， f x( ) 在 0 x 处有无定义并不影响 0 x x → 时 f x( ) 的变化状态。若去掉这一限制条件，即把 0 lim ( ) x x f x A → = 的定义写作：“如果 对任意的正数  ，总存在正数  ，使得对于适合不等式 0 x x −   的一切 x ，对应的函数 值 f x( ) 都满足不等式 f x A ( ) −   。”显然，当 0 x x = 时，也有 f x A ( ) −   ，由于  的 任意性，必有 0 f x A ( ) = ，但这个条件显然与 0 x x → 时 f x( ) 的变化趋势是不相干的。例如， 2 1 ( ) 1 x f x x − = − 在 x =1 时无定义，但 1 lim ( ) 2 x f x → = ；再如，函数 2 1 , 1, 1 ( ) 1 , 1 2 x x x g x x  −   − =   =  在 x =1 时有定义，且 1 (1) 2 g = ，但 1 lim ( ) 2 x g x → = 。 6．在讨论函数极限时，在什么情况下要考虑左、右极限？ 只要讨论函数 f x( ) 在某点 0 x 处的极限，都应分析单侧极限的情况。如果当 0 x x → 时， f x( ) 在 0 x 两侧的变化趋势一致，则就不必分开研究；如果 f x( ) 在 0 x 两侧的变化趋势有差 别，就应分别讨论左、右极限。一般来说，在讨论分段函数在分段点的极限、某些三角函数 和反三角函数在特殊点的极限时，都必须研究左、右极限；指数函数如 1 ( ) x f x e = 在 x = 0 处 的左、右极限也是不一样的 7．如何应用海涅定理？ 海涅定理的内容是： 0 lim ( ) x x f x A → = 的充分必要条件是：对于任何数列 xn ，满足 0 ( ) n x x n → →  且 0 ( 1,2, ) n x x n  =  ，都有 lim ( ) n n f x A → = 。 海涅定理有三方面的应用： （1）若 0 lim ( ) x x f x A → = 存在，但不能求出极限的具体值，可设法找到一收敛于 0 x 的数列 xn

若1imf(x)=A,则limf(x)=A: (2)若找到一收敛于x数列{x},且1imf(x,)不存在，则1imfx)不存在：或者，若找 到两个收敛于x数列{x},{x，lim f(x,)与imfx,)均存在极限，但imfx,)与 mc)不相等，则mfx)不存在： (3)当m)存在但不容易求出时，可考擦mf),若mf)=A,则 limf(m)=A。 8。如何理解无穷小与函数极限之间的关系的应用？ 无穷小与函数极限之间的关系有如下应用： (1)提供了一种求极限的方法。利用这种方法求极限的关键是对给定的数列或函数进行恒 等变形。 例如，由于 23.20-2+ (n+1)2 (n+1)2 而当n→o时， 0中是无穷小，故m2分+n+3-2。 (n+12 再如，因为当x→0时，f)=-16=x+4=4+x,且x为无穷小，所以 x-4 4 (2)运用这一关系可以判断较复杂函数中的某一抽象函数的变化趋势，从而将抽象函数具 体化。关于这一点，我们将在后面以实例给出具体分析。 9.无穷大与无界函数之间的关系。 如果当x→x(或x→0)时，∫(x)为无穷大，则在，的任一去心的邻域内（或 当>X(X>0)时)，f(x)是无界的：反之，如果在x的任一去心邻域内（或当 d>X(X>0)时)，f(x)是无界的，那么当x→x。(或x→0)时，f(x)不一定是无 穷大 对于数列也有类似的结论：无穷大数列一定是无界数列：无界数列不一定是无穷大数列。 例如，函数 0,0<xs1 f(x)=

若 lim ( ) n n f x A → = ，则 0 lim ( ) x x f x A → = ； （2）若找到一收敛于 0 x 数列 xn ，且 lim ( ) n n f x → 不存在，则 0 lim ( ) x x f x → 不存在；或者，若找 到两个收敛于 0 x 数列 xn ，xn  ， lim ( ) n n f x → 与 lim ( ) n n f x →  均存在极限，但 lim ( ) n n f x → 与 lim ( ) n n f x →  不相等，则 0 lim ( ) x x f x → 不存在； （3）当 lim ( ) n f n → 存在但不容 易求出时 ，可考擦 lim ( ) x f x →+ ，若 lim ( ) x f x A →+ = ，则 lim ( ) n f n A → = 。 8．如何理解无穷小与函数极限之间的关系的应用？ 无穷小与函数极限之间的关系有如下应用： （1）提供了一种求极限的方法。利用这种方法求极限的关键是对给定的数列或函数进行恒 等变形。 例如，由于 2 2 2 2 2 2 4 3 2( 1) 1 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) n n n n x n n n + + + + = = = + + + + ， 而当 n → 时， 2 1 ( 1) n + 是无穷小，故 2 2 2 4 3 lim 2 ( 1) n n n → n + + = + 。 再如，因为当 x →0 时， 2 16 ( ) 4 4 4 x f x x x x − = = + = + − ，且 x 为无穷小，所以 2 4 16 lim 4 x 4 x → x − = − 。 （2）运用这一关系可以判断较复杂函数中的某一抽象函数的变化趋势，从而将抽象函数具 体化。关于这一点，我们将在后面以实例给出具体分析。 9．无穷大与无界函数之间的关系。 如果当 0 x x → （或 x → ）时， f x( ) 为无穷大，则在 0 x 的任一去心的邻域内（或 当 x X X   ( 0) 时）， f x( ) 是无界的；反之，如果在 0 x 的任一去心邻域内（或当 x X X   ( 0) 时）， f x( ) 是无界的，那么当 0 x x → （或 x → ）时， f x( ) 不一定是无 穷大。 对于数列也有类似的结论：无穷大数列一定是无界数列；无界数列不一定是无穷大数列。 例如，函数 0,0 1, ( ) 1 ,1 4 1 x f x x x     =      −

在x=1的任一去心的邻域内都是无界的，但当x→1时，f(x)不是无穷大，请同学们自 己证明。 再如，数列1,0,3,0,2n-1,0,.是无界数列，但却不是无穷大数列。 10.无穷多个无穷小的乘积是无穷小吗？ 有限个无穷小的乘积是无穷小，但无穷多个无穷小的乘积却不一定是无穷小。例如 111 {"2345. 2写 1u35 {9}1l4,3 {l5,: 显然，每个数列都是无穷小数列，但.x。.■1，这就说明无限多个无穷小的乘积不 一定是无穷小。 11,若在自变量的某一变化过程中，f(x)与g(x)的极限都不存在，则 f)±g了-g)及/园(g()≠0)的极限是否存在？若f田与g中有一个存 8() 在极限，另一个不存在极限，则x)士g.f)g及/( g8()≠0)的极限是否存 在？ 当与伤限车不存.期生8返得e闲上0的 极限可能存在也可能不存在。 当fx)与g(x)中有一个存在极限，另一个不存在极限时， 广g及图(g)≠0)的极限不一定存在，但)士8)的授限一定不存企 设1imf(x)存在，limg(x)不存在，下面只证lim[f(x)+g(x】存在，对于差的情况 可类似证明。 假设lim[f(x)+g(x】存在，由limf(x)存在及极限的运算法则知

在 0 x =1 的任一去心的邻域内都是无界的，但当 x →1 时， f x( ) 不是无穷大，请同学们自 己证明。 再如，数列 1,0,3,0, ,2 1,0,  −  n 是无界数列，但却不是无穷大数列。 10．无穷多个无穷小的乘积是无穷小吗？ 有限个无穷小的乘积是无穷小，但无穷多个无穷小的乘积却不一定是无穷小。例如，   (1) 1 1 1 1 1 2345 n x ： ， ，.；   (2) 1 1 1 1 2 345 n x ： ， ，.；   (3) 2 1 1 11 3 4 5 n x ： ， ，.；   (4) 3 1 111 4 5 n x ： ， ，.；   (5) 4 11115 n x ： ， ，.； . 显然，每个数列都是无穷小数列，但 1 2 1 n x x x    ，这就说明无限多个无穷小的乘积不 一定是无穷小。 11 ．若在自变量的某一变化过程中， f x( ) 与 g x( ) 的极限都不存在，则 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x f x g x g x g x    及 的极限是否存在？若 f x( ) 与 g x( ) 中有一个存 在极限，另一个不存在极限，则 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x f x g x g x g x    及 的极限是否存 在？ 当 f x( ) 与 g x( ) 的极限都不存在时，则 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x f x g x g x g x    及 的 极限可能存在也可能不存在。 当 f x( ) 与 g x( ) 中 有 一 个 存 在 极 限 ， 另 一 个 不 存 在 极 限 时 ， ( ) ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x f x g x g x g x   及 的极限不一定存在，但 f x( )  g x( ) 的极限一定不存在。 设 lim ( ) f x 存在， lim ( ) g x 不存在，下面只证 lim[ ( ) ( )] f x g x + 存在，对于差的情况 可类似证明。 假设 lim[ ( ) ( )] f x g x + 存在，由 lim ( ) f x 存在及极限的运算法则知

lim ([f(x)+g(x)]-f(x))=limg(x) 存在，这与img(x)不存在矛盾，故limf(x)+g(x】不存在。 12.如果两个数列{x},{}的乘积{y}是无穷小数列，则{x}与{y}中至少有一个是 无穷小数列，这种说法是否正确？ 这种说法是不正确的。例如， {x}为1,0,3,0,5,0，：{y}为0,2,0,4,0,6,0. 显然，{x}与{y,}都不是无穷小数列，但{xy}={0}是无穷小数列。 与此类似的问题是：如果两个数列{x}与{}的乘积{x}是无穷大数列，则 {x}与{y}中至少有一个是无穷大数列。这种说法也是错误的。例如， {x}为1,1,3,1,5,1，：{y}为1,2,1,4,1,6，. 显然，{x}与{}都不是无穷大数列，但{xy}={}是无穷大数列。 13.如何理解复合函数的极限运算法则？ 复合函数极限的存在性可表述如下： 若1imp(x)=,且x≠x时，x)≠4，令u=p(x),则有下述结论成立： )当mf存在且为A(常数)时，必有m八o(=Imf四=A: (2)当limf0=o时，必有lim几ox】=limf(0=o: (3)当1imf()不存在（也不是无穷大）时，极限1imf几ox】可能存在，也可能不存在。 首先，条件“x≠无时，(x)≠山，”是不可缺少的，若去掉这一条件，结论就不一定 成立了。例如， 0,u=0, 1u≠0. 此时，f几o(x月= 0.x= (n=l,±2，.) 显然，im(x不存在。如果不检验变量代换的条件，即检验“x≠0时

lim [ ( ) ( )] ( ) lim ( )  f x g x f x g x + − = 存在，这与 lim ( ) g x 不存在矛盾，故 lim[ ( ) ( )] f x g x + 不存在。 12．如果两个数列 x y n n ,  的乘积 x yn n 是无穷小数列，则 x y n n 与  中至少有一个是 无穷小数列，这种说法是否正确？ 这种说法是不正确的。例如， xn 为 1,0,3,0,5,0,.； yn 为 0，2，0，4，0，6，0.。 显然， x y n n 与  都不是无穷小数列，但 x yn n =0 是无穷小数列。 与此类似的问题是：如果两个数列 x y n n 与  的乘积 x yn n 是无穷大数列，则 x y n n 与  中至少有一个是无穷大数列。这种说法也是错误的。例如， xn 为 1,1,3,1,5,1,.； yn 为 1，2，1，4，1，6，.。 显然， x y n n 与  都不是无穷大数列，但 x y n n n =  是无穷大数列。 13．如何理解复合函数的极限运算法则？ 复合函数极限的存在性可表述如下： 若 0 0 lim ( ) x x  x u → = ，且 0 x x  时， 0 ( ) x u  ，令 u x = ( ) ，则有下述结论成立： （1）当 0 lim ( ) u u f u → 存在且为 A （常数）时，必有 0 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u u f x f u A  → → = = ； （2）当 0 lim ( ) u u f u → =  时，必有 0 0 lim [ ( )] lim ( ) x x u u f x f u  → → = =  ； （3）当 0 lim ( ) u u f u → 不存在（也不是无穷大）时，极限 0 lim [ ( )] x x f x  → 可能存在，也可能不存在。 首先，条件“ 0 x x  时， 0 ( ) x u  ”是不可缺少的，若去掉这一条件，结论就不一定 成立了。例如， 设 1 0, 0, ( ) sin ( 0), ( ) 1, 0. u u x x x f u x u   = = =  =    此时， 1 0, , [ ( )] 1 1, . x n f x x n     =  =     （ n =   1 2 ， ，.） 显然， 0 lim [ ( )] x f x  → 不存在。如果不检验变量代换的条件，即检验“ x  0 时

p(x)=xsin二≠0”这一条件是否满足，而运用极限的变量代换法则，就会得到 lim fo(x】)=limf0）=l. 这当然是错误的的结果。 其次，当imf)不存在（也不为无穷大）时，不能认为m/儿(x】一定不存在。 例如，lim sinu不存在，但极限lim sin（)+却是存在的，事实上，当n≤x0,则有limu=0,此时 lo/Iox=lime宁=0. 14.夹逼定理的使用方法与技巧。 利用夹逼定理求数列极限的关键在于：根据数列{x,}通项的结构特点，利用常用的放 缩技巧找出符合定理条件的数列{y,}和{仁}。常用的技巧即为下述结论： (1)若干个正数乘积中，大于1的因子略去则缩小，小于1的因子略去则放大： (2)分子、分母同为正数，分母缩小，则此数放大，分母放大则此数缩小： (3)n个正数之和可放大为（不超过）最大数乘以n,可缩小为（不小于）最小数乘以n: (4)n个正数之和可放大为（不超过）最大数乘以n,可缩小为最大数。 15.若对任意的x,都有g(x)≤f(x)≤hx),且limh(x)-g(x】=0,是否可以利用夹 逼定理推出1imf()存在？ 由于由1imh(x)-g(x】=0并不能说明1img(x),1imh(x)均存在，因而不能保证 1 2 2 儿)存在.例如取g=++)=x++到=++子显然有 g(x)sf(x)≤hx), 且1imMx)-g(x]=0, 但limf(x)不存在。 16有些数列是由递推公式来确定的，能否通过在递推公式两端取极限的方法来求其极限？ 只有保证数列极限存在的前提条件下，才能使用这种方法。例如，设x=1x1=一x,(n 为正整数)，此数列的极限不存在，但若在递推公式两端取极限（设极限为a),则有α=-a

1 ( ) sin 0 x x x  =  ”这一条件是否满足，而运用极限的变量代换法则，就会得到 0 0 lim [ ( )] lim ( ) 1 x u f x f u  → → = = 。 这当然是错误的的结果。 其次，当 0 lim ( ) u u f u → 不存在（也不为无穷大）时，不能认为 0 lim [ ( )] x f x  → 一定不存在。 例如， lim sin u u →+ 不存在，但极限 1 lim sin ([ ] ) x x x  →+ + 却是存在的，事实上，当 n x n   +1 时， [ ] x n = ，于是 1 lim sin ([ ] ) lim ( ) lim ( 1) sin 0 n x x x x n x x x     →+ →+ →+ + = + = − = 。 又如，设 1 ( ) u f u e − = ，则 0 lim ( ) u f u → 不存在。若取 2 u x =  0 ，则有 0 lim 0 x u → = ，此时 2 1 0 0 lim [ ( )] lim 0 x x x f x e  − → → = = 。 14．夹逼定理的使用方法与技巧。 利用夹逼定理求数列极限的关键在于：根据数列 xn 通项的结构特点，利用常用的放 缩技巧找出符合定理条件的数列 y z n n 和  。常用的技巧即为下述结论： （1）若干个正数乘积中，大于 1 的因子略去则缩小，小于 1 的因子略去则放大； （2）分子、分母同为正数，分母缩小，则此数放大，分母放大则此数缩小； （3） n 个正数之和可放大为（不超过）最大数乘以 n ，可缩小为（不小于）最小数乘以 n ； （4） n 个正数之和可放大为（不超过）最大数乘以 n ，可缩小为最大数。 15．若对任意的 x ，都有 g x f x h x ( ) ( ) ( ),   且 lim[ ( ) ( )] 0 x h x g x → − = ，是否可以利用夹 逼定理推出 lim ( ) x f x → 存在？ 由于由 lim[ ( ) ( )] 0 x h x g x → − = 并不能说明 lim ( ),lim ( ) x x g x h x → → 均存在，因而不能保证 lim ( ) x f x → 存在。例如，取 2 2 2 1 2 3 ( ) , ( ) , ( ) 1 1 1 g x x f x x h x x x x x = + = + = + + + + ，显然有 g x f x h x ( ) ( ) ( ),   且 lim[ ( ) ( )] 0 x h x g x → − = ， 但 lim ( ) x f x → 不存在。 16 有些数列是由递推公式来确定的，能否通过在递推公式两端取极限的方法来求其极限？ 只有保证数列极限存在的前提条件下，才能使用这种方法。例如，设 1 1 1, ( n n x x x n = = − + 为正整数），此数列的极限不存在，但若在递推公式两端取极限（设极限为 a ），则有 a a =−

于是导出a=0的错误结果。 7、第一个重要极限四nx=1的变形。 首先应注意这个重要极限与下列极限的区别和联系： (1)sinx=1: (2)limxsin-=0: (3)sinx-0: 4m0r:0: (5)m2sin=0: (6)limxsin=1: 其次，利用复合函数的极限运算法则，可对这个重要极限作出如下的推广： 若m)=0,且)≠0，则有msin-1. 18第二个重要极限回1+=e的变形 (1)im 2)m+x=e:(3)lm-)i=e。 5)若应=0，则l+w网=e,亦有四l-vx划元=e 19。利用等价无穷小的代换求极限时，应注意什么问颗？ 作等价无穷小的代换时，必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小。但 是，如果对分子（或分母）中的某个加项作代换，则不能保证代换后的新分子（或新分母 与原来的分子（或分母）是等价无穷小。例如，在求极限 时，若将tanx,sinx均换成x,则分子变成0，求出的极限为0，而事实上 tanx-sinxx(x→0. 如果分子（或分母）为若干个因子的乘积，那么可以对其中的一个或若干个无穷小因子 作代换，这时可保证所得的新分子（或分母）的整体与原米的分子（或分母）的整体是等价 无穷小。 20.关于高阶无穷小的运算，应注意什么问题？

于是导出 a = 0 的错误结果。 17．第一个重要极限 0 sin lim 1 x x → x = 的变形。 首先应注意这个重要极限与下列极限的区别和联系： （1） 0 1 lim sin 1 x x → x = ； （2） 0 1 lim sin 0 x x → x = ； （3） 0 lim sin 0 x x x → = ； （4） sin lim 0 x x → x = ； （5） 1 1 lim sin 0 x→ x x = ； （6） 1 lim sin 1 x x → x = ； 其次，利用复合函数的极限运算法则，可对这个重要极限作出如下的推广： 若 0 ( ) lim ( ) 0, ( ) 0 x x x u x u x → → =  且 ，则有 0 ( ) sin ( ) lim 1 ( ) x x x u x → u x → = 。 18．第二个重要极限 1 lim 1 x x e → x     + =   的变形。 （1） 1 lim 1 x x e x − →     − =   ； （2） 1 0 lim(1 ) x x x e → + = ； （3） 1 0 lim(1 ) x x x e − → − = 。 （4）若 0 ( ) lim ( ) x x x  x → → =  ，则 0 ( ) ( ) 1 lim 1 ( ) x x x x e x  →  →     + =   ，亦有 0 ( ) ( ) 1 lim 1 ( ) x x x x e x   − → →     − =   。 （5）若 0 ( ) lim ( ) 0 x x x  x → → = ，则 0 1 ( ) ( ) lim [1 ( )] x x x x x e   → → + = ，亦有 0 1 ( ) ( ) lim [1 ( )] x x x x x e   − → → − = 。 19．利用等价无穷小的代换求极限时，应注意什么问题？ 作等价无穷小的代换时，必须将分子和分母的整体分别换成它们各自的等价无穷小。但 是，如果对分子（或分母）中的某个加项作代换，则不能保证代换后的新分子（或新分母） 与原来的分子（或分母）是等价无穷小。例如，在求极限 3 0 tan sin lim x x x → x − 时，若将 tan ,sin x x 均换成 x ，则分子变成 0 ，求出的极限为 0 ，而事实上 3 2 0 0 tan sin tan 1 cos 1 1 lim lim 1 x x 2 2 x x x x → → x x x − −   =  =  =     ， 即 tan sin x x − ～ 1 3 2 x （ x →0 ）。 如果分子（或分母）为若干个因子的乘积，那么可以对其中的一个或若干个无穷小因子 作代换，这时可保证所得的新分子（或分母）的整体与原来的分子（或分母）的整体是等价 无穷小。 20．关于高阶无穷小的运算，应注意什么问题？

高阶无穷小具有如下的运算规律： (1)ox")±ox")=ox) (2)当m>n时，o(x)±o(x)=o(x”): (3)o(x")o(x")=o(x*"): (4)okx")=o(x"k≠0)。 应注意以下两点： (1)认为x→0时o(x")-0(x)=0,这是错误的。 例如，x→0时，x2=o(x),x2=o(x),但x2-x2≠0 (2)认为x→0，m>n时，有0二-=0x),这同样是错误的，例如，x→0时， o(x") =0，=o.但二却是x→0时的无穷大。 21.如何理解函数在点处连续的几种不同形式的定义？ 函数y=f(x)在点x。连续的定义有三种形式： 定义1设函数y=f(x)点x的某一邻域内有定义，如果 imAy=limf(x。+△x)-f(x月=0， 则称函数y=f(x)在点x连续。 定义2设函数y=∫(x)点x的某一邻域内有定义，如果 lim f(x)=f(x), 则称函数y=f(x)在点x连续。 定义3设函数y=∫(x)点x的某一邻域内有定义，如果对任意的正数，总存在正 数8，使得对于适合不等式x-x<6的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式 f(x)-f()<, 则称函数y=∫(x)在点x连续

高阶无穷小具有如下的运算规律： （1） ( ) ( ) ( ) n n n o x o x o x  = ； （2）当 m n  时， ( ) ( ) ( ) m n n o x o x o x  = ； （3） ( ) ( ) ( ) n n m n o x o x o x +  = ； （4） ( ) ( )( 0) n n o kx o x k =  。 应注意以下两点： （1）认为 x →0 时 ( ) ( ) 0 n n o x o x − = ，这是错误的。 例如， x →0 时， 2 3 2 3 x o x x o x x x = = −  ( ), ( ), 0 但 ； （2）认为 x →0 ， m n  时，有 ( ) ( ) ( ) m m n n o x o x o x − = ，这同样是错误的，例如， x →0 时， 3 3 2 4 4 ( ), ( ), x x o x x o x x = = 但 却是 x →0 时的无穷大。 21．如何理解函数在点 0 x 处连续的几种不同形式的定义？ 函数 y f x = ( ) 在点 0 x 连续的定义有三种形式： 定义 1 设函数 y f x = ( ) 点 0 x 的某一邻域内有定义，如果 0 0 0 0 lim lim[ ( ) ( )] 0 x x y f x x f x  →  →  = +  − = ， 则称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 连续。 定义 2 设函数 y f x = ( ) 点 0 x 的某一邻域内有定义，如果 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ， 则称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 连续。 定义 3 设函数 y f x = ( ) 点 0 x 的某一邻域内有定义，如果对任意的正数  ，总存在正 数  ，使得对于适合不等式 0 x x −   的一切 x ，对应的函数值 f x( ) 都满足不等式 0 f x f x ( ) ( ) −   ， 则称函数 y f x = ( ) 在点 0 x 连续

从建构过程来看，定义1是在增量与极限这两个概念的基础上建立起来的，而定义2 是在极限概念的基础上建立起来的，是一般极限概念的特殊化，它们的建构基础是不同的， 但二者是可以相互转化的：把定义2转化为“￡-8”语言，就是定义3。因此这三种形式 的定义实际上是等价的。再考虑左、右连续与连续之间的关系，那么，如果函数y=∫(x)在 点x。的某一邻域内有定义，则下面四个条件是等价的： (1)im4y=0,其中Ay=f(+A)-f(x) (2)imf()). (3)对任意的正数，存在正数6，当r-x0 是间断的，但 y(sin(x)sim+). sin(x-π)，x≤0，「-sinx,x≤0， (-sin.>0=-sinx 在点x=0是连续的： 又如 函数u=()=x在点x=0连续，y=f四)=e,山≠0，在点u=p(0)=0是间断的， 0,w=0 但复合函数y=f几(x】= e产，x+0,在点x=0是连续的。 0.x=0 再如，u=x)= x+0在点x=0不连续，y=f四- +0.在点=90)=0 0.x=0 0,4=0

从建构过程来看，定义 1 是在增量与极限这两个概念的基础上建立起来的，而定义 2 是在极限概念的基础上建立起来的，是一般极限概念的特殊化，它们的建构基础是不同的， 但二者是可以相互转化的；把定义 2 转化为“   − ”语言，就是定义 3。因此这三种形式 的定义实际上是等价的。再考虑左、右连续与连续之间的关系，那么，如果函数 y f x = ( ) 在 点 0 x 的某一邻域内有定义，则下面四个条件是等价的： （1） 0 lim 0 x y  →  = ，其中 0 0  = +  − y f x x f x ( ) ( ) ； （2） 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = ， （3）对任意的正数  ，存在正数  ，当 0 x x −   时，有 0 f x f x ( ) ( ) −   ； （4） 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x → → + − = = 。 22．如何理解复合函数的连续性？ 函数 u x = ( ) 在点 0 x 连续及 y f u = ( ) 在点 0 0 u x ( ( )) = 连续是复合函数 y f x = [ ( )]  在点 0 x 连续的充分条件，而不是必要条件。也就是说，如果函数 u x = ( ) 和 y f u = ( ) 中至 少有一个不连续，则复合函数 y f x = [ ( )]  未必不连续。如 y f u u = = ( ) sin 在任意一点处都是连续的，而 , 0, ( ) , 0 x x u x x x     −  = =   +  在点 x = 0 处 是间断的，但 sin( ), 0, sin , 0, [ ( )] sin ( ) sin sin( ), 0 sin , 0 x x x x y f x x x x x x x       −  −  = = = = = −     +  −  在点 x = 0 是连续的。 又如 函数 2 u x x = = ( ) 在点 x = 0 连续， 1 , 0, ( ) 0, 0 u e u y f u u  −   = =   = 在点 u = = (0) 0 是间断的， 但复合函数 2 1 , 0, [ ( )] 0, 0 x e x y f x x   −   = =   = 在点 x = 0 是连续的。 再如， 1 , 0, ( ) 0, 0 x u x x x     = =    = 在点 x = 0 不连续， 1 , 0, ( ) 0, 0 u y f u u u    = =    = 在点 u = = (0) 0

处也是不连续的，但复合函数y=fLp(x】= x,x≠0， =x在点点x=0是连续的。 0,x=0 23.关于初等函数连续性的结论，为什么不能改写为“初等函数在其定义域内是连续的”？ 基本初等函数在其定义域内是连续的，也就是说哪里有定义哪里就连续。而初等函数在 其定域内不一定是连续的，只在其定义域内的点构成的区间内才是连续的。例如，函数 y=√Sinx可是初等函数，它在其定义域D={xX=2kz+交，k=0,±1，土2，内的每一 点处都是不连续的，因为其定义域的任何子集都不能构成一个区间。 24.在闭区间上连续函数的性质主要有哪些应用？ 闭区间上连续函数的性质主要体现出两个方面的应用： (1)证明中值命题。函数（或其导数）在某区间内具有的某些性质可用等式或不等式的关 系表示，其共同特点是这些关系在该区间中至少有一点成立，常称这类命题为中值命题。中 值命题的结论有等式关系和不等式关系，主要利用介值定理来处理这类问题。 (2)证明方程实根的存在性问题。证明方程在某区间内有实根的问题常常转化为证明某个 函数在该区间内有零点。其证明的一般步骤为：构造函数：确定区间：验证构造的函数满足 零点存在定理的条件。实根的唯一性常用函数的单调性或反证法。 25.求极限的主要方法有哪些？ (1)定义法： (2)无穷小的运算性质： (3)极限的四则运算法则 (4)极限存在的两个准则： (5)两个重要极限： (6)初等函数的连续性： (7)泰勒定理： (8)洛比塔法则： (9)定积分的定义 (10)级数收敛的必要条件，等等。 在求极限过程中，分子、分母有理化，等价无穷小的代换等是经常使用的技巧。 本章主要涉及到三类问题，即极限的求法、函数连续性的讨论和闭区间上连续函数的性 质的应用，下面通过具体例子指出解决每类问题的思想方法和技巧

处也是不连续的，但复合函数 , 0, [ ( )] 0, 0 x x y f x x x    = = =   = 在点点 x = 0 是连续的。 23．关于初等函数连续性的结论，为什么不能改写为“初等函数在其定义域内是连续的”？ 基本初等函数在其定义域内是连续的，也就是说哪里有定义哪里就连续。而初等函数在 其定域内不一定是连续的，只在其定义域内的点构成的区间内才是连续的。例如，函数 y x = − sin 1 是初等函数，它在其定义域 2 , 0, 1, 2, 2 D x x k k     = = + =        内的每一 点处都是不连续的，因为其定义域的任何子集都不能构成一个区间。 24．在闭区间上连续函数的性质主要有哪些应用？ 闭区间上连续函数的性质主要体现出两个方面的应用： （1）证明中值命题。函数（或其导数）在某区间内具有的某些性质可用等式或不等式的关 系表示，其共同特点是这些关系在该区间中至少有一点成立，常称这类命题为中值命题。中 值命题的结论有等式关系和不等式关系，主要利用介值定理来处理这类问题。 （2）证明方程实根的存在性问题。证明方程在某区间内有实根的问题常常转化为证明某个 函数在该区间内有零点。其证明的一般步骤为：构造函数；确定区间；验证构造的函数满足 零点存在定理的条件。实根的唯一性常用函数的单调性或反证法。 25．求极限的主要方法有哪些？ （1）定义法； （2）无穷小的运算性质； （3）极限的四则运算法则； （4）极限存在的两个准则； （5）两个重要极限； （6）初等函数的连续性； （7）泰勒定理； （8）洛比塔法则； （9）定积分的定义； （10）级数收敛的必要条件，等等。 在求极限过程中，分子、分母有理化，等价无穷小的代换等是经常使用的技巧。 本章主要涉及到三类问题，即极限的求法、函数连续性的讨论和闭区间上连续函数的性 质的应用，下面通过具体例子指出解决每类问题的思想方法和技巧