《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学7.7 常系数齐次线性微分方程

第七节 第七章 常系数齐次线性微分方程 基本思路 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第七节 齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根 转化 第七章

二阶常系数齐次线性微分方程 y”+py'+qy=0(p,q为常数) 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子 所以令①的解为y=e'x(r为待定常数)，代入①得 (r2+pr+q)e"x =0 r-+pr+q=0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根 1.当p2-4q>0时，②有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：片=e1x,y2=e 因此方程的通解为y=C,ehx+C2e2x HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二阶常系数齐次线性微分方程: r x y = e 和它的导数只差常数因子, 代入①得 ( ) 0 2 + + = r x r pr q e 0 2 r + pr + q = 称②为微分方程①的特征方程, 1. 当 4 0 2 p − q  时, ②有两个相异实根 方程有两个线性无关的特解: 因此方程的通解为 r x r x y C e C e 1 2 = 1 + 2 ( r 为待定常数 ), ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.当p2-4q=0时，特征方程有两个相等实根1=2 =号，则微分方程有一个特解1=e1 设另一特解y2=y1u(x)=e1'u(x) (u(x)待定 代入方程得： è[(+2r+2)+pu+r)+q4]=0 W"+(2r+p)4+(+pr+q)u=0 注意1是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xe1x,因此原方程的通解为 y=(CI+C2x)ex HIGH EDUCATION PRESS 返回结束

2. 当 4 0 2 p − q = 时, 特征方程有两个相等实根 则微分方程有一个特解 设另一特解 ( u (x) 待定) 代入方程得: [ 1 r x e ( ) ( 2 ) + p u  + r1u + qu  = 0 2 u  + r1u  + r1 u 是特征方程的重根 u  = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x y = x e 因此原方程的通解为 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 (2 ) ( 1 ) 0 2 u  + r1 + p u  + r1 + p r + q u = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.当p2-4q<0时，特征方程有一对共轭复根 n=a+iB,n=a-iB 这时原方程有两个复数解 ye()x=e(cosBx+isinBx) y2=e(-i)x=eax(cos Bx-isin Bx) 利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解 =(M+y2)=e2xcosβx 2()=es sin Bx 因此原方程的通解为 y=e (C]Cos Bx+C2 sin Bx) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 当 4 0 2 p − q  时, 特征方程有一对共轭复根 这时原方程有两个复数解: i x y e ( ) 1 +  = e (cos x i sin x ) x    = + i x y e ( ) 2 −  = e (cos x i sin x ) x    = − 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解: ( ) 2 1 2 1 1 y = y + y ( ) 2 1 2 1 2 y y y i = − e x x   = cos e x x   = sin 因此原方程的通解为 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 机动 目录 上页 下页 返回 结束

小结： y”+py'+qy=0(p,q为常数) 特征方程2+pr+q=0,特征根：n,2 特征根 通 解 1≠乃实根 y=Cien*+Cze"* 1=2=-号 y=(C]+C2x)e"x 1,2=a±iB y=e*(C cos Bx+C2 sin Bx) 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目司 下页返回结束

小结: y  + p y  + q y = 0 ( p, q为常数) 0, 2 特征方程: r + pr + q = r x r x y C e C e 1 2 实根 = 1 + 2 r x y C C x e 1 ( ) = 1 + 2 ( cos sin ) 1 2 y e C x C x x    = + 特 征 根 通 解 以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求方程y”-2y-3y=0的通解 解：特征方程2-2r-3=0,特征根1=-1,2=3， 因此原方程的通解为y=C1ex+C2e3 2十2 +S=0 例2.求解初值问题 dt ds S0=4 dz=0=-2 解：特征方程r2+2r+1=0有重根1=2=-1， 因此原方程的通解为s=(C+C2t)e 利用初始条件得 C1=4,C2=2 于是所求初值问题的解为s=(4+2t)et HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 求方程 y  − 2 y  −3 y = 0 的通解. 解: 特征方程 2 3 0, 2 r − r − = 特征根: 1, 3 , r1 = − r2 = 因此原方程的通解为 例2. 求解初值问题 0 d d 2 d d 2 2 + + s = t s t s 4 , s t=0 = 2 d 0 d = − t t = s 解: 特征方程 2 1 0 2 r + r + = 有重根 1, r1 = r2 = − 因此原方程的通解为 t s C C t e − = ( + ) 1 2 利用初始条件得 4, C1 = 于是所求初值问题的解为 C2 = 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4-5.质量为的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上， 在无外力作用下做自由运动，取其平衡位置为原点建 立坐标系如图，设1=0时物体的位置为x=x0,初始 速度为'O,求物体的运动规律x=x() 解：由第六节例1知，位移满足 自由振动方程，因此定解问题为 dx +2n +k2x=0 x1=0=x0, HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结

例4-5. x x o 解: 由第六节例1 知, 位移满足 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 在无外力作用下做自由运动, 初始 求物体的运动规律 立坐标系如图, 设 t = 0 时物体的位置为 取其平衡位置为原点建 0 0 d d v t x x t =0 = x0 , t = = + 2 2 d d t x 0 2 + k x = t x n d d 2 自由振动方程 , 因此定解问题为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

1)无阻尼自由振动情况（n=0) 方程 d d2+k2x=0 特征方程r2+k2=0,特征根：1,2=士ik 方程通解：x=C]coskt-+C2 sinkt 利用胎客件得G=06-日 故所求特解 x=xcoskt+sinkt k =Asin(kt+p〉 kxo tanΦ= HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

方程: +2 2 d d t x 0 2 k x = 特征方程: 0, 2 2 r + k = r = i k 特征根 1, 2 : x C cos k t C sin k t = 1 + 2 利用初始条件得: , 1 0 C = x 故所求特解: k t k v x x cos k t sin 0 = 0 + A 0 x k v0  方程通解: 1) 无阻尼自由振动情况 ( n = 0 ) k v C 0 2 = ( ) 0 0 2 2 2 0 0 , tan v kx k v A = x +  = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

解的特征： x=Asin(kt+) 简谐振动 A:振幅， 0:初相， 周期T= 2π k= 固有频率（仅由系统特性确定） m （下图中假设，-0=>0-0=0>0) A 0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

解的特征: 简谐振动 A: 振幅,  : 初相, 周期: 固有频率 0) d d =0 = v0  t x t ( 0, 下图中假设 x t =0 = x0  机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定)

2)有阻尼自由振动情况 方程 d+2n +k2x=0 x dt 特征方程r2+2nr+k2=0 特征根 1,2=-n±Vn2-k2 这时需分如下三种情况进行讨论 小阻尼nk→x=Ce'+C2e 解的特征 临界阻尼：n=k→x=(C1+C2)e” 解的特征 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

方程: 特征方程: 2 0 2 2 r + n r + k = 2 2 1, 2 特征根: r = −n  n − k 小阻尼: n k 临界阻尼: n = k + 2 2 d d t x 0 2 +k x = t x n d d 2 解的特征 解的特征 解的特征 机动 目录 上页 下页 返回 结束