《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）高等数学3.2

第二为 第三章 洛必达法则 一、 00 型未定式 型未定式 三、其他未定式 HIGH EDUCATION PRESS

三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 第二节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章

函数的性态 微分中值定理 11 导数的性态 本节研究： 0 函数之商的极限lim f(x) 或 型 8(x) 转化 洛必达法则 导数之商的极限lim fx) gdx) 格必达，G.平，hde HIGH EDUCATION PRESS 洛必达目录 上页 返回 结束

微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型 ) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束

一、 型未定式 0 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x®a x®a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F4x)10 3)lim 存在（或为￥） x®aF4x lim f(x) lim x®aF(X) x®aFx) (洛必达法则) HIGH EDUCATION PRESS 结

一、 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理条件：1)limf(x)=limF(x)=0 x®a 0 x®a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F4x)O 3) lim/ x®aFx) 存在（或为￥） 证：无妨假设f(a)=F(a)=0,在指出的邻域内任取 x1a,则f(x),F(x)在以x,a为端点的区间上满足柯 西定理条件，故 f(x)=f(x)-f(afx） (口在x,a之间) F(x) F(x)-F(a) Fx】 lim 1) lim 3) lim fdx) x®aF(x aF4x） x⑧aFx) HIGH EDUCATION PRESS 动 上 下页 返回 结录

( ￾ 在 x , a 之间) 证: 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在 (或为 )

洛必达法则 lim f(x) lim dx) ®aF(x x®aFx) 推论1.定理1中xRa换为 x®a,x®a,xR￥，x®+￥，x®-￥ 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1i f 仍扇 型，且f4x),F4x)满足定 理1条件，则 lim)=lim)=lim fdx) F(x) HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录 结束

推论1. 定理 1 中 换为 之一, 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

x3.3x+2 0 例2.求lim 型 1x3-x2.x+1 0 解：原式-lim 3x2.3 xR13x2.2x-1 6x 3 lim x®16x-2 2 注意：不是未定式不能用洛必达法则！ 6x 6 lim lim=】 ⑧16x-2 x®16 HIGH EDUCATION PRESS 目录 返回 结球

例2. 求 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

0 例4.求1im arctan x 型 x®+￥ 1 0 解：原式=lim 1+ x®+￥ 型 ￥ lim lim ®+￥1+x2 arctan n 思考：如何求lim (n为正整数) n®￥ HIGH EDUCATION PRESS 结束

例4. 求 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 ￥ 型未定式 定理2. 1)limf(x)=limF(x)=￥ x®a x®a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F4x)10 3) 1im/4r)） 存在（或为∞） x®aF4x) lim f) lim (洛必达法则) x®aF(x) aF4x） 证明略 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结束

二、 型未定式 存在 (或为∞) 定理 2. 证明略. (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.求lim In x ￥ (n>0) 型 x®+￥ xn 解：原式=lim lim x®+￥ x-1,x xHe7x 例6.求1im (n>0,1>0) ￥ 型 解：(1)n为正整数的情形 原式=lim nn-1 lim m(n-1)xn-2 x®+￥ x®+￥ 12elx n! =L lim =0 x®+IneI HIGH EDUCATION PRESS

例5. 求 解: 原式 例6. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例6.求1im x (n>0,1>0) x®+￥e (2)n不为正整数的情形 存在正整数k,使当x>1时 xk<x"<xktl k+1 从而 用夹逼准则 e 由(1) lim- lim =0 x®+￥e x®+￥e n lim -=0 x®+￥e HIGH EDUCATION PRESS 打动 目录 结球

例6. 求 (2) n 不为正整数的情形. 从而 由(1) 用夹逼准则 存在正整数 k , 使当 x > 1 时, 机动 目录 上页 下页 返回 结束