《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学5.3 定积分的换元法和分部积分法

第三为 第五章 定积分的换无法和 分部积分法 不定积分 换元积分法 换元积分法 定积分 分部积分法 分部积分法 定积分的换元法 二、 定积分的分部积分法 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章

定积分的换元法 定理1.设函数f(x)∈C[a,b],单值函数x=p(t)满足 1)p(t)eC'[a,],p(a)=a,2(β)=b: 2)在[，]上a≤p(t)≤b, 则 [f(d=)dr 证：所证等式两边被积函数都连续，因此积分都存在 且它们的原函数也存在.设F(x)是f(x)的一个原函数， 则F[p(t)]是f[p(t)]p'(t)的原函数，因此有 J,f(x)dx=F(b)-F(a)=FI(B)]-FIp(a)] =f[p(】p'()di HIGH EDUCATION PRESS 「下页返回结束

一、定积分的换元法 定理1. 设函数 单值函数 满足: 1) ( ) [ , ], 1  t C   2) 在 [ , ] 上 () = a,() = b; (t) (t) 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 则 是 的原函数 , 因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则

心rcx)r=∫2JIo0】o'u)d 说明： 1)当B<α，即区间换为[B,a]时，定理1仍成立 2)必需注意换元必换限，原函数中的变量不必代回 3)换元公式也可反过来使用，即 Loe0o'u)d=a广x)dx(令x=p） 或配元fIpu)lp')d1=fIp0)ldoe) 配元不换限 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 1) 当 <  , 即区间换为 [ ,]时， 定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 f x x (令x =(t)) b a ( )d  = 或配元 (t) d(t) 配元不换限 (t) (t) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (t) (t) (t) (t)

例1.计算Va2-x2d(a>0) 解：令x=asint,.则dx=acostdt,.且 当x=0时，t=0;x=a时，t=受 .原式=a2∫cos21d1 V=V -x (cos2ndr HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2  x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2  = +  sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2   2 0  cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

例2.计算 cos'xsin xdx 解：令t=cosx,则dt=-sinxdx,且 当x=0时，t=1;x=Ξ时，t=0, ∴原式=∫2 cos'xsin xdx e时fro-ira-6-日 HIGH EDUCATION PRESS e0C①8 机动目录上页下页返回结束

例2. 计算 解: 令 t x = cos , 则 d sin d , t x x = − 当x t = = 0 , 1; 时 2 x t , 0.  = = 时 ∴ 原式 = 1 0 1 5 5 6 1 0 0 1 1 - d d 6 6 t t t t t   = = = =       机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

例3.计算 vin'x-sin'xd 解：.原式=∫Vsinx-sin'xdx sin'(-sin)dsinosd =j原V5 sid-后V6m'd Vsin'xdsin x-Vsin'x dsinx. f- HIGH EDUCATION PRESS 目录上页下页返回结束

例3. 计算 解: ∴ 原式 = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4计算 dx. 解：令1=2x+l,则x= 2-1,dx=dt,且 2 当x=0时，t=1;x=4时，1=3. 原式= +2d 2 =ge2+3)a 对-月 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例4. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2  + − (t 3)dt 2 1 3 1 2  = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且

例5.设f(x)eC[-a,a, 偶倍奇零 (1)若f(-x)=f(x),则，f(x)dx=20fx)dr (2)若f(-x)=-f(x),则f(x)dx=0 证：fx)dx=nfd+6fxd =∫0f(-)d+0fx)dx 令x=- =∫f(-x)+f(x)]dx ， f(-x)=-f(x)时 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例5. 证: (1) 若   − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x a a ( )d (2) 若 ( )d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( )d 0  + f t t a ( )d 0  = − f x x a ( )d 0  + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0  = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令x = −t =

例6.设f(x)在[0,1连续，证明 indx(codx (2小心(sin)dx-后f(sin )dx并计算 xsin x-dx 代+w五 解： (1)令x=2 原式 =-/n(子d月/d-月/(o.dx HIGH EDUCATION PRESS D◆0C08 机动目录上页下页返回结束

例6. 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 连续,证明 并计算 （1）令 原式

(2)令x=π-1 原式 =-∫(r-)fsim(r-》d-∫(r-0fsin)d f(sint)di-f(sint)dr =J。πf(sinx)d(sin)dx 原式=及f(sin)dx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）令 原式 原式