《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学4.3 分部积分法

第三节 第四章 分部积分法 由导数公式 (2w)'=u'y+w 积分得： m=∫d+∫w'd 分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得； 2)「uvdr比uv'dr容易计算 HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

第三节 由导数公式 (uv) = u  v + uv  积分得: uv = u  vdx + uv dx   分部积分公式 uv dx uv u v dx    = −  或 ud v uv v du   = − 1) v 容易求得 ; 容易计算 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分部积分法 第四章

例1.求xcos x dx 解：令u=x,v=CoSx, 则u'=1,v=sinx .原式=xsinx-sinxdx =xsinx+cosx+C 思考：如何求∫x2 sinxdx? HIGH EDUCATION PRESS ©-色OC®8 机动目录上页下页返回结束

例1. 求 解: 令 u = x, v  = cos x, 则 u  =1, v = sin x ∴ 原式 = xsin x  − sin x dx = xsin x + cos x +C 思考: 如何求 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2.求 「xe'dr 解：令u=x,dv=edx,则du=dx,v=e故 原式=xe-∫edx =xex-e*+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 令 u x = , 则 d d , x u x v e = = 故 原式 = d x x xe e x −  例2. 求 d d , x v e x =

例4.求xInxdx 解：令u=lnx,v'=x 则 原武=号产nx-jxd 2x21nx-2+C HIGH EDUCATION PRESS ©-色OC®8 机动目录上页下页返回结束

例4. 求 x ln x dx.  解: 令 u = ln x, v  = x 则 , 1 x u  = 2 2 1 v = x 原式 = x ln x 2 1 2  − x dx 2 1 = x x − x +C 2 2 4 1 ln 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例5.求arccos xd 解： -xarceosx-d-) xarccosx-(1-x2)2+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 = 2 1 arccos d 1 x x x x x +  −  例5. 求

例6.求x arctanxdx 解：令u=arctanx,v'=x 则 w=1 1+x2y= 原式=x arctan- arctanx- 2)d 1 )x2 rctanx-(x-arctanx)+C HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例6. 求 x arctan x dx.  解: 令 u = arctan x, v  = x 则 , 1 1 2 x u +  = 2 2 1 v = x ∴ 原式 x arctan x 2 1 2 =  + − x x x d 2 1 1 2 2 x arctan x 2 1 2 =  + − − x x ) d 1 1 (1 2 1 2 x arctan x 2 1 2 = − (x − arctan x) +C 2 1 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例7.求e sinx dx. 解：令u=sinx,v'=ex,则 u'=cosx,v=ex .原式=e*sinx-∫cosx dx 再令u=cosx,v'=ex,则 u'=-sinx,v=ex =e*sinx-e*cosx-[e*sinxdx 故原式=e'(sinx-cosx)+C 说明：也可设u=e',v'为三角函数，但两次所设类型 必须一致 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例7. 求 e sin x dx. x  解: 令 u = sin x, x v  = e , 则 u  = cos x, x v = e ∴ 原式 e x x = sin  − e x x x cos d 再令 u = cos x, x v  = e , 则 u  = −sin x, x v = e e x x = sin  − e x − e x x x x cos sin d 故 原式 = e x x C x (sin − cos ) + 2 1 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次所设类型 必须一致 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例9.求∫edx 解：令x=t,则x=t2,dx=2td 原式=2∫ied1 |令u=t,v=e =2(te'-e')+C =2ex(x-1)+C HIGH EDUCATION PRESS ©-色OC®8 机动目录上页下页返回结束

例9. 求 解: 令 x = t, 则 , 2 x = t dx = 2t d t 原式 t e t t 2 d  = t = 2(t e e x C x = 2 ( −1) + u = t , t v  = e ) t − e +C 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令

说明： 分部积分题目的类型： 1)直接分部化简积分， 2)分部产生循环式，由此解出积分式； (注意：两次分部选择的4，v函数类型不变 解出积分后加C) 3)对含自然数n的积分，通过分部积分建立递 推公式 HIGH EDUCATION PRESS 例4目录上页下页返回结束

说明: 分部积分题目的类型: 1) 直接分部化简积分 ; 2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ; (注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ) 3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 . 例4 目录 上页 下页 返回 结束

例.已知 fx)的-个原函数是osx,求∫f()d 解：∫/(xw)dr=∫xdrx) =xf(x)-「f(x)dx cosx y =x(0 COSx +C X =-sinx-2cosx +C 说明：此题若先求出'(x)再求积分反而复杂 Jx)dx=-cox+ 2sinx+2cosx HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例. 已知 的一个原函数是 求 解: x f (x)dx  x d f (x)  = = x f (x) f (x)dx  − = x( )  x cos x C x x − + cos = −sin x − C x x + cos 2 说明: 此题若先求出 再求积分反而复杂. 机动 目录 上页 下页 返回 结束  =  x f (x)dx x x x x x x d 2sin 2cos cos 2     +   − + 