《高等数学》课程教学资源（PPT课件）高等数学1.4 无穷小与无穷大

第一章 第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 三、无穷小与无穷大的关系 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 无穷小与无穷大

无穷小 定义1.若x→x时，函数f(x)→0，则称函数f(x) (或x→0) 为x→x时的无穷小 (或x→∞) 例如： 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小 x-→1 1im1=0,函数1当x→∞时为无穷小 x→00X 说明： 除0以外任何很小的常数都不是无穷小！ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; (或x → ) 为 时的无穷小 . (或x → ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !

定理1.（无穷小与函数极限的关系 limf(x)=A三f(x)=A+&,其中a为x→x。 x→X0 时的无穷小量 证：lmf(x)=A X→x0 Vε>0,38>0，当0<x-x0<δ时有 |f(x)-A<ε a=f(x)-4 lim a =0 x→X0 对自变量的其它变化过程类似可证 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

其中 为 0 x → x 时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0,   0, 当 0  x − x0   时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在δ>0正数X),使对 切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x,(x→∞)时为无穷大，记作 lim f(x)=co. (lim f(x)=) x→x0 X-→00 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)0)】 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将 ①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x  X ) ( x → ) (lim ( ) =  ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x)  −M ), 总存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束

注意： 1.函数为无穷大，必定无界.但反之不真 例如，函数f(x)=xC0Sx,x∈(-0，+0） f(2nz)=2nπ→o(当n→o) 但f(5+nπ)=0 所以x>0时，f(x)不是无穷大！ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

注意: 1. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例.证明1im =00 x→1x-1 证：任给正数M,要使 小，即-17 只要取6= 则对满足01x-1 说明：若1imf(x)=o,则直线x=x0 x→x0 为曲线y=f(x)的铅直渐近线 新近线 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M  = 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x =x 为曲线 的铅直渐近线 . 渐近线 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中 若f(x)为无穷大，则1 为无穷小， f(x) 若侧为无小且0，则 为无穷大 (自证 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论 HIGH EDUCATION PRESS eC8 机动目录上页下页返回结束

三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2. 在自变量的同一变化过程中, 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

内容小结 1.无穷小与无穷大的定义 2.无穷小与函数极限的关系 Thl 3.无穷小与无穷大的关系 Th2 HIGH EDUCATION PRESS 第五节目录上页下页返回结束

内容小结 1. 无穷小与无穷大的定义 2. 无穷小与函数极限的关系 Th1 3. 无穷小与无穷大的关系 Th2 第五节 目录 上页 下页 返回 结束