《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第三章 多维随机变量及其分布 第三节 条件分布

第三节条件分市 一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布

一、离散型随机变量的条件分布 二、连续型随机变量的条件分布 第三节 条件分布

一 离散型随机变量的条件分布 定义设(X,)是二维离散型随机变量，对于固定 的j,若P{Y=y}>0,则称 P(X=xY=Yj}= P{X=x,Y=y》}P P(Y=y} p 为在Y=y条件下随机变量X的条件分布律

. , { } { , } { } , { } 0, ( , ) , 为在 条件下随机变量 的条件分布律 的 若 则称 设 是二维离散型随机变量 对于固定 Y y X p p P Y y P X x Y y P X x Y y j P Y y X Y j j ij j i j i j j            定义 一、离散型随机变量的条件分布

对于固定的i,若P{X=x}>0,则称 PW=yX=}=PX==吃， P(X=x} 为在X=x,条件下随机变量Y的条件分布律。 其中i,j=1,2

. , { } { , } { } , { } 0, 为在 条件下随机变量 的条件分布律 对于固定的 若 则称 X x Y p p P X x P X x Y y P Y y X x i P X x i i ij i i j j i i            其中i, j  1,2, 

例1在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是 由机器人完成的.其一是紧固3只螺栓，其二是 焊接2处焊点.以X表示螺栓紧固得不良的数 目，以Y表示焊点焊接得不良的数目.据积累的 资料知(X,Y)具有分布律： 0 1 2 3 P(Y=j 0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900 1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080 2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020 P{X=训 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000

X Y 0 1 2 3 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 1 0 0.900 0.080 0.020 P{X  i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000 P{Y  j} ( , ) : , . 2 . . 3 , , 资料知 具有分布律 目 以 表示焊点焊接得不良的数目 据积累的 焊接 处焊点 以 表示螺栓紧固得不良的数 由机器人完成的 其一是紧固 只螺栓 其二是 在一汽车工厂中 一辆汽车有两道工序是 X Y Y X 例1

(1)求在X=1的条件下，Y的条件分布律； (2)求在Y=0的条件下，X的条件分布律. 解在X=1的条件下，Y的条件分布律为 Y=k 0 1 2 2 1 P(Y=kX=1) 9 9 9 0 1 2 3 P{Y=} 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080 2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020 P{X=} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000

(2) 0 , . (1) 1 , ; 求在 的条件下 的条件分布律 求在 的条件下 的条件分布律 Y X X Y   解 X Y 0 1 2 3 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 1 0 0.900 0.080 0.020 P{X  i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000 P{Y  j} 在 X 1的条件下,Y 的条件分布律为 Y  k P{Y  k X  1} 0 1 2 9 1 9 2 9 6

同理可得在Y=0的条件下，X的条件分布律为 X=k 0 1 2 3 84 3 2 1 P(X=kY=0) 90 90 90 90 0 1 2 3 P(Y=j) 0 0.840 0.030 0.020 0.010 0.900 1 0.060 0.010 0.008 0.002 0.080 2 0.010 0.005 0.004 0.001 0.020 P(X=i 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000

同理可得在 Y  0的条件下, X 的条件分布律为 X  k P{X  kY  0} 0 1 2 3 90 1 90 2 90 3 90 84 X Y 0 1 2 3 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005 0.004 0.001 1 0 0.900 0.080 0.020 P{X  i} 0.910 0.045 0.032 0.013 1.000 P{Y  j}

例2一射手进行射击，击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止.设 以X表示首次击中目标所进行的射击次数， 以Y表示射击总次数. 试求X和Y的联合分布律及条件分布律， PiX=m,Y=n=p.p.(I-p)(1-p)(1-p) (n-2)个 即得X和Y的联合分布律为 P{X=m,Y=n}=p'g"2, 其中q=1-p,n=2,3,.;m=1,2,.,n-1

例2 一射手进行射击,击中目标的概率为p(0<p<1), 射击到击中目标两次为止.设 以X 表示首次击中目标所进行的射击次数, 以Y 表示射击总次数. 试求 X 和 Y 的联合分布律及条件分布律. 解 P{X  m,Y  n}  p  p (1  p)(1 p)(1 p) (n  2)个 即得 X 和Y 的联合分布律为 { , } , 2 2    n P X m Y n p q 其中q  1  p, n  2,3, ; m  1,2,  ,n  1

X与Y的分布律分别为 PiX =m=pqm m=12,. PY=n=(n-1)pq”-2,n=2,3. 所以当n=2,3,.时， P(X=mY=m P(X=m,Y=m PY=n p'g"-2 (n-l)p2q"-2-n-1

X与Y的分布律分别为 m  1,2,  , { } ( 1) , 2 2    n P Y n n p q n  2,3,  . 1 { }    m P X m pq 所以当 n  2,3,  时, 2 2 2 2 ( 1)     n n n p q p q { } { , } P Y n P X m Y n     , 1 1   n P{X  mY  n}

X与Y的分布律分别为 PfX =m)=pq"m=12,. PY=ny=(n-1)p2g-2,n=2,3. 当m=1,2,.,n-1时， P(Y=mx=m=P(X=m,Y=m PX=m P'g"-2 =pgu-, n=m+1,m+2

当 m  1,2,  ,n  1时, { } { , } P X m P X m Y n     1 2 2    m n p q p q ,  1  n m pqn  m  1,m  2,  . P{Y  n X  m} X与Y的分布律分别为 m  1,2,  , { } ( 1) , 2 2    n P Y n n p q n  2,3,  . 1 { }    m P X m pq

二、连续型随机变量的条件分布 定义设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y),(X,Y)关于Y的边缘概率密度为f(y)若 对于固定的八，U)>0,则称x八为在Y=y fy(y) 的条件下X的条件概率密度，记为 f,(x)=x) fy(y)

定义 二、连续型随机变量的条件分布 . ( ) ( , ) ( ) , ( ) ( , ) , ( ) 0, ( , ),( , ) ( ). ( , ) f y f x y f x y X Y y f y f x y y f y f x y X Y Y f y X Y Y Y Y Y X Y    的条件下 的条件概率密度 记为 对于固定的 则称 为在 关于 的边缘概率密度为 若 设二维随机变量 的概率密度为