《概率论与数理统计》课程教学课件（PPT讲稿，48学时）第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望

概率论与敖理统计 第一节数学期望 一、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质

一、数学期望的概念 三、数学期望的性质 二、随机变量函数的数学期望 第一节 数学期望

概率论与数理统外 一、数学期望的概念 引例射击问题 甲乙两人射击，各10次，（命中的环数 是一个随机变量).射中次数记录如下 甲命中环数89 10 乙命中环数8 9 10 命中次数 3 5 2 命中次数 5 2 3 试问：甲乙两人谁的成绩好一些？

甲乙两人射击，各10次,(命中的环数 是一个随机变量).射中次数记录如下 引例 射击问题 试问:甲乙两人谁的成绩好一些? 8 9 10 3 5 2 甲命中环数 命中次数 一、数学期望的概念 8 9 10 5 2 3 乙命中环数 命中次数

概率论与敖理统外 1.离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xx}=pk,k=1,2,. 若级数∑xP:绝对收敛，则称级数∑xP k k=1 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X).即 E(X)=ExP:

1. 离散型随机变量的数学期望 定义 ( ) . , ( ). , { } , 1,2, . 1 1 1              k k k k k k k k k k k E X x p X E X x p x p P X x p k X 的和为随机变量 的数学期望 记为 即 若级数 绝对收敛 则称级数 设离散型随机变量 的分布律为 

概率论与数理统外「 假设 X12 0.02 0.98 1+2 随机变量X的算术平均值为 =15, 2 随机变量X的期望为E(X)=1×0.02+2×0.98=1.98. 它从本质上体现了随机变量X取值的平均程度：

随机变量 X 的算术平均值为 1.5, 2 1 2   假设 E(X)  1 0.02  2 0.98 1.98. 它从本质上体现了随机变量X 取值的平均程度. X 1 2 p 0.02 0.98 随机变量 X 的期望为

概率论与敖理统计 2.连续型随机变量数学期望的定义 设连续型随机变量X的概率密度为f(x), 若积分 xf(x)dx 绝对收敛，则称积分xfx)dx的值为随机 变量X的数学期望，记为E(X).即 E(X)=xf(x)dx

2.连续型随机变量数学期望的定义 ( ) ( )d . , ( ). , ( )d ( )d ( ),          E X  x f x x X E X x f x x x f x x X f x 变量 的数学期望 记为 即 绝对收敛 则称积分 的值为随机 若积分 设连续型随机变量 的概率密度为

例1如何确定投资决策方向？ 概率论与数理统外「 某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为30%，可得 利润8万元，失败的机会为70%，将 损失2万元.若存入银行，同期间的 利率为5%，问是否作此项投资？ 8 -2 解设X为投资利润，则 0.3 0.7 E(X)=8×0.3-2×0.7=1万元)， 存入银行的利息：10×5%=0.5（万元）： 故应选择投资

例1 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ， 失败的机会为70%，将 损失 2 万元．若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润，则 E(X)  8 0.3  2 0.7  1(万元), 存入银行的利息: 105%  0.5(万元), 故应选择投资. X p 8  2 0.3 0.7

概率论与散理统计 例2商店的销售策略 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 付款的方式，记使用寿命为X(以年计)，规定： X≤1，一台付款1500元；13,一台付款3000元 设寿命X服从指数分布，概率密度为 1 f(x)={1 e1,x>0, 0, x≤0. 试求该商店一台家用电器收费Y的数学期望

付款的方式 ,记使用寿命为 (以年计),规定 : 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后 X 例2 商店的销售策略 2 3, 2500 ; 3, 3000 . 1, 1500 ;1 2, 2000 ; 一台付款 元 一台付款 元 一台付款 元 一台付款 元       X X X X . 0, 0. e , 0, 10 1 ( ) , 10 试求该商店一台家用电器收费 的数学期望 设寿命 服从指数分布 概率密度为 Y x x f x X x         

概率伦与数理统外 解X的分布函数为 w=-e 0,x>0 x≤0 P{X≤1}=F(I①=1-e-1=0.0952, P{13}=1-F(3)=e0.3=0.7408

解 P{X 1}  F(1) 0.1 1 e     0.0952, P{1 X  2}  F(2)  F(1) 0.1 0.2 e e      0.0861, P{2  X  3}  F(3)  F(2) e e 0.0779, 0.2 0.3      X 的分布函数为 10 1 , 0 ( ) 0, 0 x e x F x x          P{X  3} 1 F(3) e 0.7408. 0.3   

概率论与敖理统外 因而一台收费Y的分布律为 1500 2000 2500 3000 Pk 0.09520.08610.0779 0.7408 得E(Y)=2732.15, 即平均一台家用电器收费2732.15元

因而一台收费 Y 的分布律为 Y pk 1500 2000 2500 3000 0.0952 0.0861 0.0779 0.7408 得 E(Y )  2732.15, 即平均一台家用电器收费 2732.15 元

概率论与散理统外「 例3顾客平均等待多长时间？ 设客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布，其概率密度为 f(x)=5 ex5, 1 x>0, , x≤0. 试求顾客等待服务的平均时间？ 解)=rfar=mx学ax=5(分钟 因此，顾客平均等待5分钟就可得到服务

解    E(X)  x f (x)d x x x x e d 5 1 5 0       5(分钟). 因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务. 例3 顾客平均等待多长时间? 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间 X(以分钟计)服从指数分布,其概率密度为 试求顾客等待服务的平均时间?         0, 0. e , 0, 5 1 ( ) 5 x x f x x