《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第四章 随机变量的数字特征

概率伦与敖理统外 第四章随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述随机变量的统计特 性，但实际应用中并不都需要知道分布函数而 只需知道随机变量的某些特征 例如： 判断棉花质量时，既看纤维的平均长度 又要看纤维长度与平均长度的偏离程度 平均长度越长，偏离程度越小，质量就越好；

第四章 随机变量的数字特征 分布函数能完整地描述 随机变量的统计特 性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数而 只需知道 随机变量的某些特征. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度 平均长度越长,偏离程度越小, 质量就越好; 又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度 例如：

根率纶与散理统外「 考察一射手的水平，既要看他的平均环数是否 高，还要看他弹着点的范围是否小，即数据的波动 是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数 值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描 述随机变量在某些方面的重要特征，这些数字特 征在理论和实践上都具有重要意义， 本章主要内容 数学期望、方差、协方差、相关系数、矩

考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否 高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动 是否小. 由上面例子看到，与随机变量有关的某些数 值，虽不能完整地描述随机变量，但能清晰地描 述随机变量在某些方面的重要特征 ,这些数字特 征在理论和实践上都具有重要意义. 本章主要内容 数学期望、方差、协方差、相关系数、矩

概率伦与敖理统外 第一节数学期望 一、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质

一、数学期望的概念 三、数学期望的性质 二、随机变量函数的数学期望 第一节 数学期望

根率纶与数理统外「 一、数学期望的概念 引例分赌本问题 甲乙两赌徒各出100元进行赌博，约定5局3胜 者得200元，赌了三局之后，甲赢2局乙赢1局，但 是两人都不想继续赌下去，问该如何分赌本？ 解：若继续赌下去，不计较前三局的结果后两局的输 赢如下： 第四局 甲赢 甲赢 乙赢 乙赢 第五局 甲赢 乙赢 甲赢 乙赢

甲乙两赌徒各出100元进行赌博，约定5局3胜 者得200元，赌了三局之后，甲赢2局乙赢1局，但 是两人都不想继续赌下去，问该如何分赌本？ 引例 分赌本问题 一、数学期望的概念 解：若继续赌下去，不计较前三局的结果后两局的输 赢如下： 第四局 甲赢 甲赢 乙赢 乙赢 第五局 甲赢 乙赢 甲赢 乙赢

概率纶与散理统外 出现以上任何一种结果的概率都是1/4，而前三种结果 有一个出现的话，甲可得200元，用随机变量X表示若 赌局进行下去甲所得的钱，则分布律如下： X 200 0 p 3/4 1/4 则建议甲得钱数为2003+0！-150元 44

出现以上任何一种结果的概率都是1/4,而前三种结果 有一个出现的话，甲可得200元,用随机变量X表示若 赌局进行下去甲所得的钱，则分布律如下： X 200 0 p 3/4 1/4

根率纶与数理统外「 1.离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 P(X=xk)=p&,k=1,2,L 若级数axP,绝对收敛，则称级数axP k=1 的和为随机变量X的数学期望，记为E(X).即 E(X)=a xxPi k=1

1. 离散型随机变量的数学期望

概率论与款理统外 关于定义的几点说明 (1)E()是一个实数，而非变量，它是一种 加权平均，与一般的平均值不同，它从本质上 体现了随机变量X取值的真正的平均值，也 称均值 (2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值 的平均值，它不应随可能值的排列次序而改变

关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种 加权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上 体现了随机变量 X 取值的真正的平均值, 也 称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变

根率纶与散理统外 X12 假设 p 0.02 0.98 1+ 随机变量X的算术平均值为 2 2=1.5, 随机变量X的期望为E(X)=1'0.02+2'0.98=1.98. 2 它从本质上体现了随机变量X取值的平均程度

随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取值的平均程度. 随机变量 X 的期望为

概率论与款理统外 例1谁的技术比较好？ 甲口乙两个射手，他们射击的分布律分别 为 击中环数 8 9 10 甲射手 概率 0.30.1 0.6 击中环数 8 9 10 乙射手 概率 0.20.50.3 试问哪个射手技术较好？

试问哪个射手技术较好? 例1 谁的技术比较好? 乙射手 甲射手

概率纶与敲理统外「 解 设甲、乙射手击中的环数分别为X1,X2· E(X)=8'0.3+9'0.1+10'0.6=9.3环)， E(X2)=8'0.2+9'0.5+10'0.3=9.1(环)， 故甲射手的技术比较好 击中环数 8 9 10 概率 0.30.1 0.6 击中环数 8 9 10 概率 0.20.50.3

解 故甲射手的技术比较好