山东理工大学：《线性代数》课程教学课件（PPT讲稿）第一章 n阶行列式 1-4 克拉默法则

@山东理上大 第四节克拉默法则 卫 上页

第四节 克 拉 默 法 则

课前复习余子式与代数余子式 在阶行列式中，把元素所在的第行和第列j 划去后，留下来的n阶行列式叫做元素的余子式， 记作 M前 记A,=(-1)Mp叫做元素的代数余子式. 关于代数余子式的重要性质 含w-暖8 当i=j方 当i≠j 交4-88言 回

课前复习 余子式与代数余子式 记作 . 划去后，留下来的 阶行列式叫做元素 的余子式， ij 在 n 阶行列式中，把元素 a 所在的第 行和第 i 列 j n − 1 ij a Mij( 1) i j A M ij ij + 记 = − ， 叫做元素 a 的 ij 代数余子式． 关于代数余子式的重要性质 1 , , 0 , ; n ki kj ij k D i j a A D i j  =  = = =     当 当 1 , , 0 , ; n ik jk ij k D i j a A D i j  =  = = =     当 当 1 , 0 , . ij i j i j   = =    当 ， 当

非齐次与齐次线性方程组的概念 011x1+a12x2+.+41nxn=b1 设线性方程组 21X1+22x2+.+2mn=b2 anx+an2x2++amxn=bn 若常数项勋，b2,.,b不全为零，则称此方程组为非 齐次线性方程组；若常数项b,b2,bn全为零， 此时称方程组为齐次线性方程组 王

       + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 设线性方程组 , , , , 若常数项b1 b2  bn不全为零 则称此方程组为非 齐次线性方程组; , , , , 若常数项b1 b2  bn 全为零 此时称方程组为齐次线性方程组. 非齐次与齐次线性方程组的概念

2、克拉默法则 11火1+012x2++a1nxn=b1 定理如果线性方程组 L21x1+22x2+.+L2mXn=b2 amx1+an2x2++amxn=b 的系数行列式不等于零，即D= 02 ≠0 那么线性方程组有解，并且解可以唯一表示为 x- D

如果线性方程组 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  的系数行列式不等于零，即 n n nn n n a a a a a a a a a D     1 2 21 22 2 11 12 1 =  0 2、克拉默法则 定理 那么线性方程组有解，并且解可以唯一表示为 1 2 3 1 2 3 , , , , . n n D D D D x x x x D D D D = = = =

其中D,是把系数行列式D中第列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即 b2 :

其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即 Dj D j n 11 12 1 1 21 22 2 2 1 2 j n j n n n nj nn a a a a a a a a D a a a a = 1 2 n b b b 1 2 n b b b 1 2 n b b b D12 Dj

@少本T子大￥ 证明 线性方程组 (aux+arx2++ax)Au=b4u (a21k1+a2x2+.+mXn)A1=b2A1 anx+an2x2++amxn)An bnAu 在把n个方程依次相加，得 (au41+a141++0nm4n小x+(2A1+041+.+an2An)x+ +autai++am)=br++An) 既 Dx+0x++0x=D 所以 5(D*) 上页 回

证明 在把 n 个方程依次相加，得 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  线性方程组 (a x a x a x A b A 11 1 12 2 1 11 1 11 + + + = n n ) (a x a x a x A b A 21 1 22 2 2 21 2 21 + + + = n n ) (a x a x a x A b A n n nn n n n n 1 1 2 2 1 1 + + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 11 21 1 12 11 22 21 2 1 2 1 11 2 21 1 1 11 21 1 1 1 2 21 n n n n nn n n n n n n x a A a A a A x a A a A a A x b A b A b a A A a A a A + + + + + + + + + = + + + + + + 既 ( ) 1 2 1 11 2 21 1 0 0 n n n Dx x x b A b A b + + + = + + + D1 A ( ) 1 1 0 D x D D 所以 = 

G心山东理上大￥ 类似线性方程组 (au+apxz++anx)42=b42 (a211+0z2++42mn)A2=b2A22 人ani七1+am2x32+.+0nmxn)A2=bnA2 在把n个方程依次相加，得 (4n42+014nt+0uAa)x+(a242+a42++an4)x+ +(anA4+0nA2+.+0nA2)x.=(b42+b42+.+bn4n2） 既 Ox+Dx,++Ox=D2 所以 (（D≠0)类似可求 X3

类似 在把 n 个方程依次相加，得 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b  + + + =   + + + =    + + + =  线性方程组 (a x a x a x A b A 11 1 12 2 1 12 1 12 + + + = n n ) (a x a x a x A b A 21 1 22 2 2 22 2 22 + + + = n n ) (a x a x a x A b A n n nn n n n n 1 1 2 2 2 2 + + + = ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 21 22 1 2 1 2 1 12 2 22 2 12 12 22 22 1 12 2 22 2 2 2 n n n n nn n n n n n n a A a A a A x x a A a A a A x b A b A b A + + + + + a A a A a A + + + + = + + + + + + 既 ( ) 1 2 1 12 2 22 2 0 0 n n n x x x b A A b + + + = + + + D D2 b A ( ) 2 2 0 D x D D 所以 =  类似可求 3 , , . n x x

@山东开上大x 故当D≠0时 D D 证毕。 那么当D=0时 Dx=D,Dx2=D2,Dx3 =D2,Dx=D 方程组还有解吗？ 显然当D,≠0时无解；当D,=时无数解 回

. D D , , x D D , x D D , x D D x n = = =  n = 2 3 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 , , , , . Dx D Dx D Dx D Dx D = = = = n n 证毕。 故当 D  0 时 那么当 D = 0 时 方程组还有解吗？ 显然当 Dj  0 时无解；当 时无数解 0 Dj =

©山东r大￥ 二、 齐次线性方程组的相关定理 411x1+a2x2+.+a1mXn=0 21x1+02X2+.+02mXn=0 (2) ax+a2x2+.+ax=0 定理 如果齐次线性方程组(2的系数行列式 D测齐次线性方程组没有非零解。 上页

二、齐次线性方程组的相关定理 (2) 0 0 0 1 1 2 2 21 1 22 2 2 11 1 12 2 1        + + + = + + + = + + + = n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式 D  则齐次线性方程组 0 没有非零解. (2) (2)

定理 如果齐次线性方程组(2)有非零解，则它 的系数行列式必为零： 系数行列式D=0 11x1+412x2+.+41mXn=0 211+22X2+.+2mXn=0 n1X1+an2x2+.+mxn=0 有非零解， 上页 区回

定理 如果齐次线性方程组 (2) 有非零解,则它 的系数行列式必为零.        + + + = + + + = + + + = 0 0 0 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 n n nn n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x     有非零解. 系数行列式 D = 0