《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）7.4 区间估计

第四节【 区间估计 对于未知参数日，在得到它的，点估计日后，还需要 知道估计值的精确程度（真值所在的范围)，以及这 个范围包含真值的可信程度 一、区间估计的概念 二、区间估计的一般方法

一、区间估计的概念 二、区间估计的一般方法 第四节 区间估计 ˆ   估计值的精 对于未知参数 ，在得到它的点估计 后，还需要 知道 （真值所在的范围），以及这 个范围包含真 确程度 值的可信程度

一、区间估计的概念 定义设总体X的分布函数为F(x,),未知参数日∈Θ（⊙是O的 可能取值范围).对于给定值a(0<α<1)，若由来自X的样本 X,X2,.Xn确定的两个统计量 日=Q(X,X2,Xn)和0=0(X1,X2,.,Xn)(0<0), 对于任意的0∈⊙满足， P{eX,X2,.,Xn)<0<01,X2,.,X)}≥1-a 则称(0,0)是的置信水平为1-a的置信区间， 称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限， 0称为置信水平为的双侧置信区间的置信上限， 1-a为置信水平

一、区间估计的概念 1 2 ( , ) . (0 1) , , n X F x X X X X           设总体 的分布函数为 ，未知参数 （ 是 的 可能取值范围）对于给定值 定 ，若由来自 的样本 确定的两 义 个统计量 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) ( )      = =  X X X X X X n n 和 , P X X X X X X     ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 1 2 n n    −  则称 ( , )   是  的置信水平为1− 的置信区间， 称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限,  称为置信水平为的双侧置信区间的置信上限， 1−为置信水平. 对于任意的  满足

P{K1,X2,X)<0<8K1,X2,X)}≥1-a的含义： 若反复抽样多次（各次得到的样本容量相等，都是）， 每个样本值确定一个区间(，)，在这些区间中， 包含0真值的约占100(1-a)%,不包含的约占100a%

( ) ( , ) , n   若反复抽样多次 各次得到的样本容量相等，都是 ， 每个样本值确定一个区间 ，在这些区间中 包含   真值的约占100(1 )%, 100 %. − 不包含的约占 P X X X X X X     ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 1 2 n n    −  的含义：

说明： (1)区间估计给出的是未知参数的一个近似范围（日，日） 以及这个范围包含未知参数B(O是一个常数)真值的可靠 程度(1-a). (2)当X是连续型随机变量时，可由P(0<0<0)=1-a 求出置信区间。 当X是离散型随机变量时，可由P(但<B<)≥1-a求出使 P(但<0<)尽可地接近1-a的置信区间。 注：使P(0<B<0)=1-a的区间可能不存在. (3)可从的无偏估计量着手考虑

说明： 1 ( , ) ( ) (1 ).     − （ ）区间估计给出的是未知参数的一个近似范围 以及这个范围包含未知参数 是一个常数 的可靠 程度 真值 （2）当X是连续型随机变量时，可由 P( ) 1       = − 求出置信区间。 P( ) 1        − P( )    尽可地接近 1− 的置信区间。 当X是离散型随机变量时，可由 求出使 （3）可从的无偏估计量着手考虑。 注：使P( ) 1 .       = − 的区间可能不存在

例1.设X1,X2,Xn是来自正态总体N(山，o2)的样本，其中 σ为已知，4为未知，求μ的置信度为1一a的置信区间枢轴量 已知不是4的无偏估计，取U=X- 解 ol 2-N0,1) 由标准正态分布的上α分位，点的定义知 .a P-u+21-e a2 于是得的一个置信度为1一a的置信区间： 长度： n 3a/2 (x*a-2(±g-

解 2 1 2 21 , , , ( , ) , , , 1 . . X X X N n      − 设 是来自正态总体 的样本 其中 为 已知 为 未知 求 的置信度为 的置信 区 间 例 已 知 , X 是  的无偏估计 2 2 1 −  /2 z −  /2 z ( ) x y x /2 /2 1 , P X z X z n n           −   + = −   即由 标准正 态 分布 的 上  分位点的定义知 /2 /2 1 / X P z z n        −   −   = −   于是得  的一个置信度为 1− 的 置信 区 间： / 2 X z . n          /2 /2 X z X z , n n       − +     记成 / 2 2 z . n   长 度: ~ (0,1) / X U N n  − 取 = 枢轴量

(±a]k-ax+a 例如，0=1时，若取a=0.05,n=16,x=5.20,则 zg=n2s=1.96,置信水平为0.95的一个置信区间为： （±]2.415网j 说明： (1)对于同一个置信度，置信区间不是唯一的. (2)当概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称时，取 关于原，点对称的置信区间，可使长度最小. 置信区间越短，表示估计的精度越高

（2）当概率密度的图形是单峰且关于纵坐标轴对称时，取 关于原点对称的置信区间，可使长度最小. （1）对于同一个置信度，置信区间不是唯一的. 说明: 置信区间越短，表示估计的精度越高. X z X z X z /2 /2 /2 = n n n            − +         ， 例如，  = = = = 1 0.05 16 5.20 时，若取 ，n x ， ，则 置信水平为0.95的一个置信区间为： ( ) x z / 2 = 5.2 0.49 n           ， 即(4.71, 5.69) 0.025 2 z z 1.96,  = =

二、区间估计的一般方法 (1)构造枢轴量W:W=W(X1,X2,Xm;) 称W为枢轴量 W满足：(I)是样本的函数； (2)含待估参数日，不含任何其它未知参数； (3)分布已知. (2)对于给定的置信度1-，定出两个常数4，b,使 P{a<W(X1,X2,.,Xmn;0)<b}=1-a. (③)从a<W(X1,X2,.,Xm;0)<b解出且<0<0. 则（但，0）就是θ的一个置信度为1-a的置信区间. 其中Q=2(X1,X2,.,Xn),0=0X1,X2,Xn)都是统计量

(1) : 构造枢轴量W (2) 1 , 对于给定的置信度 −，定出两个常数a b，使 1 2 (3) ( , , , ; ) . n 从 a W X X X b         解出 1 2 3 . （ ）是样本的函数； （ ）含待估参数 ，不含任何其它未知参数； （ ）分布已知  1 2 ( , , , ; ) W W X X X = n  1 2 { ( , , , ; ) } 1 . P a W X X X b   = − n   1 2 1 2 ( , , , ), ( , , , ) 其中    = = X X X X X X n n 都是统计量. 则( , ) 1 .     就是 的一个置信度为 − 的置信区间 W满足： 二、区间估计的一般方法 称W为枢轴量

内容小结 区间估计给出的是未知参数的一个近似范围（日，） 以及这个范围包含未知参数日（是一个常数）真值的可靠 程度(1-a). 定义式：P{eX,X2,.,Xn)<0<K1,X2,.,Xn)}≥1-a 置信水平1-，置信区间（日，） 置信区间下限巳置信区间上限； 区间估计的一般方法

内容小结 ( , ) (1- ).      区间估计给出的是未知参数的一个近似范围 以及这个范围包含未知参数 ( 是一个常数) 的可靠 程度 真值 定义式： P X X X X X X     ( , , , ) ( , , , ) 1 1 2 1 2 n n    −  区间估计的一般方法 置信水平1 , −   ；置信区间( ) 置信区间下限  ，置信区间上限 ；