《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）3.1 二维随机变量

第三章 多维随机变量及其分布 第一节二维随机变量 ·二维随机变量及其联合分布函数 ·离散型；连续型 ·推广：n维随机变量及其分布函数 重点： 1、二维随机变量的相关概念、性质： 联合分布函数、联合分布密度、联合分布律； 2、二维均匀分布、二维正态分布

第三章 多维随机变量及其分布 • 二维随机变量及其联合分布函数 • 离散型; 连续型 • 推广：n维随机变量及其分布函数 重点： 1、二维随机变量的相关概念、性质: 联合分布函数、联合分布密度、联合分布律； 2、 二维均匀分布、二维正态分布. 第一节 二维随机变量

二维随机变量及其联合分布函数 1.二维随机变量 实验结果需要同时用两个随机变量描述 引例1.考察一个地区儿童的身高H和体重W. 引例2.考察炮弹弹着点的位置 x(e) (横坐标x,纵坐标Y). 定义1设E是一个随机试验， Y(e) 它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e) 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y) 叫作二维随机向量或二维随机变量 (X,Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于这两个 随机变量的相互关系

e • •Y(e) S • X(e) 一、二维随机变量及其联合分布函数 1. 二维随机变量—— ( X, Y ) 的性质不仅与X、Y 有关,而且还依赖于这两个 随机变量的相互关系. , { }, ( ) ( ) ( , ) . E S e X X e Y Y e S X Y = = = 设 是一个随机试验 它的样本空间是 设 和 是定 定 义在 上 义1 的随机变量，由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量或 二维随机变量 引例1. 考察一个地区儿童的身高H和体重W . 引例2. 考察炮弹弹着点的位置 （横坐标X，纵坐标Y）. 实验结果需要同时用两个随机变量描述

2、联合分布函数 定义2设(X,)是二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数：F(x,y)=P{X≤x)∩(Y≤y)}=P{X≤x,Y≤y} 称为二维随机变量(X,)的分布函数，或称为X和Y的联合 分布函数。 (x,) {X,Y)Ix≤x,Y≤y} 矩形区域 说明：（1)Fc,y)的函数值是随机点(X,Y)落在矩形区域 D:X≤x,Y≤y内的概率

定义 2 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数 x，y， 二元函数：F x y P X x Y y P X x Y y ( , ) {( ) ( )} { , } =   =   称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为 X 和 Y 的联合 分布函数。 2、联合分布函数 o x y ( , ) x y • ( , ) | , X Y X x Y y    说明:（1） F(x, y) 的函数值是随机点( X, Y )落在矩形区域 D X x Y y :   ， 内的概率。 矩形区域

(2)对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2? 有P{x1<X≤x2y1<Y≤y2}= =F(x2,y2)-F(x2,)+F(x2)-F(2) y c1,y2) y2 (X,Y) 1 c1,y1) 2,y) X1 X2

1 1 2 2 1 2 1 2 (2) ( , ),( , ), , , 对于任意 x y x y x x y y   有 ( , ) X Y y1 y2 (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 ) x1 x2 P x X x y Y y  1 2 1 2     = ,  y x 2 2 2 1 1 1 1 2 = − + − F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 1 1 ( , ) x x y y y y x x F x y = = = =    

3、联合分布函数的基本性质 (I)F(x,y)是变量x和y的不减函数， 即对于任意固定的y,当x2>x1时F(2,y)≥F(1,y), 对于任意固定的x,当y2>y时F(x,y2)≥F(x,y) (2)0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=limF(x,)=0, 对于任意固定的x,F(x,-oo)=imF(x,y)=0, F(-oo,-oo)=lim F(x,y)=0, (x,y) F->-c0 F(+o0,+oo)=lim F(x,y)=1. y→+o

(1) ( , ) , F x y x y 是变量 和 的不减函数 (2) 0 ( , ) 1,   F x y 对于任意固定的 , y ( , ) lim ( , ) 0, x F y F x y →− − = = 且有 对于任意固定的x, ( , ) lim ( , ) 0, y F x F x y →− − = = ( , ) lim ( , ) 0, x y F F x y →− →− − − = = 3、 联合分布函数的基本性质 2 1 2 1 对于任意固定的x y y F x y F x y ，当   时 ( , ) ( , ). 2 1 2 1 即对于任意固定的 y x x F x y F x y ，当   时 ( , ) ( , ), x y o ( , ) x y • ( , ) lim ( , ) 1. x y F F x y →+ →+ + + = =

(3)F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0), 即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续 (4)对于任意(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1≤y2, 有F(x2,2)-F(x2,y)+F(x1,y1)-F(x1,Jy2)≥0 左边=P{x1<X≤x2,y<Y≤y2}≥0 说明 上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性 质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质； 还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那 么，它一定是某一二维随机变量的分布函数

(3) ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), ( , ) , . F x y F x y F x y F x y F x y x y = + = + 即 关于 右连续 关于 也右连续 1 1 2 2 1 2 1 2 (4) ( , ),( , ), , , 对于任意 x y x y x x y y   有 ( 左边 =      P x X x y Y y  1 2 1 2 , 0  ) 2 2 2 1 1 1 1 2 F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 − + −  说明: 上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性 质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质； 还可以证明：如果某一个二元函数具有这四条性质，那 么，它一定是某一二维随机变量的分布函数 ．

二、二维离散型随机变量 一(X,Y)所取的可能值是有限对或无限可列多对. 1、定义设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为 (c,),ij=1,2,.,则称P{X=x,Y=y}=p,i,j=1,2, 为二维离散型随机变量(X,Y)的分布律，或X和Y的联合 分布律。 XI X2 Xi Vr P11 P21 Pa P2 P12 P22 Pi2 Pi

定义 设二维离散型随机变量（X，Y）所有可能取的值为 ( , ), , 1,2, i i x y i j = ，则称 { , } , , 1,2, P X x Y y p i j = = = = i i ij 为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律，或 X 和 Y 的联合 分布律。 二、二维离散型随机变量 1、 ——( X, Y ) 所取的可能值是有限对或无限可列多对. X Y x1 x2  xi  y1 y2  y j p11 p12  p1 j p21 p22  p2 j    pi1 pi 2  pij   

2、基本性质(0P,≥0，(2∑∑P=1. i=1i=1 3、P(X,Y)∈G}=∑∑Pm (xi,yj)EG 4、二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数为： Fx,)=∑∑P xiSx yjSy 其中和式是对一切满足x,≤x,y,≤y的i,j求和

2、基本性质 3、 1 1 (2) 1. ij i j p   = = (1) 0, pij    = ( , ) {( , ) } i j ij x y G P X Y G p   =   二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数为: , , . i j 其中和式是对一切满足 x x y y i j   的 求和 4、 ( , ) i j ij x x y y F x y p   =  

例1.设随机变量X在1,2,3,4四个数中等可能地取 一个值，另一个随机变量Y在1~X中等可能地取一个整数值， 求(X,Y)的分布律。 解：P{X=i,Y=j} X 1 23 4 =P(Y=jX=i)P(X=i) 1 1 4 8 12 16 =}6j=1,23,4≤) 1 1 2 0 8 12 16 于是(X,Y)的分布律为 ● 1 1 3 0 0 16 4 00 0 6

X Y 例 1. 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个数中等可能地取 一个值，另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能地取一个整数值， 求（X，Y）的分布律。 = = =  = P Y j X i P X i { | } { } 1 1 , i 4 =  ( , 1,2,3,4; ) i j j i =  1 2 3 4 1 4 1 2 3 4 1 8 1 8 1 12 1 12 1 12 1 16 1 16 1 16 1 16 0 0 0 0 0 0 解： P X i Y j { , } = = 于是（X，Y）的分布律为 ?

三、二维连续型随机变量 1.定义对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y),如果存在 非负的函数f(x,y)使对于任意x,y有 F(x,y)=∫Jnfu,v)dudv 则称(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)称为二维 随机变量(X,Y)的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合 概率密度 2.性质(1)f(x,y)≥0. (2)f(x,y)dxdy=F(c.o0)=1

( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) d d ( , ) ( , , ) . ) ( y x X Y F x y f x y x y F x y f u v u v X Y f x y X Y X Y − − =   对于二维随机变量 的分布函数 ，如果存在 非负的函数 使对于任意 有 则称 是连续型的二维随机变量，函数 称为二维 随机变量 的概率密度，或称为随机变量 的联合 概率密度 和 1. 定义 三、二维连续型随机变量 (2) ( , ) d d ( , ) 1. f x y x y F   − − =   =   2. 性质 (1) ( , ) 0. f x y 