《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）1.6 独立性

第六节独立性 一、两个随机事件相互独立 二、多个随机事件相互独立 重点：独立性的定义、性质和应用

第六节 独立性 一、两个随机事件相互独立 二、多个随机事件相互独立 重点：独立性的定义、性质和应用

一、两个随机事件的相互独立性 1.引例盒中有5个球(3绿2红)，每次取出一个，有放回 地取两次.记 A=第一次取到绿球， B=第二次取到绿球， 则有P(BA)=P(B) 它表示A的发生并不影响B发生的可能性大小（概率）. P(BA)=P(B)←→P(AB)=P(A)P(B)

5 (3 2 ), , . , , A B = = 盒中有 个球 绿 红 每次取出一个 有放回 地取两次 记 第一次取到绿球 第二次取到绿球 一、两个随机事件的相互独立性 则有 P B A P B ( ) ( ) = 它表示 A B 的发生并不影响 发生的可能性大小（概率）. P B A P B ( ) ( ) = P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = 1.引例 

2.定义设A,B是两事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立 注意：(1)两个事件相互独立，是指其中一个事件的发生，不 影响另一个发生的概率 （2)若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不 相容不能同时成立

, , ( ) ( ) ( , , . ) A B P AB P A P B A B A B = 设 是两事件 如 相互独立， 果满足等式 则称事件 简称 独立 2. 定义 （1）两个事件相互独立，是指其中一个事件 的发生，不 影响另一个发生的概率. 注意: （2）若P(A)>0, P(B)>0,则A，B相互独立与A，B互不 相容不能同时成立

3.性质： 定理1 设A,B是两事件，且P(A)>0.则 A,B相互独立一P(BA)=P(B)（一P(AB)=P(A)P(B) 定理2若A,B相互独立，则下列各对事件， A与B,A与B,A与B也相互独立. 证明先证A与B独立.由假设知P(AB)=P(A)P(B), .P(AB)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) =P(A)-P(A)P(B)=P(A[1-P(B)] =P(A)P(B),从而A与B相互独立· 由此可立即推出A与B相互独立； 再由B=B,又推出A与B相互独立

, , , , . , A B A A B B A B 若 相互独立 则下 与 列各对事件 与 与 也相互独立 定 理 2 定 理 1 设 A B P A , , ( ) 0. 是两事件 且  则 A B P B A P B , ( ) ( ) 相互独立  = ( = P AB P A P B ( ) ( ) ( )) 证明 先证 A B 与 独立. 从而 A B 与 相互独立 . 由假设知P AB P A P B ( ) ( ) ( ) = ，  P AB ( ) = − P A P AB ( ) ( ) = − P A P A P B ( ) ( ) ( ) = − P A P B ( ) 1 ( )   = P A P B ( ) ( ), = − P A AB ( ) A B B B A B = 由此可立即推出 与 相互独立； 再由 ，又推出 与 相互独立。 3. 性质：

二、多个随机事件相互独立 1.三事件两两相互独立的概念 定义2：三事件相互独立 设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B), P(BC)=P(B)P(C),→事件A,B,C两两相互独立. P(AC)=P(A)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C), 则称事件A,B,C相互独立. 注意三个事件相互独立一三个事件两两相互独立

注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立. 定义2：三事件相互独立 设 A B C , , , 是三个事件 如果满足等式  A B C , , .      事件 两两相互独立 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C P ABC P A P B P C  =   =  =    = 则称事件 A B C , , . 相互独立 二、多个随机事件相互独立 1. 三事件两两相互独立的概念

2、推广设A1,A2,.,An是n个事件，如果对于任意 k(2≤k≤n),任意1≤i1<,<.<ik≤n,具有等式 P(AA,.A)=P(4)P(A,.P(A 则称A1,A2,.,An为相互独立的事件， n个事件相互独立 个事件两两相互独立

1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ), k k P A A A P A P A P A i i i i i i = 1 2 , , , . 则称 A A An 为相互独立的事件 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 1 2 1 2 , , , (2 ) 1 , n k A A A n k k n i i i n        设 是 个事件，如果对于任意 ，任意 具有等式 2、推广

3.性质 1.若事件A,A,.,An(n≥2)相互独立，则 其中任意k(2≤k≤)个事件也是相互独立. 2.若n个事件A,A2,.,An(n≥2)相互独立，则 将A1,A,.,An中任意多个事件换成它们的对立事件， 所得的n个事件仍相互独立

3. 性质 1 2 1. , , , ( 2) , (2 ) . A A A n n k k n    若事件 相互独立 则 其中任意 个事件也是相互独立 1 2 1 2 2. , , , ( 2) , , , , . n n n A A A n A A A n 若 个事件  相互独立，则 将 中任意多个事件换成它们的对立事件 所得的 个事件仍相互独立

4.计算及应用 补例.设每一名射手命中目标的概率都是0.05，若50名射 手同时射击，问命中目标的概率是多少？（射击问题） 解设事件A为"第i名射手命中"，i=1,2,.,50. 事件B为“命中目标”，则B=AUA2UUA0, P(B)=P(4 UA,U.UA)=1-P(AUA,U.UA) =1-P(AA2.A0)=1-P(A)P(A2).P(A0) =1-(1-0.05)50=0.923

补例. 设每一名射手命中目标的概率都是0.05，若50名射 手同时射击，问命中目标的概率是多少?（射击问题） 解 " ", 设事件 A i i 为 第 名射手命中 事件B 为“命中目标” , 1 2 50 则B A A A = , i = 1,2, ,50. 1 2 50 = −1 ( ) P A A A 1 2 50 = −1 ( ) ( ) ( ) P A P A P A 50 = − − = 1 (1 0.05) 0.923. 1 2 50 = −1 ( ) P A A A 4. 计算及应用 1 2 50 P B P A A A ( ) ( ) =

例2.（系统的可靠性）一元件（或系统）能正常工作的概率称为 元件（系统）可靠性.设元件独立工作，第i个元件可靠性P, 求串并联（串联再并联）系统的可靠性. 解以A(i=1,2,3,4)表示事件第i个元件正常工作， 以A表示事件系统正常工作. A=A4,UA,A 人 由事件的独立性，得系统的可靠性： P(A)=P(AA,)+P(A,A)-P(AA,A,A) =P(A)P(A,)+P(A,)P(A )-P(A)P(A,)P(A,)P(A) =P1P2+P3P4-P1P23P4

解 ( 1,2,3,4) , 以 A i i i = 表示事件第 个元件正常工作 以 A表示事件系统正常工作 . . 2. . ( ) ( ) ( ) i i p 一元件 或系统 能正常工作的概率称为 元件 系统 设元 例 （系统的可 靠 件独立工作，第 个元件可靠性 ， 求串并联 再并 ） 系统 靠性 的可靠性 可 1 2 3 4 A A A A A = 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 P A P A A P A A P A A A A ( ) ( ) ( ) ( ) = + − 由事件的独立性, : 得系统的可靠性 1 2 3 4 1 2 3 4 = + − P A P A P A P A P A P A P A P A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 4 1 2 3 4 = + − p p p p p p p p

例4.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为p, p≥1/2。对甲而言，采用三局两胜制有利还是五局三胜制 有利？设各局胜负相互独立。 解：若采用三局两胜制，甲最终获胜的情况可分为：比赛两局 或比赛三局，最后一局甲胜，并且前面甲胜一局， 甲最终获胜的概率为P1=p2+C2p(I-p)p 若采用五局三胜制，甲最终获胜的情形有：比赛三 局或比赛四局或比赛五局，需最后一局甲胜，前面甲胜 两局。甲最终获胜的概率为 P:=P'+C3p'(1-p)p+Cip'(1-p)'p =p3+3p3(1-p)+6p3(1-p)2

例 4. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为 p， p  1 / 2。对甲而言，采用三局两胜制有利还是五局三胜制 有利？设各局胜负相互独立。 解：若采用三局两胜制，甲最终获胜的情况可分为：比赛两局 或比赛三局，最后一局甲胜，并且前面甲胜一局， 甲最终获胜的概率为 1 p 2 = p 1 2 + − C p p p (1 ) 若采用五局三胜制，甲最终获胜的情形有：比赛三 局或比赛四局或比赛五局，需最后一局甲胜，前面甲胜 两局。甲最终获胜的概率为 2 p 3 3 3 2 = + − + − p p p p p 3 (1 ) 6 (1 ) 3 = p 2 2 3 + − C p p p (1 ) 2 2 2 4 + − C p p p (1 )