《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章多元函数微分法及其应用_9-8 多元函数的极值及其求法

第节 第九章 多无品数的救值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值 定义：若函数：=f(x,r)在点(a,6)的某邻域内有 f(x.1)≤f(0.1a)(或f(x.1)≥f(0.10)》 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： :=3x2+42在点(0,0)有极小值 :=+1在点(0,0)有极大值 二=x1在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1（必要条件）函数：=fx,)在点(。)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(xo0)=0.(0-o)=0 证：因：=f(x,y)在点(x016)取得极值，故 =f(x,6)在x=xo取得极值 三=(1")在=10取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，三=x有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理2（充分条件）若函数：=f(x.1)在点(.10)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(0:%）=0.f(xoro)=0 令A=f(0a).B=(xoo).C=f(0o） A0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当.1C-B2<0时，没有极值 3)当.1C-B=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节P122) HIGH EDUCATION PRESS D0C8 机动目录上页下页返回结束

时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求函数f(x,)=x3-13+32+312-9x的极值， 解：第一步求驻点： f(1）=3x-+6x-9=0 解方程组 f(.)=-31-+61=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B /()=6x+6.f(y)=0./(,1)=-6+6 在点(1,0)处1=12.B=0.C=6 1C-B=12x6>0.1>0 .f(1.0)=-5为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结束

例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在点(1,2)处1=12.B=0.C=-6 1C-B=12×(-6)0.1<0. f(-3.2)=31为极大值 f(,)= 6r+6,fx(x1)=0.f(x1)=-6+6 A B HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2讨论函数：=x+1及：=x+2)在点0,0) 是否取得极值 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(0,0)都有 1C-B2=0 :=x+在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为负，因此0,0)不是极值 0 当2+2=0时.：=(x2+2>>00=0 因此：0.0=(2+0.0)=0为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、最值应用问题 依据 函数f在闭域上连续 函数f在闭域上可达到最值 驻点 最值可疑点 边界上的最值点 特别，当区域内部最值存在，且只有一个极值点P时 (P)为极小（大）值>P)为最小（大）值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小(大) 值 为最小(大) 值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.某厂要用铁板做一个体积为2m的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ 解：设水箱长宽分别为x,ym,则高为m, 则水箱所用材料的面积为 =**号=2++)8 令=20-》=0 得驻点(2.2) 41=2x-)=0 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在，因此可 断定此唯一驻点就是最小值点即当长、宽均为 高为=时，水箱所用材料最省 HIGH EDUCATION PRESS 机动目后 下页返回结束

例3. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例4.有一宽为24cm的长方形铁板，把它折起来做成 一个断面为等腰梯形的水槽，问怎样折法才能使断面面 积最大 解：设折起来的边长为xcm,倾角为α，则断面面积 为 4=(24-2x+2xcos a+24-2x)xsina 24sina 2x-sina +x-cosa sina (D:0<x<12.0<<号) 24 24-2 HIGH EDUCATION PRESS DeC8 机动目录上页下页返回结束

例4. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为 x cm, 则断面面积 x 24 一个断面为等腰梯形的水槽, 倾角为 , 积最大. 为 问怎样折法才能使断面面 机动 目录 上页 下页 返回 结束