《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第九章_9.5隐函数的求导公式

第五节隐岛数的求导公式 ·、一个方程情形 ·二、方程组的情形 ·三、小、结思考题

第五节 隐函数的求导公式 • 一、一个方程情形 • 二、方程组的情形 • 三、小结 思考题

一、一个方程的情形 1.F(x,y)=0的情形 隐函数存在定理：设函数F(x,y)在点P(x,y) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x,y)=0, F,(x,y)≠0，则方程F(,y)=0在点P(x,)的邻 域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的 函数y=f(x),它满足条件，=f(x,),并有 dy dx F 隐函数的求导公式

1 . ( , ) 0 F x y  的 情 形 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) 0, ( , ) 0 ( , ) ( ) ( ) y x y F x y P x y F x y F x y F x y P x y y f x y f x dy F dx F        设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 ， 则方程 在点 的邻 域内恒能唯一确定一个单值连续且有连续导数的 函数 ，它满 隐函数 足条 存 件 ，并有 在定理：

设y=f(x)为方程F(K,y)=0所确定的隐函数，则 F(x,f(x)≡0 两边对x求导 OF oF dy=0 Ox'ay dx 在(x,y)的某邻域内F,≠0 F dy dx F

两边对 x 求导 d d x y y F x F   0 F y 在 的某邻域内  则

若F(x,y)的二阶偏导数也都连续，则还有 二阶导数 d2y +F,-e5,E dx2 +5,会正-1w ExxE-2EEF:+FE

若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 2 2 d d y x  2 ( ) ( ) x x x y y y x y y x y dy dy F F F F F F dx dx F     2 2 3 2 x x y x y x y y y x y F F F F F F F F     则还有 2 [ ( )] [ ( )] x x x x x y y y x y y x y y y F F F F F F F F F F F        二阶导数

例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域内 能唯一确定一个单值可导，且x=0时y=的隐 函数y=f(x),并求此函数的一阶和二阶导数在 x=0的值. 解令F(x,y)=x2+y2-1 则F=2x,F,=2y, F(0,1)=0,F,(0,1)=2≠0， 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的 函数y=f(x)

解 令 ( , ) 1 2 2 F x y  x  y  则 F 2 x, x  F 2 y, y  F (0,1)  0, (0,1)  2  0, Fy 依定理知方程 1 0 2 2 x  y   在 点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x  0 时y  1的 函 数 y  f ( x)． 2 2 1 1 0 (0,1) 0 1 ( ) 0 . x y x y y f x x        例 验 证 方 程 在 点 的 某 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导，且 时 的 隐 函 数 ，并 求 此 函 数 的 一 阶 和 二 阶 导 数 在 的 值

函数的一阶和二阶导数为 dy =0, dx xx=o dx2 D? dy dx? =-1. x=0

函数的一阶和二阶导数为 y x F F dx dy   , y x   0, 0  dx x dy 2 2 2 y y xy dx d y     2 y y x y x           , 1 3 y   1. 0 2 2   x dx d y

例2己知nVc2+少2=arctan二，求 y dx 解令F(x,y)=lnVx2+y2-arctan 比 则)5川 x2+y2 dx y J-x

解 令 则 ( , ) ln arctan , 2 2 x y F x y  x  y  ( , ) , 2 2 x y x y F x y x    ( , ) , 2 2 x y y x F x y y    y x F F dx dy   . y x x y     2 2 2 ln arctan . y dy x y x dx 例 已知   ，求

方程y-e*+e'=0确定的函数的导数 记F(x,y)=y-e*+e',则 (I)F(x,y)=y-e与F,(x,y)=x+e'在点(0,0) 的邻域内连续； (2)F(0,0)=0; (3)F,(0,0)=1≠0， 所以方程在点(0,0)附近确定一个有连续导数、 当x=0时y=0的隐函数y=f(x),且 dy=_Fs=_y-ex dx xter

方程 0 . x y dy xy e e dx    确定的函数的导数 记 ( , ) , x y F x y  xy  e  e F(0,0)  0; (1) x x F (x, y)  y  e y y 与F (x, y)  x  e 在点(0,0) 的邻域内连续; (0,0)  1  0, Fy 所以方程在点 (0, 0) 附近确定一个有连续导数、 且 y x F F x y   d d . x y y e x e     当x  0时y  0 的隐函数 y  f (x), 则 (2) (3)

隐函数存在定理2：设函数F(x,y,z)在点P(x,y,) 的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x,y,)=0, F,(x,乙)≠0，则方程F(x,y,2)=0在点P(x,z)》 的邻域内恒能唯一确定一个连续且有连续偏导数的函 数z=f(x,y),它满足条件z。=f(x,y),并有 Ox F:'dy F

( 2 ) ( , , ) 0 F x y z  的 情 形 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , , ) ( , , ) ( , , ) 0 ( , , ) 0, ( , , ) 0 ( , , ) ( , ) ( , ) , 2 z x y z z F x y z P x y z F x y z F x y z F x y z P x y z z f x y z f x y z z F F x F y F              设函数 在点 的某一邻域内具有连续的偏导数，且 ， 则方程 在点 的邻域内恒能唯一确定一个连续且有连续偏导数的函 数 ，它满 隐函数 足条 存 件 ，并有 在定理 ：

例3设x2+少2+z2-4:=0,求0： 解令F(x,y,z)=x2+y2+z2-4z, 则F=2x,F2=2z-4, Ox F 2-z ∂2z(2-z)+x z 2-0+x2 x -2 (2-z)2 (2-z)2 =(2-z)2+x2 (2-z)3

解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z  x  y  z  z F 2 x, x  F  2 z  4, z , 2 z x F F x z z x       2 2 x z   2 (2 ) (2 ) z x z z x       2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x       . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x     2 2 2 2 2 3 4 0 z x y z z x       例 设 ，求