《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章_11.6高斯公式

第六节高斯公式通量与救度 ·一、高斯公式 ·二、简单的应用 ·三、物理意义一通量与散度 ·四、小猪思考题

第六节 高斯公式 通量与散度 • 一、高斯公式 • 二、简单的应用 • 三、物理意义—通量与散度 • 四、小结 思考题

一、高斯公式 定理1设空间闭区域Ω由分片光滑闭曲面Σ围成， 函数P(x,z八2(x,y,z小R(x,y,z)在2上具有 一阶连续的偏导数，则有公式 器器h-∯的女+Qk+a 或卯器+等+器-博rama+Qam+Ram 这里Σ是的整个边界曲面的外侧， c0sa,c0sB,cosy是Σ上点(K,y,z)处的法向量的方向余弦

一、高斯公式 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( ) ( ) ( cos cos cos ) cos ,cos ,cos 1 P x y z Q x y z R x y z P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z P Q R dv P Q R dS x y z                                          设空间闭区域 由分片光滑闭曲面 围成， 函数 、 、 在 上具有 一阶连续的偏导数，则有公式 或 这里 是 的整个边界曲面的外侧 理 ， 定 是上点( , , ) . x y z 处的法向量的方向余弦

证明：设闭区域Q在面x0y 上的投影区域为D, 2由∑、22、23三部分组成， 1：z=z(x,y) ∑2：z=2(x,y) ∑3为柱面上的一部分.x 这里z(,y)≤乙，(x,y),取下侧，2，取上侧， Σ，取外侧

x y z o 1 : 1  z z x y ( , ) 2 : 2  z z x y ( , )  1 2 3 Dxy 3 为柱面上的一部分． 1 2 3 , xy xoy D      证明：设闭区域 在面 上的投影区域为 由 、 、 三部分组成, 1 2 1 2 3 ( , ) ( , ) , . z x y z x y     这里 ， 取下侧， 取上侧 取外侧

根据三重积分的计算法 亚股-a =厂{Rx,z,(x,yI -RIx,y,(x,y)hdxdy 根据曲面积分的计算法 「Rx,ak=-Rx,3,y

根据三重积分的计算法 2 1 ( , ) ( , ) { } xy z x y z x y D R R dv dz dxdy z z         2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} Dxy R x y z x y R x y z x y dxdy    根据曲面积分的计算法 1 1 ( , , ) [ , , ( , )] , Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy      x y z o  1 2 3 Dxy

∬Rx,八z)=j∬Rx,a(x,yd, ∬R(x,yz)=0. 23 于是∬R(x,八z)k x,y(x,y)-RIx,y,z(x,y)dcdy, ∬-∯Rx3

2 2 ( , , ) [ , , ( , )] , Dxy R x y z dxdy R x y z x y dxdy     2 1 { [ , , ( , )] [ , , ( , )]} , Dxy   R x y z x y R x y z x y dxdy R x y z dxdy ( , , )  于是  3 R x y z dxdy ( , , ) 0.    ( , , ) . R dv R x y z dxdy z        

同理 器和-手Px3。 叮器h-fexn3a 和并以上三式得： 岩+w-fP+Q+a山 -高斯公式

( , , ) ,        dv P x y z dydz x P 同理 ( , , ) , Q dv Q x y z dzdx y                       dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) -高斯公式 和并以上三式得：

由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一 种形式： 0z -ff(Pcosa+QcosB+Rcosy)dS. Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系

Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( )                P Q R dS dv z R y Q x P    由两类曲面积分之间的关系知高斯公式的另一 种形式：

二、简单的应用 例1计算∯(x-y)dd+(0y-)xdk, 其中为x2+y2=1及平面z=0,z=3 所围成的空间闭区域Ω的整个边界 曲面的外侧. P=(y-z)x,2=0, 解 R=x-y

二、简单的应用 x o z y 1 1 3 解 , ( ) , 0, R x y P y z x Q      2 2 1 ( ) ( ) 1 0, 3 x y dxdy y z xdydz x y z z           例 计算  ， 其中 为 及平面 所围成的空间闭区域 的整个边界 曲面的外侧

ap =y-, a服 Ox a0-0, ay 0, 原式=Jj∬0-z)dd 2 =j∬(psin6-z)pdpd8k =a0dtr心P(sin0-zpt 2

, 0,  0,          z R y Q y z x P   原式  ( y  z)dxdydz ( sin )      z d d dz     . 2 9   x o z y 1 1 3 2 1 3 0 0 0 d dr z dz (sin )          

使用Guass公式时应注意： 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数； 2.是否满足高斯公式的条件； 3.∑是取闭曲面的外侧

使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ 是取闭曲面的外侧